一、填空題(本大題共有12小題,每小題4分,共計(jì)48分)

X-101 Pa13b

2.據(jù)統(tǒng)計(jì),某城市的火車站春運(yùn)期間日接送旅客人數(shù)X(單位:萬)服從正態(tài)分布X～N(6,0.82),則日接送人數(shù)在6萬到6.8萬之間的概率為( ) (P(|X-μ|<σ)=0.682 6,P(|X-μ|<2σ)=0.954 4,P(|X-μ|<3σ)=0.997 4)

(A)0.682 6 (B)0.954 4

(C)0.997 4 (D)0.341 3

3.天氣預(yù)報(bào),在元旦假期甲地降雨概率是0.2,乙地降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響,則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為( )

(A)0.2 (B)0.3

(C)0.38 (D)0.56

4.已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球,它們大小形狀完全相同,現(xiàn)需一個(gè)紅球,甲每次從中任取一個(gè)不放回,則在他第一次拿到白球的條件下,第二次拿到紅球的概率為( )

5.8個(gè)人坐成一排,現(xiàn)要調(diào)換其中3個(gè)人中每一個(gè)人的位置,其余5個(gè)人的位置不變,則不同的調(diào)換方式有( )

6.箱子里有5個(gè)黑球,4個(gè)白球,每次隨機(jī)取出一個(gè)球,若取出黑球,則放回箱中,重新取球;若取出白球,則停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率為( )

7.某車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了5次試驗(yàn),根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)

加工時(shí)間y(min)62758189

(A)67.2 (B)68.2

(C)68 (D)67

(A)12 (B)8 (C)6 (D)4

10.下列敘述中正確的是( )

(A)若a、b、c∈R,則“ax2+bx+c≥0”的充分條件是“b2-4ac≤0”;

(B)若a、b、c∈R,則“ab2>cb2”的充要條件是“a>c”;

(C)命題“對任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0”;

(D)l是一條直線,α、β是兩個(gè)不同的平面,若l⊥α,l⊥β,則α∥β.

(A) [-2,-1]

(B) (-2,-1)

(C) (-∞,-2]∪[-1,+∞)

(D) (-∞,-2)∪(-1，+∞)

12.如圖,M、N是圓錐底面圓O上不同兩點(diǎn),且M、N、O不共線,設(shè)AN與底面所成角為α,二面角A-MN-O的平面角為β,ON與平面AMN所成角為γ,則( )

(A)β>α>γ(B)β>γ>α

(C)α>β>γ(D)α>γ>β

二、填空題(本題有4小題,每小題5分,共20分.)

13.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽,他們分別射擊了5次,成績?nèi)缦卤?單位:環(huán)):

甲108999 乙1010799

如果甲、乙兩人中只有1人入選,則入選的最佳人選應(yīng)是______.

14.不透明的口袋中有形狀和大小完全相同的四個(gè)球,球的編號分別為1,2,3,4.若從袋中隨機(jī)抽取出兩個(gè)球,則取出的兩個(gè)球的編號之和小于5的概率為______.

三、解答題(本題有6小題,共82分.解題時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.)

(1)若命題p為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)若命題p、q中有且只有一個(gè)是真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

18.(本小題滿分14分)某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到樣本的頻率分布直方圖如下圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量;

(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列;

(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列.

19.(本小題滿分14分)如圖,四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=2BC=2CD=4，?PAB為等邊三角形,平面PAB⊥平面ABCD,Q為PB中點(diǎn).

(1) 求證:AQ⊥平面PBC；

(2)求二面角B-PC-D的余弦值.

20.(本題滿分14分)設(shè)常數(shù)t>2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)F(2，0)，直線l:x=t,曲線Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l與x軸交于點(diǎn)A、與Γ交于點(diǎn)B.P、Q分別是曲線Γ與線段AB上的動(dòng)點(diǎn).

(1)用t表示點(diǎn)B到點(diǎn)F距離；

(2)設(shè)t=3,|FQ|=2，線段OQ的中點(diǎn)在直線FP，求?AQP的面積；

(3)設(shè)t=8,是否存在以FP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ，使得點(diǎn)E在Γ上？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

21.(本小題滿分14分)2019年春節(jié)期間,某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元?jiǎng)t可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng),超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案：

方案1 一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個(gè)紅球,20個(gè)白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球,若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.

方案2 一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個(gè)紅球,20個(gè)白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎(jiǎng),且顧客有放回地抽取3次。

(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),且都按方案1抽獎(jiǎng),試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;

(2)若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).

① 試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望;

② 為了吸引顧客消費(fèi),讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行促銷活動(dòng)?

(1)求C的方程；

(2)若直線l是圓x2+y2=8上的點(diǎn)(2，2)處的切線，點(diǎn)M是直線l上任一點(diǎn)，過點(diǎn)M作橢圓C的切線MA、MB，切點(diǎn)分別為A、B，設(shè)切線的斜率都存在.求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題

1.B;2.D;3.C;4.B;5.C;6.B;

7.D;8.B;9.C;10.D;

11.A;12.A.

二、填空題

三、解答題

17.(1)p假:Δ<0，得m>1.

(2)p真:m≤1；q真:0

若p真q假,則m≤0；若p假q真,則1

綜上，m≤0或1

18.(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05+5×0.01=0.3,所以相應(yīng)產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3=12(件).

(2)重量超過505的產(chǎn)品數(shù)量為12件,則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件,X的取值為0,1,2,X服從超幾何分布.

X012 P63130286511130

Y012 P4910021509100

19.(1)因?yàn)锳B∥CD,∠BCD=90°, 所以AB⊥BC.又平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,所以BC⊥平面PAB；又AQ?平面PAB,所以BC⊥AQ.因?yàn)镼為PB中點(diǎn),且?PAB為等邊三角形,所以PB⊥AQ,又PB∩BC=B,所以AQ⊥平面PBC.

(3)存在點(diǎn)P滿足題設(shè).

② 由①知E(X)>E(Z),所以該超市應(yīng)選擇第一種抽獎(jiǎng)方案.

(2)依題設(shè),得直線l的方程為y-2=-(x-2),即x+y-4=0.

設(shè)M(x0,y0)、A(x1,y1)、B(x2,y2),由切線MA的斜率存在，設(shè)其方程為y-y1=k(x-x1).

同理，切線MB的方程為x2x+2y2y=8,

又因?yàn)閮汕芯€都經(jīng)過點(diǎn)M(x0,y0),所以

所以直線AB的方程為x0x+2y0y=8.

因?yàn)閤0+y0=4,所以直線AB的方程可化為x0x+2(4-x0)y=8,即x0(x-2y)+8y-8=0.

所以，直線AB恒過定點(diǎn)(2，1).