劉 巖

(黑龍江省雞西市一中，158100)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心知識,盡管在近幾年的高考中有些弱化,但仍是高考的必考考點.本文就處理數(shù)列選擇題應(yīng)體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)意識加以盤點,以期能對大家的學(xué)習(xí)有所啟發(fā)和幫助.

一、整體意識

例1 若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),則S2 016=( )

(A)22 016-1 (B)3·21 008-3

(C)3·22 018-1 (D)3·21 007-2

評注 通過整體處理,避免了分別求數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的運算,增加了思維量,減少了計算量.

變式 數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)na=2n-1,則{an}的前60項和為( )

(A)3 690 (B)3 660

(C)1 845 (D)1 830

解 由an+1+(-1)nan=2n-1，可得an+2=(-1)nan+1+2n+1=(-1)n[(-1)n-1an+2n-1]+2n+1=-an+(-1)n(2n-1)+2n+1,即

an+2+an=(-1)n(2n-1)+2n+1.

①

進而也有

an+3+an+1=-(-1)n(2n+1)+2n+3，

②

①+② 可得an+an+1+an+2+an+3=-2(-1)n+4n+4.于是，a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=16k+10(k∈N).從而有

二、函數(shù)意識

例2 等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為( )

(A)-48 (B)-49

(C)-50 (D)0

解 由{an}是等差數(shù)列，可設(shè)Sn=an2+bn(a、b∈R).

評注 數(shù)列的實質(zhì)是定義域為正整數(shù)集(或其有限子集)的一列函數(shù)值,因此很多處理函數(shù)問題的方法可以類比應(yīng)用到數(shù)列相應(yīng)問題中去.

三、討論意識

(A)[-2,3] (B)[-2,3)

(C)(-2,3] (D)(-2,3)

評注 分類討論是數(shù)學(xué)中常用的解題策略,本題中出現(xiàn)了因子(-1)n,故分類的“度”就定位在“n分奇數(shù)和偶數(shù)”.

四、放縮意識

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

綜上，整數(shù)m的最小值為5，選B.

評注 裂項是處理數(shù)列放縮題最常用的方法之一,解題的關(guān)鍵是要掌握好放縮的“度”,如何掌握這個度還要靠平時的積累.

五、周期意識

評注 涉及數(shù)列周期問題的題目很多,解題的基本思路是寫出有限項后,猜出周期當(dāng)然為了縝密,必要時還需進行證明.

六、數(shù)形意識

(A)[-5,-4] (B)[-4,-3]

(C)[-5,-3] (D)非上述答案

解 依題意，cn=max{an,bn},且c5是數(shù)列{cn}的最小項.

若c5=a5,如圖1,則必須且只需b5≤a5≤b6,即5+k≤25-5≤6+k,解得-5≤k≤-4;若c5=b5,如圖2,則必須且只需a5≤b5≤a4,即25-5≤5+k≤25-4,解得-4≤k≤-3.

綜上，-5≤k≤-3.選C.

評注 借助數(shù)形結(jié)合,讓這個較復(fù)雜題目的解決變得直觀、清晰；同時，上述解題流程也體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想

七、遞推意識

例7 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,且當(dāng)n≥5時,有an+1=a1a2…an-1.若數(shù)列{bn}滿足對任意的n∈N*,有bn=a1a2…an-a21-a22-…-a2n,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,則S24=( )

(A)-17 (B)-276

(C)1 093 (D)1 110

解 計算可知b1=0,b2=-3,b3=-8,b4=-6，b5=65.當(dāng)n≥5時,bn+1-bn=a1a2…an(an+1-1)-a2n+1=(an+1+1)(an+1-1)-a2n+1=-1,即從b5開始,數(shù)列{bn}是公差為-1的等差數(shù)列，可得bn=70-n(n≥5).

評注 本題的設(shè)計背景比較新穎,能借助已知條件挖掘到遞推式bn+1-bn=-1是破解該題的關(guān)鍵,需要良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

八、遷移意識

(A){Sn}單調(diào)減

(B){Sn}單調(diào)增

(C){S2n-1}單調(diào)減,{S2n}單調(diào)增

(D){S2n-1}單調(diào)增,{S2n}單調(diào)減

解 首先證明?AnBnCn的周長為定值3a1.

評注 注意到?AnBnCn的周長為定值,將問題遷移轉(zhuǎn)化成橢圓焦點三角形的面積問題,另辟蹊徑,說理過程令人耳目一新.當(dāng)然該題也可借助特值法來求解.

以上盤點了處理數(shù)列題時應(yīng)體現(xiàn)出的幾種數(shù)學(xué)意識,當(dāng)遇到一個具體的數(shù)列問題時,到底應(yīng)體現(xiàn)哪種或哪幾種數(shù)學(xué)意識,并沒有一成不變的規(guī)律,還需依據(jù)題目的特點以及平時的積累，具體問題,具體分析,且不可生搬硬套!