徐靜逸

數(shù)學(xué)教學(xué)的過程就是學(xué)生與文本、與他人、與編者的融合過程。對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的把握并非學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目的，從某種意義上說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多是為了發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。對(duì)于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)理解既有外在的行為表現(xiàn)，又有內(nèi)在的心理表征。為理解而教，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向?qū)W科本身回歸的重要標(biāo)識(shí)。

一、心理圖式：通向“理解”的數(shù)學(xué)教學(xué)原點(diǎn)

為了促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，教師不僅要基于學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更要關(guān)照學(xué)生原有心理圖式。學(xué)生的認(rèn)知圖式，不是知識(shí)的線性累積，而是知識(shí)結(jié)構(gòu)在學(xué)生心理的整體性組織。數(shù)學(xué)理解應(yīng)基于學(xué)生的心理圖式，并致力于發(fā)展學(xué)生的心理圖式，而心理圖式是通向“理解”的數(shù)學(xué)教學(xué)原點(diǎn)。

比如教學(xué)蘇教版四年級(jí)下冊(cè)“三角形的內(nèi)角和”，為了激活學(xué)生的心理圖式，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出一種連續(xù)性、自然性，筆者在教學(xué)時(shí)，從學(xué)生的心理圖式出發(fā)，首先呈現(xiàn)一個(gè)平角，學(xué)生迅速說出度數(shù)。然后，將平角動(dòng)態(tài)演變?yōu)殁g角、直角、銳角等，在變化成銳角的時(shí)候，筆者讓學(xué)生猜測(cè)度數(shù)，再讓他們用自己的方法進(jìn)行測(cè)量。在此基礎(chǔ)上，筆者出示一個(gè)三角形，學(xué)生自然能從角的視角來思考、探究三角形的特征。在通過測(cè)量探究出三角形的內(nèi)角和為180度后，有學(xué)生就試圖將三角形的三個(gè)內(nèi)角合并成一個(gè)平角。學(xué)生在小組研討、交流中，就能生成撕角法、折角法這些經(jīng)驗(yàn)性、樸素性的方法。

學(xué)生的心理圖式是學(xué)生數(shù)學(xué)理解的根基，也是學(xué)生數(shù)學(xué)理解的前提。數(shù)學(xué)理解基于學(xué)生的心理圖式，同時(shí)又能發(fā)展學(xué)生的心理圖式。為了能有效地觸摸到學(xué)生的心理圖式，教師不妨進(jìn)行學(xué)情前測(cè)，整理歸納出學(xué)生的已知和未知，從而將教學(xué)的有限時(shí)空留給未知的探索，真正落實(shí)“以學(xué)定教”的原則。

二、心理表象：通向“理解”的數(shù)學(xué)教學(xué)核心

“心理圖式”是一種穩(wěn)定、持久的心理結(jié)構(gòu)范式，而心理表象是學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)新知時(shí)，對(duì)抽象化、形式化、符號(hào)化的數(shù)學(xué)知識(shí)的一種生活化、經(jīng)驗(yàn)化加工。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，心理表象就是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象在心理上的表示形態(tài)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生不僅運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行思維，更要運(yùn)用數(shù)學(xué)表象進(jìn)行數(shù)學(xué)思維、想象。

心理表象的形式是多樣化的，既包括學(xué)生的操作表象，又包括圖形表象、言語表象等。如教學(xué)蘇教版三年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”，教師就可以從多個(gè)維度引導(dǎo)學(xué)生操作，比如物體的操作、圖形的操作，從而幫助學(xué)生獲得分?jǐn)?shù)的操作表象、圖形表象。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用言語描述，從而讓學(xué)生獲得言語表象。如筆者在教學(xué)中，根據(jù)學(xué)情調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本上都能領(lǐng)會(huì)“半個(gè)”用小數(shù)0.5表示或者用分?jǐn)?shù)[12]表示，但至于為什么“半個(gè)”可用小數(shù)0.5和分?jǐn)?shù)[12]來表示，絕大多數(shù)學(xué)生都不能回答。為此，筆者在教學(xué)中，著重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)物體或者圖形進(jìn)行平均分。借助表象來進(jìn)行思維，學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到：平均分的總的份數(shù)就是分母，表示的份數(shù)就是分子。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，表象因人而異、因事而異。通過表象進(jìn)行思維，便于思維的集中，便于思維的高效運(yùn)轉(zhuǎn)。

心理表象的建立需要經(jīng)歷逐漸內(nèi)化。很多時(shí)候，學(xué)生在初始的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，其表象是模糊的、不穩(wěn)定的，而伴隨學(xué)習(xí)的逐步深入，學(xué)生的表象逐步清晰、穩(wěn)定。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、比劃、想象、驗(yàn)證等全過程，逐步將實(shí)物轉(zhuǎn)化為學(xué)生頭腦中的表象。

三、認(rèn)知結(jié)構(gòu)：通向“理解”的數(shù)學(xué)教學(xué)深化

學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立、完善是通向“理解”的數(shù)學(xué)教學(xué)的旨?xì)w、目的，也是通向“理解”的數(shù)學(xué)教學(xué)的深化。從某種意義上說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織過程。教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷，讓學(xué)生在經(jīng)歷中感受、體驗(yàn)，更要引導(dǎo)學(xué)生思考、辨析、探究，還要引導(dǎo)學(xué)生反省、審視，將自己的認(rèn)知過程作為一種認(rèn)知，這就是“元認(rèn)知”。通過認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)逐步從膚淺、狹隘、片面走向深刻、廣闊和全面。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極反思，讓自己能“脫身”出來。比如教學(xué)蘇教版五年級(jí)下冊(cè)“三角形的面積”時(shí)，筆者引導(dǎo)動(dòng)手操作，通過“剪拼法”“倍拼法”，使學(xué)生理解三角形的面積公式。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生比較平行四邊形的面積公式推導(dǎo)、三角形的面積公式推導(dǎo)，從而形成“轉(zhuǎn)化”的推導(dǎo)思想。借助這樣的思想方法，學(xué)生能自主探究梯形的面積公式，并形成對(duì)圖形面積的整體性認(rèn)知，建構(gòu)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。學(xué)生不僅能明晰圖形的面積推導(dǎo)之間的邏輯關(guān)系，更為重要的是，學(xué)生形成了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，掌握了剪拼、倍拼的數(shù)學(xué)方法，形成了平移、旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)策略。這種較之于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法，更能內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。

學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一個(gè)不斷組織化、邏輯化的過程。在這個(gè)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將認(rèn)知結(jié)構(gòu)通過反省抽象提升到更具普適性的、高水平的結(jié)構(gòu)。對(duì)于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善是一個(gè)動(dòng)態(tài)的螺旋上升的過程，在這一過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解不斷走向深入。◆（作者單位：江蘇省蘇州市吳江實(shí)驗(yàn)小學(xué)太湖校區(qū)）