劉忠偉

概念是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基石。概念不是單獨(dú)的個(gè)體，不是孤立的存在，在數(shù)學(xué)概念之間，存在著千絲萬縷的內(nèi)在聯(lián)系。概念教學(xué)不是把數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)單地呈現(xiàn)，學(xué)習(xí)概念也不是簡(jiǎn)單地傳遞知識(shí)，而是在精準(zhǔn)把握概念本質(zhì)的教學(xué)過程中，不斷關(guān)注概念表層知識(shí)的需要，深刻理解概念的內(nèi)涵，深層呈現(xiàn)數(shù)學(xué)情感、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思考。

要實(shí)現(xiàn)概念由淺層靜態(tài)到深層動(dòng)態(tài)的不斷豐富和完善，需要關(guān)注數(shù)學(xué)概念的由來和發(fā)展，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念知識(shí)“前”與“后”之間、“深”與“淺”之間、“虛”與“實(shí)”之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，從而形成一個(gè)清晰的概念網(wǎng)絡(luò)。

一、在“前”與“后”的勾連中，構(gòu)建概念的動(dòng)態(tài)聯(lián)系

在《認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)》一課中，人教版教材給出的周長(zhǎng)概念是“封閉圖形一周的長(zhǎng)度”，顧名思義，就是一周邊線的長(zhǎng)度?！耙恢堋薄斑吘€”“長(zhǎng)度”三個(gè)關(guān)鍵詞的解析顯得特別重要，最基本的就是“一周”。

因此，在教學(xué)中，首先需要對(duì)“一周”的概念有清晰而深刻的認(rèn)識(shí)，正如德國哲學(xué)家伽達(dá)默爾所說：“人們?cè)诶斫庑率挛镏?，擁有的知識(shí)、見解、經(jīng)驗(yàn)，會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)有影響?！痹趯W(xué)生的經(jīng)驗(yàn)中，已擁有對(duì)“前概念”“一圈”的理解。教師通過調(diào)動(dòng)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，可以幫助他們更好地在生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)中進(jìn)行勾連，豐富學(xué)生對(duì)“一周”的認(rèn)知，為“邊線”“長(zhǎng)度”等關(guān)鍵詞的理解奠定基礎(chǔ)。

在《比的認(rèn)識(shí)》一課教學(xué)中，“比”的概念是“兩個(gè)數(shù)相除，又表示兩個(gè)數(shù)的比”。教學(xué)中，我們不妨從“前理解”入手，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生說一說心目中的“比”。很多學(xué)生可能會(huì)說“比是比身高，比是比漂亮，比是比多少，比是比大小”，學(xué)生心中的“比”是“比較”。雖然這樣的“前理解”不是要學(xué)習(xí)的“比”，但學(xué)生生活化的理解很真實(shí)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的“比”的前提。認(rèn)知的沖突會(huì)激活學(xué)生的思維，有助于他們理解“比”的概念。

后學(xué)習(xí)的概念不是一張白紙，“前概念”的作用力有積極和消極的雙向影響，教師要發(fā)揮“前概念”的積極作用，在尊重孩子原有認(rèn)知起點(diǎn)的基礎(chǔ)上，充分勾連“前”和“后”，抓住學(xué)習(xí)“后概念”的關(guān)鍵點(diǎn)，在動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)中發(fā)展孩子的數(shù)學(xué)思維。

二、在“深”與“淺”的對(duì)比中，豐富概念的內(nèi)涵

對(duì)數(shù)學(xué)概念，我們不僅要看到淺層的本位知識(shí)，而且要看到深層的邏輯、思想、價(jià)值、作用等內(nèi)容。

在《比的認(rèn)識(shí)》一課，教師要對(duì)兩種數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)和度量進(jìn)行深入解讀，也要為深層的函數(shù)思想滲透做好鋪墊?？梢宰寣W(xué)生說一說：同樣是1∶3的比，配比不同的數(shù)量，奶粉和水怎樣配比？之后，調(diào)換比的前后項(xiàng)，讓學(xué)生討論是否還是原來的比。這一系列的過程，學(xué)生在配比、改比、比較的過程中，感受到一種量變化，另一種量也隨之變化，但是無論怎樣變化，1∶3之間的關(guān)系是不能改變的。學(xué)生對(duì)比的理解，逐步擴(kuò)展為變量之間的函數(shù)關(guān)系。在由“淺”到“深”的過程中，“比”的概念逐漸清晰起來。

在《認(rèn)識(shí)圓柱》一課中，對(duì)“高”的概念，有些教師會(huì)在“無數(shù)條”“都相等”上下功夫。比如，用裝滿小棒的圓柱形盒子來幫助學(xué)生理解高，借助直觀教具化抽象為具體，結(jié)合語言的描述“如果小棒越來越細(xì)，可以放多少”，在直觀到抽象的過程中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到高有無數(shù)條。其實(shí)，對(duì)于高的認(rèn)識(shí)，還可以有更深層次的理解。以前學(xué)過三角形的高，因?yàn)槭屈c(diǎn)到線的距離，所以只能畫一條;平行四邊形的高，指的是兩條平行線之間的距離，能畫無數(shù)條。圓柱的高和以前學(xué)習(xí)的點(diǎn)到線、線到線有所不同。借助線與線之間高的理解，面到面之間的距離變得更加簡(jiǎn)單，上下底面上各有無數(shù)個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離就是高——學(xué)生對(duì)圓柱的高有無數(shù)條的理解就會(huì)更透徹。

從借助實(shí)物教具生活化地理解高，到借助已知圖形高的相關(guān)知識(shí)抽象地理解高，從理解點(diǎn)到線之間的距離到理解面與面之間的距離，這就是由“淺”到“深”的過程。這樣將新知識(shí)和以前學(xué)過的知識(shí)建構(gòu)起聯(lián)系進(jìn)行比較，就提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)了空間觀念。

由“淺”到“深”的過程，是從不同的維度來理解概念，從多角度來完善和豐富概念，使概括性的概念從靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)，從而將數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵更好地呈現(xiàn)。

三、在“虛”與“實(shí)”的聯(lián)系中，形成概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)習(xí)圓柱的特征時(shí)，教師一般都是借助圓柱實(shí)物教具，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)底面、側(cè)面和高。實(shí)物教具形象直觀，讓概念的理解變得簡(jiǎn)單。如果從培養(yǎng)學(xué)生高階思維的角度出發(fā)，一張長(zhǎng)方形紙同樣可以串起一節(jié)課的學(xué)習(xí)。可以從一個(gè)長(zhǎng)方形如何和圓柱構(gòu)建起聯(lián)系入手，學(xué)生通過“圍起來、（旋）轉(zhuǎn)起來”兩個(gè)維度建構(gòu)聯(lián)系，然后進(jìn)行思維發(fā)散。聚焦點(diǎn)一方面從“圍”入手，從圍起來后有高瘦、矮胖的區(qū)別上來研究圓柱的特征;另一方面從“轉(zhuǎn)”入手，分別以長(zhǎng)、寬、對(duì)稱軸為軸旋轉(zhuǎn)得到圓柱。

結(jié)合用紙圍成的圓柱，我們不難發(fā)現(xiàn)，胖是因?yàn)榈酌娲?，瘦是因?yàn)榈酌嫘?，圓柱的粗細(xì)和底面的大小有關(guān)，底面的大小是長(zhǎng)和寬決定的，兩個(gè)底面面積相等是因?yàn)樗鼈兊闹荛L(zhǎng)相等。高與矮也是長(zhǎng)和寬決定的。學(xué)生找出不同方法旋轉(zhuǎn)后，需要在想象中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)圓柱和原有長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的關(guān)系。這個(gè)看似“虛”的學(xué)習(xí)過程，不僅關(guān)注了直觀和抽象，更關(guān)注了知識(shí)的“前”與“后”之間的聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)圓柱各部分的認(rèn)識(shí)走向“實(shí)”，更深刻、更全面、更到位。

類似“虛”與“實(shí)”的學(xué)習(xí)例子在概念教學(xué)中有很多，如循環(huán)小數(shù)中探討“虛”的內(nèi)容，循環(huán)小數(shù)和余數(shù)循環(huán)的關(guān)系;積的變化規(guī)律到商的變化規(guī)律……“虛”與“實(shí)”如同看得見的明河和看不見的暗流，教師要善于在虛實(shí)相間、明暗結(jié)合中，引導(dǎo)學(xué)生觸及概念教學(xué)的本質(zhì)，感受深入探究概念的樂趣。

（本文系河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目“小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)典型課例研究”的研究成果，課題編號(hào)：JCJYC150410084）

（責(zé) 編 曉 月）