郭耀宇

(福建省廈門市集美區(qū)灌南小學(xué) 福建 廈門 361021)

數(shù)學(xué)教師對于孩子在解題過程中所犯的錯誤該如何處置呢？倘若能把學(xué)生的錯誤進行挖掘再加工，讓“錯誤”充分展露出它應(yīng)有的價值，那么就應(yīng)該可以期待融錯背后學(xué)生能力及素養(yǎng)的提升。以下試從融錯這個角度對培養(yǎng)和提升學(xué)生的推理能力與運算能力這兩個核心素養(yǎng)加以闡釋。

1.巧妙變式，提升推理能力

新課標(biāo)指出推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。在六年級教完《分數(shù)乘除法》后，有一類題讓學(xué)生屢做屢錯，若能融錯得當(dāng)，頗能提高學(xué)生的推理能力。題目如下：一條繩子剪成兩段，第一段長3/7米，第二段占全長的3/7，請問哪段繩子長？經(jīng)整理有如下“錯誤但極有價值”的分析：A：“繩子長度未知，采用特值法，設(shè)繩子總長度為1米，則第二段繩長為1×3/7=3/7(米)，所以一樣長”；B：“也用特值法，設(shè)總長度為2米，則第二段繩長為2×3/7=6/7(米)，所以第二段長”；C：“設(shè)總長度為1/2米，則第二段繩長為1/2×3/7=3/14(米)，而第一段長3/7米=6/14米，故第一段長”；D：“繩子的總長度未知，前面的解法都只是其中一種情況，無法概括出全部，故無法比較長短”；D選項較多人贊同。正是到了“不悱不發(fā)”的最佳融錯時機，此時從反證法的角度點出A的問題：既然求出第二段是3/7米，那兩段加起來總長是6/7米，這與假設(shè)全長是1米，豈不是自相矛盾？并且6/7<1，也說明還有第三段，這與題意不相符。接著繼續(xù)引導(dǎo)，能否通過數(shù)形結(jié)合的方法來解決，比如嘗試畫線段圖幫助分析(如下圖)。在畫圖的過程中，學(xué)生理解了第二段占全長的3/7，那么第一段應(yīng)占繩子全長的4/7，故第一段長。

此時繼續(xù)挖掘錯誤，引導(dǎo)學(xué)生探究“特值法的假設(shè)為什么是錯的”？“根據(jù)已知條件能求出繩子的確切長度嗎？”豁然開朗！陸續(xù)有學(xué)生根據(jù)線段圖列出算式得到整條繩子的長度：3/7÷(1-3/7)=3/4(米)；還可假設(shè)繩子長為x米，有(1-3/7)x=3/7，得x=3/4米！原來是一個確定的數(shù)值，因此隨意的假設(shè)當(dāng)然就錯了(學(xué)生錯用特值法：因為一開始這條繩子的長度就是確定的，只不過是一個隱藏的已知條件)！此時還可繼續(xù)深挖，出示這道題：一條繩子，第一次剪下3/7米，第二次剪下全長的3/7，請問哪次剪下的繩子長？雖然有了前一題的鋪墊，但是很多同學(xué)因?qū)忣}不清，還是認為第一次比較長。實際上這一題沒有強調(diào)只能剪成兩段，只是說剪了兩次，所以繩子的總長度是無法再被確定的，因此正確答案是無法判斷哪次剪的長。通過讓學(xué)生從錯誤中學(xué)習(xí)，并對題目進行變式，層層推進，讓學(xué)生學(xué)會用畫圖法、方程法等方法分析數(shù)量關(guān)系，相信能慢慢提升學(xué)生的推理能力。

2.對比辨析，提高計算能力

運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算定律正確的進行運算的能力。從某個角度來說運算能力是學(xué)好數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)也是最重要的能力了，因此教師要高度重視學(xué)生運算能力的培養(yǎng)。在畢業(yè)考計算總復(fù)習(xí)中，因為對乘法分配律的定義理解不清，導(dǎo)致乘法分配律的應(yīng)用不佳。針對此種情況安排學(xué)生再次“試錯”。給出以下四道題(4題依次出現(xiàn)，完成一題再出示下一題，附學(xué)生解答)。

①(1/4+1/5)×20

=1/4×20+1/5×20

=5+4

=9

②(1/4+1/5)÷1/20

=1/4÷1/20+1/5÷1/20

=1/4×20+1/5×20

=5+4

=9

③1/20÷(1/4+1/5)

=1/20÷1/4+1/20÷1/5

=1/20×4+1/20×5

=1/5+1/4

=9/20

④(1/4+1/5)×4×5

=1/4×4+1/5×5

=1+1

=2

做完第①題后大家順著乘法分配律的思維做第②題，學(xué)生做對了嗎？解題中含有“所謂除法分配率”的“影子”，可并沒有“除法分配率”！錯了嗎？但通過變形答案又是正確的。第③題就有部分學(xué)生受思維定勢影響做錯了。第④題學(xué)生“選擇性”的應(yīng)用乘法分配律。如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“辨析”的環(huán)節(jié)？使學(xué)生們能夠順利糾錯。筆者首先請一位同學(xué)板演第②題(已在學(xué)生做題時巡視過)，板演如下：

(1/4+1/5)÷1/20

=(1/4+1/5)×20

=1/4×20+1/5×20

=9

然后請他說說思路，“先將括號看成一個整體，運用除法法則，將除法轉(zhuǎn)變成乘法，再運用乘法分配律進行計算”，他的分析使學(xué)生明確了上例第②題答案正確的“僥幸”。其次是對于第③題的處理，作為教師必須深知課堂教學(xué)中真正的生成性往往來自學(xué)生出現(xiàn)差錯時教師的處理和師生的互動。本題受“除法分配率”這個負因素的思維干擾，為此我設(shè)計了辯論環(huán)節(jié)，正方即運用“除法分配率”的學(xué)生代表分析說：“因為乘除法運算互為逆運算，所以可以把1/4和1/5分開除然后再相加，應(yīng)該不會錯！”反方學(xué)生闡述：我們根據(jù)運算順序，有括號先算括號里的，然后再進行除法計算，得出的答案是1/9。這時再讓學(xué)生觀察第②題與第③題的題目結(jié)構(gòu)有何不同？然后順勢復(fù)習(xí)乘法分配律的定義：兩個數(shù)的和與第三個數(shù)相乘等于這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘再相加。第②題(1/4+1/5)÷1/20=(1/4+1/5)×20可以轉(zhuǎn)化成乘法分配律的模型，因為可以把1/20看成是第三個數(shù)，但第③題1/20÷(1/4+1/5)中因為兩個數(shù)的和即(1/4+1/5)已經(jīng)移換到了除數(shù)的位置，所以此時無法再轉(zhuǎn)化成乘法分配律的模型了，故上例中第③題的解法應(yīng)該是錯的。第④題依然可以把(1/4+1/5)看作一個整體，把4×5先計算出來，然后依照第①題計算。通過這樣的辨析，學(xué)生在常錯而又有疑惑的地方得到了明晰，學(xué)生思考后的辯論和知錯析錯改錯后的興奮，也必定會進一步讓學(xué)生鞏固對運算定律——乘法分配律的理解和應(yīng)用，這樣的融錯必將提高學(xué)生的計算能力。

3.錯題收集，促成素養(yǎng)提升

錯誤伴隨著整個學(xué)習(xí)過程，單純依靠課堂這一陣地進行“融錯”，時間是遠遠不夠的。為此筆者在班級鼓勵學(xué)生開展各具特色的典型錯題收集活動，每位學(xué)生準備一本精美的筆記本，然后要求學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)層次摘抄比較有針對性并且較有思維價值的錯題，按照①錯題的來源②正確的解答③給我的啟發(fā)④所用數(shù)學(xué)解題方法四個步驟進行整理，尤其重點關(guān)注第④點即所用的解題方法，盡量做到每次收集錯題的時候，都有特值法、數(shù)形結(jié)合法、分析綜合法、排除法等類型的題目，哪怕是優(yōu)生雖然沒有什么錯題可收集，但也要根據(jù)這幾種方法挑選出對他而言比較有思考價值的題目，分門別類加以整理。一般要求學(xué)生以每單元做為一個小周期，在單元檢測講評完后布置錯題收集，收集完后教師進行批改并加以引導(dǎo)，在收集的題目上做適當(dāng)變形，比如修改數(shù)字或?qū)φ{(diào)題目的題設(shè)和結(jié)論，讓學(xué)生再次練習(xí)，從而讓學(xué)生有的放矢，根據(jù)解題方法解決同一類型的題。同時為了保持住學(xué)生的新鮮感，每個月安排一節(jié)課讓學(xué)生交流收集錯題的感想，把好的方法和同學(xué)們一起分享，力求讓學(xué)生自己實現(xiàn)“造血”的功能；接著以半學(xué)期為一個大周期，在一學(xué)期內(nèi)舉辦兩次的錯題集手抄報比賽，并頒發(fā)獎狀和獎品以鼓舞學(xué)生不斷的融錯。經(jīng)過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生們基本能以正確的態(tài)度對待錯誤，能夠利用錯題集歸類，解題方法得到優(yōu)化，自身“融錯”的能力也有所提高，促成了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

懷特黑德說畏懼錯誤就是毀滅進步。教師要讓學(xué)生從自己或他人的錯誤中感悟、學(xué)習(xí)，使錯誤的消極因素轉(zhuǎn)化成積極因素，直至獲得成功的體驗。因為我們堅信有錯誤的學(xué)習(xí)才是真正的學(xué)習(xí)！期待錯誤的華麗轉(zhuǎn)身吧！