陳治友

(貴陽學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,貴州貴陽550005)

§1 引 言

1972年,Fan Ky在文獻(xiàn)[1]中給出了下面重要結(jié)果,通常稱之為Fan Ky不等式定理.

定理1.1(Fan Ky不等式)設(shè)X是Hausdor ff線性拓?fù)淇臻gE中的非空的緊凸子集,若泛函λ:X×X?→R滿足

1) 對每一y∈X,有λ(y,y)≤0;

2) 對每一x∈X,有y→λ(x,y)是擬凹;

3) 對每一y∈X,有x→λ(x,y)是下半連續(xù).

注1.1據(jù)文獻(xiàn)[2],將滿足定理1.1的點稱為泛函λ的Fan Ky點.

由于上述定理在變分不等式理論,非線性分析,凸分析,數(shù)理經(jīng)濟學(xué)以及博弈論等諸多領(lǐng)域都有非常成功的重要應(yīng)用(參見[3-6]),因此一些學(xué)者圍繞該定理的緊性,連續(xù)性及凸性條件進(jìn)行了改進(jìn),也已取得了許多令人矚目的豐碩成果.對于緊性條件改進(jìn),產(chǎn)生了一系列針對非緊集合的結(jié)果(參見[4,7-10]);而對于連續(xù)性條件的改進(jìn),近年來已涌現(xiàn)出一些新的結(jié)果(參見[5,8-10]);另外在Fan Ky不等式解的存在性問題中,針對凸性條件的改進(jìn),一些學(xué)者致力于用其他的拓?fù)渫菇Y(jié)構(gòu),序凸結(jié)構(gòu),抽象凸結(jié)構(gòu)以及一些廣義凸性結(jié)構(gòu)分別來代替線性空間的線性結(jié)構(gòu),建立了一系列相應(yīng)的重要結(jié)果(參見[4,10-12]).借助文獻(xiàn)[11-15]的思想,文獻(xiàn)[16]利用連續(xù)映射的延拓性質(zhì)構(gòu)造了具有T-凸結(jié)構(gòu)的T-凸空間,該空間的T-凸性是H-空間的H-凸性的推廣,并且還證明了T-凸空間滿足H0-條件.文獻(xiàn)[17-21]在不具有線性結(jié)構(gòu)的廣義凸空間中對非線性分析中的一些問題進(jìn)行了研究.本文在這些研究工作的基礎(chǔ)上,利用不具有線性結(jié)構(gòu)的T-凸結(jié)構(gòu)代替定理1.1中的線性結(jié)構(gòu),將定理1.1中X的緊性條件減弱為局部緊,并取消定理1.1中的下半連續(xù)性,充分利用KKM方法和經(jīng)典的集值分析方法,在不具有線性結(jié)構(gòu)的T-凸空間中,獲得了定理1.1的幾種不同的推廣形式;最后作為對定理1.1的推廣后的結(jié)果的應(yīng)用,在T-凸策略空間中建立并證明了n人非合作博弈的一個Nash平衡點存在定理.

§2 預(yù)備知識

§3 主要結(jié)果

§4 Nash平衡點存在定理