王振華 劉宗華

(華東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,上海 200241)

近年來(lái),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上耦合振子的部分同步化引起了人們極大的關(guān)注,其潛在或背后的原因是部分同步化斑圖在大腦網(wǎng)絡(luò)中廣泛存在,并很可能與大腦的認(rèn)知或記憶等功能有密切的聯(lián)系.本文對(duì)這些進(jìn)展進(jìn)行簡(jiǎn)單的總結(jié)與歸納,并按照學(xué)者們研究的不同側(cè)重點(diǎn),將其分成三方面來(lái)進(jìn)行介紹,即奇異態(tài)、遙同步與集團(tuán)同步化.著重強(qiáng)調(diào)這三種情形各自出現(xiàn)的條件、常用的研究模型、檢測(cè)的方法以及側(cè)重解釋的生物現(xiàn)象等方面.并對(duì)它們?nèi)咧g的相互關(guān)系及今后的研究方向做一些簡(jiǎn)單的探討.

1 引 言

混沌通常被認(rèn)為是有害的現(xiàn)象,直到1990年美國(guó)海軍實(shí)驗(yàn)室的Pecora和Carroll[1]發(fā)現(xiàn)兩個(gè)全同的混沌系統(tǒng)實(shí)際上是可以同步化的,從而導(dǎo)致了混沌系統(tǒng)的一個(gè)極其重要的應(yīng)用——保密通信[2].源于這個(gè)應(yīng)用,兩個(gè)耦合系統(tǒng)間的混沌同步化受到了極大的關(guān)注,并發(fā)現(xiàn)了一系列的同步化方式,如完全同步、相同步、延遲同步及廣義同步等.隨后,這些研究被推廣到了多個(gè)耦合系統(tǒng)的情形,包括耦合映像格子的時(shí)空同步化等.這些同步化的一個(gè)共同特征是耦合的各子系統(tǒng)間行為一致,是作為一個(gè)整體來(lái)表現(xiàn)同步特征的.

實(shí)際上,除了這些整體同步化外,還存在著以非整體行為的方式體現(xiàn)的同步化.比如,在貓的視覺(jué)皮層中,分布在不同空間位置的神經(jīng)元與它們的振蕩響應(yīng)(40—60 Hz)是同步的[3].然而,這個(gè)現(xiàn)象直至十年之后,也就是2000年左右,才引起了人們的廣泛關(guān)注,被稱為部分同步化.部分同步主要討論兩個(gè)振子以上但總振子數(shù)目不是太大的情形.此時(shí)只有部分態(tài)變量是同步的,而其他態(tài)變量并不與它們同步,因此系統(tǒng)的軌道將收斂到一個(gè)由同步變量定義的不變線性子空間[4-7].比如考慮由三個(gè)振子 x,y,z 組成的耦合混沌系統(tǒng),部分同步可以發(fā)生在振子x與y之間或x與z之間,而第三個(gè)振子并不與這兩者同步.部分同步化已獲得了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[8,9].

上述研究,無(wú)論是同步還是部分同步,包含的子系統(tǒng)數(shù)目都不大,通常只有2—6個(gè)子系統(tǒng).另外,這些耦合的連接方式是均勻的,比如最近鄰連接、規(guī)則連接或者全連等,而不涉及復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),因此在理解大腦的各種同步斑圖方面幫助不大.最近,部分同步的研究有了長(zhǎng)足的進(jìn)展,不僅僅是子系統(tǒng)數(shù)目擴(kuò)大到成百上千的規(guī)模,而且連接的方式也推廣到多種多樣[10,11],從分組連接到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)連接,甚至到了多層網(wǎng)絡(luò)連接[12,13].基于這些研究,人們發(fā)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的部分同步可以展現(xiàn)出復(fù)雜多變、多姿多彩的斑圖,這就對(duì)大腦斑圖的多樣性給出了一種可能的機(jī)制.我們知道,大腦皮層的大尺度同步[14]與網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)元子集的同步放電[15,16]均與認(rèn)知過(guò)程密切相關(guān),且額葉腦區(qū)內(nèi)任務(wù)相關(guān)的α波同步與頂?shù)准庸?top-down processing)的需求也高度相關(guān)[17].另外,神經(jīng)活動(dòng)的同步斑圖還與大腦無(wú)序緊密相關(guān).比如,癲癇發(fā)作時(shí),特定腦區(qū)會(huì)變得高度同步,其他部分則不同步[18].而在失去了部分腦細(xì)胞導(dǎo)致的帕金森氏病中,同步活動(dòng)將會(huì)在特定的腦區(qū)缺失[19].因此,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上部分同步化的研究為理解大腦的高級(jí)功能,如認(rèn)知與記憶等打開(kāi)了一扇新的窗口,亟待進(jìn)一步深入下去.

由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上部分同步的復(fù)雜性,歷史上,不同的研究小組從不同的角度得到了不同的發(fā)現(xiàn),并依據(jù)具體出現(xiàn)條件的不同而將其分別命名為奇異態(tài)、遙同步及集團(tuán)同步等.奇異態(tài)是最先命名的,描述的是同步振子與無(wú)序振子的共存現(xiàn)象,可對(duì)半腦睡眠與首晚效應(yīng)等生物現(xiàn)象做出合理的解釋.遙同步是最后命名的,描述的是不直接相連的振子之間通過(guò)中心節(jié)點(diǎn)發(fā)生同步但卻不與中心節(jié)點(diǎn)上的振子同步的現(xiàn)象,可用于幫助理解大腦分布式計(jì)算的內(nèi)在機(jī)制.而集團(tuán)同步化居中,描述的是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的部分振子因具有某種對(duì)稱性而形成同步集團(tuán)的現(xiàn)象,可幫助理解大腦同步斑圖的多樣性.雖然這三種部分同步化狀態(tài)發(fā)現(xiàn)的初始時(shí)間略有不同,但對(duì)它們研究的進(jìn)展并沒(méi)有絕對(duì)的先后,而是交替前行、相互促進(jìn)的.實(shí)際上,這三種部分同步化狀態(tài)并不是完全獨(dú)立的,甚至有時(shí)描述的是同一種現(xiàn)象或斑圖.本文將對(duì)這些進(jìn)展進(jìn)行綜述,并對(duì)它們間的相互關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論.

2 奇異態(tài)

奇異態(tài)描述的是同步與無(wú)序這一對(duì)矛盾體共存的特殊情形,是Abrams與 Strogatz[20]于2004年命名的.其英文名字為Chimera state,代表希臘神話中的一種獅頭、羊身、蛇尾的噴火怪物.這個(gè)名字取得非常好,不僅僅在于它把這個(gè)領(lǐng)域做“熱”了,更重要的是它描述了一大類(lèi)生物系統(tǒng)半腦睡眠現(xiàn)象的微觀機(jī)制.來(lái)自于實(shí)驗(yàn)探測(cè)的EEG數(shù)據(jù)表明,在一些鳥(niǎo)類(lèi)與海洋哺乳動(dòng)物的睡眠過(guò)程中,它們的一半大腦是同步的,而另一半大腦是非同步的,這就使得一半大腦比另一半具有更強(qiáng)的警覺(jué)性,從而減少睡眠時(shí)所受到的外部攻擊,稱為“半腦睡眠”[21,22].眾所周知,人類(lèi)早期住在山洞而沒(méi)有房子保護(hù)時(shí)也需要提防野獸的攻擊,因而這種警覺(jué)性或許到目前應(yīng)該還有某些殘留痕跡.這種推斷直到2016年才被實(shí)驗(yàn)證實(shí),稱為“首晚效應(yīng)”[23].說(shuō)的是當(dāng)人們出差到異地時(shí),第一晚的睡眠通常不踏實(shí),而是表現(xiàn)為左邊半腦覺(jué)醒的次數(shù)要遠(yuǎn)大于右邊半腦,但第二晚以后會(huì)恢復(fù)正常.

另一方面,奇異態(tài)的研究也拓展并豐富了非線性動(dòng)力學(xué)及耦合振子理論.長(zhǎng)期以來(lái),人們一直相信同步與非同步的共存是限制在非均勻振子網(wǎng)絡(luò)中的,其中具有相似頻率的振子可以發(fā)生同步,而那些偏離平均頻率較大的振子則保持不相關(guān)的漂移.因此,當(dāng)發(fā)現(xiàn)全同振子在相同的耦合方式下也可以分離成為同步與漂移的兩組,即奇異態(tài)時(shí),就從根本上令人感到吃驚,因?yàn)槿褡油ǔＪ亲鳛檎w,表現(xiàn)為要么同步要么非同步的.這樣,作為一種新的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的奇異態(tài)就實(shí)質(zhì)性地拓展了我們對(duì)從同步到混亂的轉(zhuǎn)變或相反的轉(zhuǎn)變的認(rèn)識(shí).

事實(shí)上,奇異態(tài)這種現(xiàn)象在其命名的兩年前就由Kuramoto與Battogtokh[24]在Ginzburg-Landau方程中注意到了,但當(dāng)時(shí)并沒(méi)有引起人們足夠的重視,這也從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了命名的重要性.在這個(gè)發(fā)現(xiàn)中,一個(gè)極其重要的因素是,不同于以往的全局耦合或最近鄰耦合,甚至也不同于隨機(jī)耦合,作者采用了一種隨距離衰減的指數(shù)耦合,稱為非局域耦合(nonlocal coupling).雖然這種非局域耦合沒(méi)有局域或全局耦合那么受到重視,但它其實(shí)也有廣泛的應(yīng)用,比如在約瑟夫遜結(jié)、化學(xué)振子、蝸牛殼模式的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及眼優(yōu)勢(shì)條紋中等.Abrams與Strogatz[20]繼承了這個(gè)非局域耦合的思路,但代之以Kuramoto相振子模型.此外,他們還將指數(shù)衰減的耦合核改為余弦耦合核,使得模型可以解析求解.

研究奇異態(tài)最常用到的是Kuramoto相振子模型,這個(gè)模型因只含振蕩的相位特征卻沒(méi)有涉及振蕩的振幅而被認(rèn)為是描述自然界各種振蕩行為最簡(jiǎn)單的模型.Abrams與Strogatz[20]考慮的模型就是這樣一個(gè)相振子環(huán),其方程為

這里 φ(x,t)為振子在位置x時(shí)間t時(shí)的相,角度0 ≤ α ≤ π/2 為 可調(diào)參數(shù).耦合核 G(x-x′)假定取如下形式:

其中 0 ≤A≤1 .引入序參量來(lái)對(duì)局部振子的有序與無(wú)序進(jìn)行描述.令Ω代表旋轉(zhuǎn)框架的角頻率,θ=φ-Ωt代表振子相對(duì)于這個(gè)框架的相,于是有

其中R為序參量,Θ為局部平均相.此時(shí),方程(1)變?yōu)?/p>

穩(wěn)態(tài)時(shí),R與Θ將獨(dú)立于時(shí)間,而只依賴于空間.作參數(shù)變換: β=π/2-α與Δ=ω-Ω .圖 1(a)為方程(4)的快照,其中靠近 x=±π 的振子是鎖相與相關(guān)的,即它們以相同的瞬時(shí)頻率運(yùn)動(dòng)并處于近似的同相.同時(shí),圖1(a)中間的分散振子是漂移與無(wú)序的.圖1(b)則給出了對(duì)應(yīng)圖1(a)的序參量曲線,證實(shí)同步態(tài)具有較高的R值,而無(wú)序態(tài)具有較小的R值.圖1(c)則為對(duì)應(yīng)的局部平均相 Θ(x).

圖1 (a)奇異態(tài)的斑圖,參數(shù): A=0.995,β=0.18, N=256個(gè)振子;(b)來(lái)自于方程(3)的局部相關(guān)聯(lián) R(x),鎖頻的振子滿足 R(x)≥Δ;(c)局部平均相 Θ(x).改編自文獻(xiàn)[20]Fig.1.(a)Phase pattern for a chimera state,parameters:A=0.995,β=0.18,N=256oscillators;(b)local phase coherence R(x),computed from Eq.(3),locked oscillators satisfy R(x)≥ Δ;(c)local average phase Θ(x).Figure adapted from Ref.[20].

隨后,Abrams等[25]于2008年提出了一個(gè)僅包含兩組相互作用的振子集團(tuán)且精確可解的奇異態(tài)模型.這個(gè)模型人為地將振子分成大小相等的兩組,各組內(nèi)與組間的耦合方式完全一樣,通過(guò)初值條件選取的不同,使得它們一個(gè)處于同步態(tài),而另一個(gè)處于無(wú)序態(tài).通過(guò)Ott與Antonsen[26]的降維方法,他們得到了關(guān)于奇異態(tài)穩(wěn)定性、動(dòng)力學(xué)及分岔的精確解.其模型如下[25]:

其中 σ=1,2,Nσ為第 σ 組內(nèi)的振子數(shù)目.因假定全同振子,因此頻率ω與相延遲α對(duì)所有振子都是一樣的.組內(nèi)的耦合強(qiáng)度設(shè)定為K11=K22=μ＞0,組間的耦合強(qiáng)度則取為K12=K21=v ＞ 0,且 μ ＞v,即組內(nèi)的耦合大于組間的耦合.這有點(diǎn)類(lèi)似于上面的隨距離衰減的非局域耦合.對(duì)時(shí)間做標(biāo)度變換,可設(shè)定 μ +v=1 .進(jìn)一步為方便尋找奇異態(tài)存在的區(qū)域,定義參數(shù) A=μ-v與β=π/2-α.

對(duì)于隨機(jī)選擇的初值,方程(5)很容易走向同步態(tài).但當(dāng)初值設(shè)置在奇異態(tài)附近時(shí),比如一組為近似同步的初值,另一組為隨機(jī)初值,則能觀察到奇異態(tài)[25].圖2為奇異態(tài)的動(dòng)力學(xué),只畫(huà)了非同步那一組的序參量,其滿足 r(t)=|〈eiθj(t)〉| .從圖2(a)—圖2(c)可見(jiàn),對(duì)應(yīng)不同的參數(shù)值A(chǔ),序參量分別呈現(xiàn)常數(shù)值、小振動(dòng)及大振蕩行為,分別表示穩(wěn)定的奇異態(tài)、呼吸奇異態(tài)及長(zhǎng)周期呼吸子.

當(dāng)取其他的β時(shí),也可能出現(xiàn)穩(wěn)定的奇異態(tài)與呼吸奇異態(tài),但所需的耦合強(qiáng)度差A(yù)會(huì)有所不同.借助于OA降維方法,Abrams等[25]得到了依賴于參數(shù)β與A的解析解,并給出了各穩(wěn)定區(qū)域間的邊界曲線.圖3是相應(yīng)的相圖.

上述奇異態(tài)一旦形成,便不再改變,因此是穩(wěn)定的奇異態(tài).為了實(shí)現(xiàn)海豚與鳥(niǎo)類(lèi)在睡眠中出現(xiàn)的交替奇異態(tài),Ma等[27]引入了一個(gè)周期性的延遲信號(hào)來(lái)描述變化的外部環(huán)境.具體做法是將方程(5)改寫(xiě)為

其中A與Ω分別為外部信號(hào)的振幅與頻率,τσ代表系統(tǒng)對(duì)環(huán)境的響應(yīng)時(shí)間.考慮到睡覺(jué)半腦與清醒半腦對(duì)外界應(yīng)該有不同的響應(yīng),可令τ1=0與τ2／=0.耦合參數(shù)取為μ=5與v=-4.負(fù)耦合v=-4來(lái)自于組間的相互作用,不同于組內(nèi)的相互作用,其依據(jù)是視交叉上核中左右振蕩組之間是反相同步[28].另外,由于真實(shí)大腦中神經(jīng)元的非全同,可令ωi隨機(jī)均勻地分布在[1-δ,1+δ],其中δ代表振子的多樣性.Ma等[27]發(fā)現(xiàn),對(duì)一個(gè)固定的δ,存在一個(gè)閾值A(chǔ)0,以便A≥A0時(shí)可以出現(xiàn)交替的奇異態(tài).比如當(dāng)δ=0.1時(shí),有A0=0.2,且隨著δ的增加,A0會(huì)逐漸降低.圖4給出了N1=N2=128與δ=0.1時(shí) 的結(jié)果,其中圖4(a)代表A=1,Ω=1與τ2=1.5的情形;圖4(b)為A=1,Ω=0.5與τ2=1.5的情形;圖4(c)為A=1.5,Ω=1與τ2=1.5的情形;圖4(d)為A=1,Ω=1與τ2=3.0的情形.從圖4可見(jiàn),交替奇異態(tài)存在于所有的四種情形中,表明交替奇異態(tài)對(duì)信號(hào)參數(shù)具有魯棒性.

圖2 序參量r隨時(shí)間的變化,其中參數(shù) N1=N2=128,β=0.1(a)A=0.20,穩(wěn)定奇異態(tài);(b)A=0.28,呼吸奇異態(tài);(c)A=0.35,長(zhǎng)周期呼吸子.初值條件取為靠近奇異態(tài),結(jié)果為丟掉了2000個(gè)暫態(tài)時(shí)間單位后的情形.改編自文獻(xiàn)[25]Fig.2.Order parameter r versus time.In all three panels,N1=N2=128 and β=0.1 :(a)A=0.20,stable chimera;(b)A=0.28,breathing chimera;(c)A=0.35,long period breather.Numerical integration began from an initial condition close to the chimera state,and plots shown begin after allowing a transient time of 2000 units.Figure adapted from Ref.[25].

圖3 奇異態(tài)的穩(wěn)定性相圖 分岔曲線: 鞍-節(jié)分岔(點(diǎn)劃線)、超臨界Hopf分岔(實(shí)線),兩者都是解析發(fā)現(xiàn)的;同宿分岔(虛線),數(shù)值發(fā)現(xiàn)的.改編自文獻(xiàn)[25]Fig.3.Stability diagram for chimera states.Bifurcation curves: saddle-node(dotted line)and supercritical Hopf(solid line),both found analytically;homoclinic(dashed line),found numerically.Figure adapted from Ref.[25].

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不是全連網(wǎng),而是二維或三維規(guī)則格子甚至復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)時(shí),奇異態(tài)會(huì)表現(xiàn)出多種多樣性,其斑圖豐富多彩[29-33].Zhu等[34]研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)情形,發(fā)現(xiàn)此時(shí)的斑圖會(huì)比較混亂,但如果按振子的有效頻率進(jìn)行重新排序,則仍可見(jiàn)清晰的同步與無(wú)序共存.詳細(xì)的信息可見(jiàn)綜述文獻(xiàn)[10,11,35].

有鑒于此,為了定量刻畫(huà)奇異態(tài),Kemeth等[36]于2016年引入了一個(gè)特征分類(lèi)方法來(lái)測(cè)量奇異態(tài).其基本思想是測(cè)量空間關(guān)聯(lián),即對(duì)于具有局部或非局部耦合拓?fù)涞南到y(tǒng),采用局部曲率來(lái)測(cè)量空間關(guān)聯(lián).據(jù)此,一維系統(tǒng)時(shí)局域曲率可由二階導(dǎo)數(shù)測(cè)量,一維以上的系統(tǒng)則由拉普拉斯算子來(lái)完成.具體步驟如下.

i)對(duì)于包含空間數(shù)據(jù) f 的每一個(gè)時(shí)間步或快照,我們用分立的拉普拉斯算子D來(lái)計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的局部曲率.以一維情形為例,對(duì)時(shí)間 t 時(shí)的快照,我們計(jì)算

圖4 外部信號(hào)誘導(dǎo)的交替奇異態(tài)(a)A=1,Ω=1 與τ2=1.5;(b)A=1,Ω=0.5 與τ2=1.5;(c)A=1.5,Ω=1 與τ2=1.5;(d)A=1,Ω=1 與τ2=3.0 .改編自文獻(xiàn)[27]Fig.4.Alternating chimera states induced by external signals:(a)A=1,Ω=1 and τ2=1.5;(b)A=1,Ω=0.5 and τ2=1.5;(c)A=1.5,Ω=1 and τ2=1.5;(d)A=1,Ω=1 and τ2=3.0 .Figure adapted from Ref.[27].

圖5 (a)來(lái)自于Kuramoto模型的快照;(b)將拉普拉斯算子用于(a)中的數(shù)據(jù)后得到的局部曲率的絕對(duì)值.改編自文獻(xiàn)[36]Fig.5.(a)Snapshot of the Kuramoto model;(b)absolute value of the local curvature obtained by applying the discrete Laplace operator on the data set shown in(a).Figure adapted from Ref.[36].

iii)考慮到數(shù)值模擬中的誤差漲落,Kemeth等[36]建議只要局部曲率的絕對(duì)值小于最大曲率的百分之一就應(yīng)該被當(dāng)作相關(guān)態(tài),其他的為非相關(guān)態(tài).為此,他們引入關(guān)聯(lián)測(cè)度

其中 δ=0.01Dm.實(shí)際計(jì)算中可用 g0(t)的時(shí)間平均值來(lái)衡量奇異態(tài).

奇異態(tài)概念最直接的應(yīng)用就是神經(jīng)系統(tǒng),特別是大腦網(wǎng)絡(luò),目前這方面的研究很豐富[37-44].不同于一維的相振子模型,神經(jīng)元系統(tǒng)通常由二維或三維模型來(lái)表示,此時(shí)的相互作用由耦合矩陣表示.研究中比較常用到的是FitzHugh-Nagumo(FHN)神經(jīng)元模型.Omelchenko等[37]為FHN模型引入了一種旋轉(zhuǎn)耦合,并發(fā)現(xiàn)了多奇異態(tài).他們將N個(gè)神經(jīng)元放置在一個(gè)圓環(huán)上,每個(gè)神經(jīng)元與其最近鄰的 2 R 個(gè)神經(jīng)元發(fā)生耦合.其動(dòng)力學(xué)方程如下:

其中 uk與vk分 別表示快變量與慢變量,? 為一個(gè)小參數(shù),這里取為0.05.依賴于閾值 ak,每個(gè)單獨(dú)的FHN振子顯示振蕩(| ak|＜ 1)或可激(| ak|＞ 1)行為,這里取 ak∈(-1,1).為簡(jiǎn)單起見(jiàn),他們將耦合取為旋轉(zhuǎn)矩陣

此耦合依賴于相參數(shù) φ ∈ [-π,π] .

令 r=R/N,則參數(shù)r與σ就將決定系統(tǒng)的行為.圖6(a)—圖6(d)給出了參數(shù)r與σ分別取(0 .33,0.1),(0 .33,0.19),(0 .33,0.23)及(0 .33,0.28)時(shí)變量 uk的快照.為方便比較,同時(shí)給出了每個(gè)振子的平均相速度 ωk=2πMk/ΔT,其中 Mk為時(shí)間間隔 Δ T 內(nèi)完成的圈數(shù).常數(shù) ωk代表鎖相區(qū)域.從圖6(a)—圖6(d)可見(jiàn),隨著耦合強(qiáng)度σ的增加,奇異態(tài)從單一的非相關(guān)區(qū)域變成了兩個(gè)非相關(guān)區(qū)域,即觀察到了多奇異態(tài)[37].類(lèi)似地,圖6(e)—圖6(h)給出了從單一的非相關(guān)區(qū)域變成三個(gè)非相關(guān)區(qū)域的情形.

在大腦網(wǎng)絡(luò)方面的應(yīng)用主要是將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)考慮成不同大小的真實(shí)腦皮層網(wǎng)[13,45-47],然后研究這些特定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的奇異態(tài).值得一提的是,Kang等[13]發(fā)現(xiàn)了對(duì)應(yīng)“首晚效應(yīng)”或半腦睡眠的奇異態(tài).他們使用的腦皮層網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)含有998個(gè)節(jié)點(diǎn)、17865條邊[48,49],但其中含有9個(gè)孤立的沒(méi)有邊的節(jié)點(diǎn).去掉這些孤立節(jié)點(diǎn)后,網(wǎng)絡(luò)只有989個(gè)節(jié)點(diǎn),其中右半腦含有496個(gè)節(jié)點(diǎn)(i=1 —496)、左半腦含有493個(gè)節(jié)點(diǎn)(i=497 —989).考慮到左右半腦只能通過(guò)胼胝體連接,腦皮層網(wǎng)實(shí)際上是個(gè)雙層網(wǎng)絡(luò),它的17865條邊可分成右半腦內(nèi)的8037條邊、左半腦內(nèi)的7773條邊以及連接左右半腦的2055條邊.

考慮到通過(guò)胼胝體的連邊與半腦內(nèi)的連邊具有不同的信號(hào)傳播速度,Kang等[13]提出了一個(gè)雙層網(wǎng)模型(A,B 層)并讓層內(nèi)與層間的耦合強(qiáng)度不同,分別由 λin與λout表示.A層的方程為

圖6 單一的非相關(guān)區(qū)域變成多個(gè)非相關(guān)區(qū)域的情形(a)—(d)變成兩個(gè)非相關(guān)區(qū)域:(e)—(h)變成三個(gè)非相關(guān)區(qū)域.在每個(gè)子圖中,左列代表變量 uk 的快照,右列為對(duì)應(yīng)的平均相速度.改編自文獻(xiàn)[37]Fig.6.Transition from a classical chimera state with one incoherent domain to multichimera states with two(a)—(d),and three(e)—(h)incoherent domains.In each panel the left column shows snapshot of variables uk,and the right column shows the corresponding mean phase velocities.Figure adapted from Ref.[37].

這個(gè)雙層網(wǎng)模型可展示不同的狀態(tài),包括同步化、無(wú)序及奇異態(tài).圖7給出了四個(gè)典型的狀態(tài),其中上層為網(wǎng)絡(luò)A、下層為網(wǎng)絡(luò)B、子圖為它們對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué).非常有趣的是,圖7(c)與圖7(g)顯示出網(wǎng)絡(luò)A無(wú)序而網(wǎng)絡(luò)B同步,為典型的半腦睡眠現(xiàn)象,從而再現(xiàn)了“首晚效應(yīng)”.

除了這些數(shù)值模擬與理論研究外,奇異態(tài)已被數(shù)個(gè)實(shí)驗(yàn)證實(shí)[50-54].比如Martens等[52]簡(jiǎn)單地使用了兩個(gè)擺座、一根彈簧和一些全同的節(jié)拍器實(shí)現(xiàn)了奇異態(tài).隨著彈簧彈力系數(shù)的增大,一個(gè)擺座上的節(jié)拍器全同步,另一個(gè)擺座的節(jié)拍器會(huì)出現(xiàn)各種不同的非協(xié)同行為.該實(shí)驗(yàn)無(wú)需精妙耦合計(jì)算和時(shí)間延遲,且能容易地拓展至其他物理模型.Gambuzza等[53]則使用電路實(shí)驗(yàn)?zāi)M了FHN模型的奇異態(tài),發(fā)現(xiàn)了一種靜止態(tài)和同步態(tài)混合的奇異態(tài).

3 遙同步

大量的證據(jù)表明,人腦的信息處理是分布式的,并由具有社區(qū)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)承擔(dān)[55].一個(gè)腦區(qū)的信息可為其他腦區(qū)用來(lái)進(jìn)行認(rèn)知計(jì)算,這種跨過(guò)多個(gè)腦區(qū)的處理過(guò)程稱為信息的分散與整合[56].在這個(gè)分散與整合的過(guò)程中,有一種特殊的信息傳遞方式―遙同步,指不直接相連的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)通過(guò)連接一個(gè)公共的鄰居而相互間發(fā)生同步,但卻不與那個(gè)公共鄰居同步[57].其證據(jù)是在采集的多電極大腦數(shù)據(jù)中,無(wú)論是 β 帶(14—30 Hz)還是 γ 帶(40—80 Hz)都有各腦區(qū)間神經(jīng)活動(dòng)的長(zhǎng)程同步.由于這些遠(yuǎn)距離腦區(qū)間軸向傳導(dǎo)延遲可達(dá)到幾十毫秒,這種遠(yuǎn)距離的同步放電很可能是中繼振子介導(dǎo)的[58].事實(shí)上,中繼神經(jīng)元廣泛存在于我們的神經(jīng)系統(tǒng)中,比如丘腦、脊髓和外側(cè)膝狀體.例如,丘腦就負(fù)責(zé)視覺(jué)信號(hào)從視網(wǎng)膜到視覺(jué)皮質(zhì)的轉(zhuǎn)播.目前,遙同步已在部分實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)[59].

遙同步是Bergner等[57]在研究星形網(wǎng)的相同步時(shí)引入的.他們考慮的模型如下:

其中 un是復(fù)數(shù),α 為霍普夫分岔參數(shù),ωn為振子未耦合時(shí)的本征頻率,κ為耦合強(qiáng)度,為節(jié)點(diǎn)的入度,(gnm)為鄰接矩陣.圖8為他們研究遙同步時(shí)的星形網(wǎng)示意圖.

以 N=5 為例,Bergner等[57]取中心節(jié)點(diǎn)的頻率 ω1=2.5,4個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)的頻率為{0.975,0.992,1.008,1.025},即中心節(jié)點(diǎn)的頻率遠(yuǎn)大于葉子節(jié)點(diǎn)的頻率.令 un=xn+iyn,并引入相位 φn=tan-1(yn/xn),則可定義

其中 〈 ·〉t代 表時(shí)間平均,rnm為節(jié)點(diǎn)n與m之間的局部序參量.為了檢驗(yàn)遙同步,可引入兩個(gè)序參量.一個(gè)用來(lái)測(cè)量中心節(jié)點(diǎn)與葉子節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)

圖7 大腦皮層網(wǎng)中的四個(gè)典型的行為.參數(shù)為 α =π/2-0.1,上層為網(wǎng)絡(luò)A、下層為網(wǎng)絡(luò)B、子圖為它們對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)ui(a)與(e)的耦合參數(shù)為(λin=0.1,λout=0.3);(b)與(f)的耦合參數(shù)為(λin=0.1,λout=1.8)、(c)與(g)的耦合參數(shù)為(λin=0.4,λout=3.5);(d)與(h)的耦合參數(shù)為(λin=4.0,λout=3.5).改編自文獻(xiàn)[13]Fig.7.Four typical behaviors in the cerebral cortex with α =π/2-0.1 where the up and down panels represent the two hemispheres,respectively,and the insets are their corresponding dynamics of ui at a moment t.The parameters are λin=0.1 and λout=0.3 in panels(a)and(e)of disorder;λin=0.1 and λout=1.8 in panels(b)and(f)of chimera state;λin=0.4 and λout=3.5 in panels(c)and(g)of an emergent state conceptually similar to the state of unihemispheric sleep;and λin=4.0 and λout=3.5in panels(d)and(h)of synchronization.Figure adapted from Ref.[13].

圖8 用于遙同步的星形網(wǎng)示意圖.改編自文獻(xiàn)[57]Fig.8.Graphic visualization of a hub network motif(star motif).Figure adapted from Ref.[57].

圖9 相同步的過(guò)程.相同步的建立清晰可見(jiàn),其中的三個(gè)標(biāo)注分別表明兩個(gè)、三個(gè)與四個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)間的同步化.改編自文獻(xiàn)[57]Fig.9.Transition to PS for the hub motif.From the plot the onset of RS is clearly visible.The three annotations indicate synchronization between two,three,and four peripheral oscillators,respectively.Figure adapted from Ref.[57].

另一個(gè)則用來(lái)測(cè)量葉子節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)

圖9給出了這兩個(gè)序參量對(duì)耦合強(qiáng)度κ的依賴性,可見(jiàn)葉子節(jié)點(diǎn)間關(guān)聯(lián)的增加要遠(yuǎn)快于中心節(jié)點(diǎn)與葉子節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián).葉子節(jié)點(diǎn)在κ大約為0.47時(shí)達(dá)到完全相同步,而中心節(jié)點(diǎn)與葉子節(jié)點(diǎn)間的完全相同步要推遲到 κ ≈0.74 .

為了明白遙同步的機(jī)制,Bergner等[57]將模型進(jìn)一步簡(jiǎn)化為只有三個(gè)節(jié)點(diǎn)的情形: 兩個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)1與2,由中心節(jié)點(diǎn)3間接連接.為了實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)1與2的相互同步,節(jié)點(diǎn)1的活動(dòng)需要傳遞給節(jié)點(diǎn)2,反之亦然.這就意味著節(jié)點(diǎn)3的動(dòng)力學(xué)必須保證節(jié)點(diǎn)1與2的活動(dòng)的傳遞盡可能不被改變,為此需要滿足兩個(gè)條件: 首先,為了不讓中心節(jié)點(diǎn)與葉子節(jié)點(diǎn)同步,節(jié)點(diǎn)3的吸引子的平均時(shí)間尺度應(yīng)該與節(jié)點(diǎn)1與2的吸引子有很大的不同.此外,節(jié)點(diǎn)1與2的區(qū)別不應(yīng)太大,以便它們能夠通過(guò)弱相互作用同步.其次,為了得到經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)3的傳遞,節(jié)點(diǎn)3的擾動(dòng)必須不能衰減得太快.將中心節(jié)點(diǎn)在其極限環(huán)(| u0|2=α)附近作線性化并保持其他兩個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)非接觸,可得如下方程:

這是兩個(gè)Stuart-Landau振子通過(guò)一個(gè)線性過(guò)濾器耦合的方程.通過(guò)拉普拉斯變換可將這個(gè)過(guò)濾器的傳遞函數(shù)寫(xiě)為

于是,中心節(jié)點(diǎn)可被一個(gè)有效耦合取代并有

葉子節(jié)點(diǎn)實(shí)際上是對(duì)稱的,因此Nicosia等[60]研究了網(wǎng)絡(luò)對(duì)稱性對(duì)出現(xiàn)遙同步的影響.他們考慮的是帶相參數(shù)的全同的Kuramoto相振子,其相參數(shù)使得相連的振子保持特定的相差,從而阻礙完全同步.發(fā)現(xiàn)耦合網(wǎng)絡(luò)的對(duì)稱性起著重要作用,具有相同對(duì)稱性的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)可以同步化,即使它們相距遙遠(yuǎn).這種遙同步是由網(wǎng)絡(luò)的對(duì)稱性導(dǎo)致的.Zhang等[61]則進(jìn)一步研究了這種對(duì)稱性與遙同步的關(guān)系,將星形網(wǎng)的遙同步推廣到了網(wǎng)絡(luò)的情形,稱為非相干介導(dǎo)遠(yuǎn)程同步.具體地,將N個(gè)節(jié)點(diǎn)組織成三組 A,B與C,其中A與B相連,B與C相連,但A與C不相連,見(jiàn)圖10所示.假定B組至少有兩個(gè)節(jié)點(diǎn),且每個(gè)組內(nèi)的節(jié)點(diǎn)與連邊形成一個(gè)相連的子網(wǎng).他們發(fā)現(xiàn)那兩個(gè)非連續(xù)的A與C同步而中間B組與它們無(wú)關(guān),且鏡像對(duì)稱性是這種遙同步發(fā)生的機(jī)制,比如A組中的節(jié)點(diǎn)1與C組中的節(jié)點(diǎn)N就具有鏡像對(duì)稱性而會(huì)完全同步.

基于大腦中的遙同步現(xiàn)象,Kang等[62]討論了第2節(jié)中那個(gè)真實(shí)腦皮層網(wǎng)絡(luò)上遙同步的可能性,發(fā)現(xiàn)對(duì)全同振子很難觀察到遙同步.但若考慮大腦中信號(hào)速度的有限而加進(jìn)延遲時(shí),遙同步則成為可能.具體地,考慮真實(shí)腦皮層網(wǎng)絡(luò)上每個(gè)節(jié)點(diǎn)為Stuart-Landau振子,滿足如下方程:

其中 xi與yi分別代表ui的實(shí)部與虛部.這里固定α=1.0 與ω=2.0.圖11給出了τ=0.5 與ε=0.1時(shí)的六個(gè)典型的遙同步斑圖,相似的斑圖也可在其他的參數(shù)τ與ε處發(fā)現(xiàn).圖11的第二列與第三列清楚地表明每一個(gè)斑圖都有兩個(gè)或更多的中心節(jié)點(diǎn),與第一列的斑圖只有一個(gè)中心節(jié)點(diǎn)形成了鮮明的對(duì)比.

圖10 A與C組之間的遙同步同步由B組的介導(dǎo)來(lái)完成.節(jié)點(diǎn)的顏色代表了它們的狀態(tài),可見(jiàn)節(jié)點(diǎn)1與N是完全同步的,而B(niǎo)組中節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)是無(wú)關(guān)的.改編自文獻(xiàn)[61]Fig.10.Remote synchronization between node groups A and C mediated by incoherence in group B.The colors of the nodes schematically represent their states,indicating that nodes 1 and N are identically synchronized,while the dynamics of the nodes in B are incoherent.Figure adapted from Ref.[61].

圖11的發(fā)現(xiàn)也不同于文獻(xiàn)[57]中的遙同步斑圖,因此有必要進(jìn)一步挖掘.圖11的第二列與第三列的一個(gè)公共特征是它們的兩個(gè)中心節(jié)點(diǎn)是由一些公共葉子節(jié)點(diǎn)相連的.由此,Kang等[62]提出了一個(gè)新的遙同步框架,見(jiàn)圖12,其中紅、藍(lán)、粉紅數(shù)字分別代表中心節(jié)點(diǎn)、葉子節(jié)點(diǎn)與公共葉子節(jié)點(diǎn).這個(gè)模型揭示,當(dāng)公共葉子節(jié)點(diǎn)的耦合強(qiáng)度較小時(shí),只能形成單個(gè)中心節(jié)點(diǎn)的遙同步.但當(dāng)公共葉子節(jié)點(diǎn)的耦合強(qiáng)度較大時(shí),兩個(gè)遙同步集團(tuán)可以合并成一個(gè)較大的遙同步集團(tuán),此時(shí)那兩個(gè)中心節(jié)點(diǎn)同步成為一個(gè)同步集團(tuán),而所有的葉子節(jié)點(diǎn)成為另一個(gè)同步集團(tuán).詳情見(jiàn)原文,這里不展開(kāi)討論了.

此外,還有其他的一些關(guān)于遙同步的研究,比如Gambuzza等[63]研究了多層網(wǎng)上的遙同步,Punetha等[64]研究了二分網(wǎng)上帶時(shí)間延遲的遙同步,Leyva等[65]研究了多層對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)上的遙同步等.

圖11 參數(shù)取 τ=0.5 與ε=0.1 時(shí)的六個(gè)典型的遙同步斑圖.每個(gè)斑圖都是按如下條件挑選的:(i)在中心節(jié)點(diǎn)與葉子節(jié)點(diǎn)間沒(méi)有同步化;(ii)所有的葉子節(jié)點(diǎn)均相互同步化.改編自文獻(xiàn)[62]Fig.11.Six typical patterns of RS for τ=0.5 and ε=0.1 .Each pattern is chosen by the conditions:(i)There is no synchronization between the hub and its peripheral nodes;(ii)all the peripheral nodes are synchronized each other.Figure adapted from Ref.[62].

圖12 具有兩個(gè)中心節(jié)點(diǎn)的遙同步新框架示意圖,其中紅、藍(lán)、粉紅數(shù)字分別代表中心節(jié)點(diǎn)、葉子節(jié)點(diǎn)與公共葉子節(jié)點(diǎn).改編自文獻(xiàn)[62]Fig.12.A schematic figure of the new framework of RS with two huns,where the nodes with red,blue and pink numbers represent the hub,leaf and common leaf nodes,respectively.Figure adapted from Ref.[62].

4 集團(tuán)同步

集團(tuán)同步表示網(wǎng)絡(luò)中特定集團(tuán)內(nèi)的振子將同步到相同的軌道而不同集團(tuán)之間的行為則互不相同.這種同步集團(tuán)可以出現(xiàn)在成群的動(dòng)物中,其網(wǎng)絡(luò)為鄰居間的視覺(jué)連接,或者由局部通訊網(wǎng)連接的成群的無(wú)人駕駛汽車(chē).集團(tuán)同步也可以出現(xiàn)在電力網(wǎng)中,這將是出問(wèn)題的征兆,即失去全局同步.最近的研究表明,網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞膶?duì)稱性與同步動(dòng)力學(xué)集團(tuán)的形成有重要關(guān)系[66-70],并已為較多的實(shí)驗(yàn)證實(shí)[71-74],王新剛[70]對(duì)此有一個(gè)較全面的綜述.

為了說(shuō)明耦合振子網(wǎng)絡(luò)中的對(duì)稱性與集團(tuán)的概念,圖13(a)展示了一個(gè)四節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò),其中振子是全同的、耦合是雙向的[73].這個(gè)網(wǎng)絡(luò)總共有六個(gè)對(duì)稱.圖13(b)給出了圖13(a)中交換節(jié)點(diǎn)1與2的一個(gè)反射,網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)保持不變.圖13(c)展示了旋轉(zhuǎn) 1 200的網(wǎng)絡(luò),其與原始結(jié)構(gòu)(圖13(a))不可區(qū)分.這些對(duì)稱性可由鄰接矩陣A的對(duì)稱性來(lái)表示,其元素為 Aij=1 如果節(jié)點(diǎn) i 與節(jié)點(diǎn) j 相連,否則 Aij=0 .網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)可寫(xiě)為

其中 i=1,···,N,xi為振子 i 的動(dòng)力學(xué)矢量,F為振子的矢量場(chǎng),H 為耦合函數(shù).這個(gè)動(dòng)力學(xué)方程也可寫(xiě)成拉普拉斯耦合的形式

圖13 網(wǎng)絡(luò)中對(duì)稱性的例子(a)四個(gè)全同振子通過(guò)三根連線耦合的網(wǎng)絡(luò);(b)一個(gè)反射操作后的同一網(wǎng)絡(luò);(c)一個(gè)旋轉(zhuǎn)操作后的同一網(wǎng)絡(luò);(d)一個(gè) 11 個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)有三個(gè)集團(tuán)(藍(lán)、綠、白).改編自文獻(xiàn)[73]Fig.13.Examples of symmetries in networks:(a)A network of four identical oscillators coupled through three identical links;(b)the same network after a reflection operation;(c)the same network after a rotation operation;(d)an 11-node network showing three clusters(blue,green,and white).Figure adapted from Ref.[73].

在圖13(a)的網(wǎng)絡(luò)中,節(jié)點(diǎn)1,2與3有相同的運(yùn)動(dòng)方程,因此如果它們從相同的初始條件出發(fā),就將能永久地保持同步化.節(jié)點(diǎn)4不能與任何其他節(jié)點(diǎn)置換且也不與它們同步,因此在圖13(b)與圖13(c)中將其標(biāo)為不同的顏色.這是網(wǎng)絡(luò)中對(duì)稱性與動(dòng)力學(xué)間的親密關(guān)系,它將網(wǎng)絡(luò)分成了兩個(gè)集團(tuán)1,2,3與4.文獻(xiàn)[73]討論了對(duì)于給定的網(wǎng)絡(luò),如何發(fā)現(xiàn)所有可能的集團(tuán)同步斑圖.其主要結(jié)論是鄰接矩陣的對(duì)稱性對(duì)應(yīng)動(dòng)力學(xué)的對(duì)稱性,當(dāng)它們從一個(gè)同步態(tài)出發(fā),可置換的節(jié)點(diǎn)集構(gòu)成的集團(tuán)就將保持同步,即每個(gè)集團(tuán)的同步態(tài)是動(dòng)力學(xué)流不變的.圖14給出了所有允許的斑圖,其中屬于相同集團(tuán)的節(jié)點(diǎn)標(biāo)成了同一種顏色.

文獻(xiàn)[68]指出,基于集團(tuán)的坐標(biāo)變換可以更簡(jiǎn)單且更快地計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的對(duì)稱性.圖15是關(guān)于24個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)上的9個(gè)對(duì)稱性集團(tuán),其中每個(gè)集團(tuán)中的節(jié)點(diǎn)具有相同的穩(wěn)定性,而不同的集團(tuán)則穩(wěn)定性不同,且這些同步集團(tuán)可唯一確定.此外,Dahms[66]等考慮了時(shí)間延遲對(duì)全同振子網(wǎng)絡(luò)上集體行為的影響,發(fā)現(xiàn)延遲耦合確實(shí)可以誘導(dǎo)出不同的同步集團(tuán),且允許集團(tuán)同步的耦合矩陣在本征值譜上也顯示了非常類(lèi)似的對(duì)稱性.

圖14 五個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)中的集團(tuán)斑圖 左邊: 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)連接為鄰接矩陣(方程(20))時(shí)所有可能的斑圖;右邊: 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)連接為拉普拉斯矩陣(方程(21))時(shí)額外的斑圖.改編自文獻(xiàn)[73]Fig.14.Patterns of clusters in a five-node network.Left: All possible patterns displayed when the network connectivity is given by the adjacency matrix(Eq.(20));right: Additional patterns displayed when the network connectivity is given by the Laplacian matrix(Eq.(21)).Figure adapted from Ref.[73].

圖15 24個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)中對(duì)稱集團(tuán)的分組.改編自文獻(xiàn)[68]Fig.15.Grouping of symmetry clusters in a CS pattern for a 24-node network.Figure adapted from Ref.[68].

5 討論與展望

至此,我們完成了對(duì)奇異態(tài)、遙同步與集團(tuán)同步這三種部分同步態(tài)研究進(jìn)展的介紹.從這些研究可見(jiàn),它們?nèi)咧g既有聯(lián)系,也有區(qū)別.首先,它們?nèi)叨际墙橛谕耆脚c完全無(wú)序之間的中間態(tài),承擔(dān)著從無(wú)序到同步的過(guò)渡任務(wù).但這種中間態(tài)并不是通常那種大家逐漸靠近、序參量逐漸增大的二級(jí)相變過(guò)程,而是在位形空間中形成兩種性質(zhì)截然不同的狀態(tài)且相互共存,這就比較神奇,從而成為了它的反直觀之處,同時(shí)也成就了它用于解釋大腦斑圖的特質(zhì).這個(gè)特質(zhì)在奇異態(tài)中表現(xiàn)為相互連接的同步組與非同步組的共存,也可以是分開(kāi)的多個(gè)同步組與非同步組的共存;在遙同步中表現(xiàn)為不直接相連的分散振子成為了同步態(tài),而與它們相連的振子,尤其是中心節(jié)點(diǎn),卻不與它們同步;在集團(tuán)同步中表現(xiàn)為具有網(wǎng)絡(luò)對(duì)稱性的節(jié)點(diǎn)達(dá)成了同步,而不同對(duì)稱性的集團(tuán)則成為不同的同步集團(tuán),同步的振子之間可以存在連接,也可以沒(méi)有直接的連接.這些不同的表觀形式其實(shí)可以看成是同一種現(xiàn)象的不同表述,就像量子力學(xué)中不同的表象一樣,供我們?cè)诓煌沫h(huán)境下有選擇地使用.

除了在表觀形式上不相同之外,它們?nèi)叱霈F(xiàn)的條件也不相同.奇異態(tài)最初要求的條件是非局域耦合,由衰減核描述.然后這個(gè)條件推廣為初始條件的不同,但非局域耦合的要求適當(dāng)放寬,不再要求各個(gè)振子的耦合對(duì)象均有些不同,而改為各組內(nèi)個(gè)體耦合的對(duì)象完全相同,但不同組間個(gè)體耦合的對(duì)象不相同.再然后進(jìn)一步推廣為延遲系統(tǒng),此時(shí)所有個(gè)體耦合的對(duì)象可以完全相同.遙同步主要討論的是朗道振子系統(tǒng),本質(zhì)原因是朗道振子可作為線性濾波器來(lái)傳遞不直接相連的節(jié)點(diǎn)間的耦合信息,從而使中心節(jié)點(diǎn)周?chē)娜~子節(jié)點(diǎn)達(dá)到同步.遙同步最初是在星形網(wǎng)上進(jìn)行討論的,現(xiàn)已拓展至復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)乃至真實(shí)的腦網(wǎng)絡(luò).集團(tuán)同步最初要求的是網(wǎng)絡(luò)位置完全對(duì)稱,這就導(dǎo)致對(duì)稱性相同的節(jié)點(diǎn)具有完全一樣的動(dòng)力學(xué)方程,從而可達(dá)到完全同步的動(dòng)力學(xué)行為.后來(lái)這個(gè)條件推廣為輸入量相同即可,因?yàn)樗^對(duì)稱性保證的實(shí)際上是耦合貢獻(xiàn)的等同.

事實(shí)上,這三種部分同步并不是完全獨(dú)立的,而是都可看成某種局部對(duì)稱性的體現(xiàn).例如奇異態(tài)中同步組內(nèi)的振子實(shí)際上具有相同的對(duì)稱性,遙同步中圍繞中心節(jié)點(diǎn)的葉子也具有完全對(duì)稱的地位,集團(tuán)同步就更不用說(shuō)了,它的定義就源自對(duì)稱性.按照這個(gè)局部對(duì)稱性的特點(diǎn),我們其實(shí)可以拋開(kāi)直接相連或不直接相連的具體細(xì)節(jié),而將這三者統(tǒng)稱為局部同步態(tài)的涌現(xiàn).在這個(gè)意義上,就不難理解在某些系統(tǒng)中可以同時(shí)出現(xiàn)多種部分同步態(tài).比如圖11中的遙同步振子與其他的非同步振子一起就構(gòu)成了奇異態(tài),圖12中的遙同步振子因結(jié)構(gòu)對(duì)稱也可當(dāng)作集團(tuán)同步.同理,對(duì)于圖15中的那些同步集團(tuán)中的振子,如果它們不直接相連的話,就是遙同步了,比如 C2中的振子5與6.這種同時(shí)具有多個(gè)屬性的部分同步在大腦皮層網(wǎng)絡(luò)中非常普遍,或者說(shuō)大腦皮層網(wǎng)就是一個(gè)典型的呈現(xiàn)各種各樣部分同步的系統(tǒng).

這三種部分同步態(tài)的研究意義就在于它們可以被很好地用來(lái)解釋大腦高級(jí)功能的物理機(jī)制,包括感知、學(xué)習(xí)與記憶等.現(xiàn)在已經(jīng)知道大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特征,包括度分布的異質(zhì)性、小世界特征及社團(tuán)結(jié)構(gòu)等.正是由于這些特征,才保證了大腦認(rèn)知活動(dòng)期間廣泛的斑圖,從而保障了大腦高級(jí)功能的實(shí)施.當(dāng)大腦接收到不同的信號(hào)或刺激時(shí),相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)斑圖就會(huì)被啟動(dòng),或者實(shí)現(xiàn)從一個(gè)斑圖到另一個(gè)的轉(zhuǎn)換.具體表現(xiàn)就是我們觀察到的對(duì)應(yīng)奇異態(tài)的首晚效應(yīng)、對(duì)應(yīng)遙同步的分布式計(jì)算及對(duì)應(yīng)集團(tuán)同步的斑圖多樣性等.

雖然這三種部分同步的研究取得了不錯(cuò)的結(jié)果,在大腦機(jī)制的闡述方面也取得了重要的進(jìn)展,但對(duì)大腦及大腦運(yùn)行機(jī)制的研究依然是個(gè)長(zhǎng)期而艱巨的任務(wù),還有許多開(kāi)放的問(wèn)題等著我們進(jìn)一步研究.下面是根據(jù)我們自己的研究經(jīng)驗(yàn)建議的幾個(gè)開(kāi)放問(wèn)題.

1)如何將這三種部分同步得到的現(xiàn)有結(jié)論充分地用于探索大腦功能的機(jī)制,比如認(rèn)知、記憶與信號(hào)傳播等方面.

2)現(xiàn)有研究大多局限于單層網(wǎng)絡(luò).由于大腦的社區(qū)結(jié)構(gòu)特征,多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的部分同步更值得期待.文獻(xiàn)[13]是這樣的一個(gè)例子,但更進(jìn)一步、更深入的探討還很缺乏.

3)如何能跳開(kāi)結(jié)構(gòu)層面的分析,從更深的層面來(lái)揭示出一些更本質(zhì)的東西,比如從本征值譜分析的角度來(lái)進(jìn)行分析等.這方面的一個(gè)先期探索是關(guān)于本征模與模塊化結(jié)構(gòu)間的內(nèi)在聯(lián)系[75].

4)如何根據(jù)這三種部分同步的特征來(lái)控制各種神經(jīng)疾病如帕金森氏病、癲癇、阿爾茨海默病、精神分裂癥與腦腫瘤等.

5)除了這三種典型的部分同步外,是否還存在其他的部分同步態(tài)或者根本就不能歸結(jié)為部分同步但卻是腦功能所必須的狀態(tài)? 如果有的話,如何去揭示它們?

我們期待部分同步化的研究在大腦神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的機(jī)制與應(yīng)用方面發(fā)揮越來(lái)越重要的作用.希望本綜述起到拋針引線的作用,激勵(lì)出更多、更好的工作.