劉華榮

(江蘇省泰州市溱潼中學，225508)

轉(zhuǎn)化法指在處理問題時,把待解決或難解決的問題通過某種方式轉(zhuǎn)化為一類已解決或比較容易解決的問題的一種思維方式.常見的轉(zhuǎn)化有:常量與變量的轉(zhuǎn)化、一般與特殊的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、實際問題與數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化、平面幾何與立體幾何的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、數(shù)學各個分支間的轉(zhuǎn)化等.下面分類舉例說明.

一、常量與變量的轉(zhuǎn)化

例1對任意的|m|≤2,函數(shù)f(x)=mx2-2x+1-m恒為負,求x的取值范圍.

評注本題如果以x為主元,正面處理是含參的一次、二次函數(shù)問題，難度較大.以m為主元,問題轉(zhuǎn)化為線性問題,數(shù)形結(jié)合可輕松求解，體現(xiàn)了常量與變量之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

二、一般與特殊的轉(zhuǎn)化

評注解法1為常規(guī)思路，采用角化邊使問題解決，對三角運算有一定的要求；解法2以特殊代替一般，在定值問題中可起到事半功倍的作用.

三、正與反的相互轉(zhuǎn)化

例3已知函數(shù)f(x)=2x2-ax+lnx在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍為______.

分析正面直接處理時，問題等價于f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,+∞)內(nèi)恒成立，解題過程較復雜.采用間接法,可以先考慮函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)的情況,求得a的范圍,再取補集.

令u(x)=4x2-ax+1,則

解得a>4.再取補集，得所求a的取值范圍是(-∞,4].

評注一般含有否定性詞語的命題,或含有“至多”、“至少”等詞的命題,如果正面的解題的情況較多的話,我們可以嘗試從反面考慮,最后取答案的補集,也是我們常說的“正難則反”.

四、相等與不等的轉(zhuǎn)化

評注由已知向量等式挖掘隱含條件(點P既在圓M上又在圓N上)，再由兩圓的位置關(guān)系得到關(guān)于t的不等關(guān)系，體現(xiàn)了綜合分析處理問題的能力要求.

五、立體問題與平幾問題的轉(zhuǎn)化

例5如圖2,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E、F分別是AB、CD的中點,點G是EF上的動點.記?A1B1G、?C1D1G的面積分別為S1、S2,求S1+S2的最小值.

如何突破雙根號問題的最值？聯(lián)想平面上兩點間距離公式，可得

評注將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題屢見不鮮,降維是解決立幾問題的常規(guī)策略.

六、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

解由|f(x)+g(x)|=1等價于f(x)=-g(x)±1，可知所求方程實根的個數(shù)等于函數(shù)f(x)與-g(x)±1圖象交點的個數(shù).作出f(x)與-g(x)±1圖象,根據(jù)圖象可知有4個交點.

評注利用函數(shù)考察方程根的個數(shù)，是數(shù)形結(jié)合思想的具體應用，考查學生綜合分析解決問題的能力.