江西省永修縣第一中學 (330304) 易 華

1．試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=ex-mx有兩個零點x1,x2，則下面結論正確的是.

本題考查含參函數(shù)極值點偏移問題，考查函數(shù)零點、二元變量范圍問題、主要考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸轉化思想、分類討論思想，旨在考查學生的邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

2．解法探究

本題是含參函數(shù)極值點偏移問題，首先應探究參數(shù)的取值范圍.

解法1：(分類討論)因為f′(x)=ex-m.

①若m≤0時,f′(x)>0，f(x)在R上單調遞增，不存在兩個零點.

綜上，當m>e時f(x)有兩個零點.

綜上，當m>e時f(x)有兩個零點.

其次，面對雙變元的不等式問題，我們的解題策略是轉化為單變元的不等式問題進行解答.

對(3)的解法探究：

解法1：(構造函數(shù)法)不妨設x12等價于f(x1)>f(2-x2),即f(x2)>f(2-x2).

記g(x)=f(x)-f(2-x)=ex-e2-x+2m(x>lnm)，g′(x)=ex+e2-x>0,故g(x)在(lnm,

解法2：(換元法)令t=x2-x1,

對(4)的解法探究：

綜合上述探究，得出正確結論共有(2)(3)(4).

點評:以上解題方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉化為單變元不等式，方法一、四利用構造新的函數(shù)來達到消元的目的，方法二、三則是利用構造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達到消元的目的.

3．解法反思

含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元x1,x2的基礎上，又多了一個參數(shù)，故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構造出一個變元的新的函數(shù).

通過上述解法探究，可知用構造函數(shù)法求解極值點偏移問題大致可以分為以下三步：

(1)求導，獲得函數(shù)的單調性，極值情況，作出圖像，由題意得知x1,x2的范圍(數(shù)學結合思想);

(2)構造函數(shù):

①x1+x2>(<)2x0型的結論構造函數(shù)f(x)-f(2x0-x)；

③替換函數(shù)法構造函數(shù)；

④對數(shù)平均不等式構造函數(shù);

(3)求導，限定范圍，判斷符號，獲得不等式，證明得出結論.