杜興丹 陳安軍

摘要：應(yīng)用牛頓諧波平衡法求解跌落沖擊條件下懸掛系統(tǒng)無(wú)量綱非線性動(dòng)力學(xué)方程，獲得無(wú)量綱位移及加速度響應(yīng)的近似解析解，并給出無(wú)量綱位移最大值、加速度最大值與跌落沖擊時(shí)間等跌落沖擊性能評(píng)價(jià)的重要參數(shù)的解析表達(dá)。同時(shí)分別與四階龍格一庫(kù)塔數(shù)值解和變分迭代解析解比較，算例分析結(jié)果表明，由牛頓諧波平衡法獲得的二、三階近似解的精度滿足工程需求，且三階近似解精度優(yōu)于二階近似解?；谂ｎD諧波平衡法解析解，建立系統(tǒng)跌落沖擊破損評(píng)價(jià)的代數(shù)方程，使系統(tǒng)破損邊界曲線的獲得及相關(guān)參數(shù)影響分析更加方便，為非線性系統(tǒng)跌落破損評(píng)價(jià)提供了一種有效的分析方法。

關(guān)鍵詞：懸掛彈簧系統(tǒng);破損評(píng)價(jià);非線性;牛頓諧波平衡法;近似解

中圖分類號(hào)：TB485.3;0328文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）02-0331-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.02.013

引言

在產(chǎn)品流通過(guò)程中，跌落沖擊是引起產(chǎn)品損傷的重要因素，跌落沖擊條件下產(chǎn)品動(dòng)力學(xué)性能研究對(duì)產(chǎn)品的防護(hù)具有重要的理論意義。牛頓以產(chǎn)品所能承受的典型加速度脈沖幅值與速度變化量問(wèn)接描述產(chǎn)品脆值，提出破損邊界理論，該理論適用于線性系統(tǒng)。實(shí)際應(yīng)用中，由于緩沖材料的非線性特性，王志偉針對(duì)典型非線性系統(tǒng)跌落破損評(píng)價(jià)方法，建立了線性和非線性系統(tǒng)跌落破損評(píng)價(jià)統(tǒng)一理論。懸掛彈簧作為一種典型的結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)，其減振效果優(yōu)于線性系統(tǒng)，特別適合低脆值精密儀器設(shè)備的減振防護(hù)，可使產(chǎn)品在不同方向獲得緩沖保護(hù)。吳曉等對(duì)懸掛系統(tǒng)自振及其在基礎(chǔ)位移激勵(lì)下的振動(dòng)特性進(jìn)行了深人探討;王蕾等分析了矩形脈沖激勵(lì)下懸掛系統(tǒng)的沖擊特性，以加速度響應(yīng)峰值與脈沖激勵(lì)幅值之比為系統(tǒng)沖擊響應(yīng)指標(biāo)，脈沖激勵(lì)時(shí)問(wèn)、系統(tǒng)懸掛角為變量構(gòu)建三維沖擊譜;李輝等以考慮易損件的二自由度懸掛系統(tǒng)為對(duì)象，研究系統(tǒng)跌落沖擊條件下易損件的響應(yīng)特性，并討論系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)對(duì)易損件跌落沖擊特性的影響。由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性，關(guān)于懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的分析多采用數(shù)值分析方法，但數(shù)值方法不易獲得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的解析表達(dá)，系統(tǒng)參數(shù)對(duì)響應(yīng)的影響規(guī)律難以顯函數(shù)的形式描述。宋爽等用變分迭代（VIM）法求解動(dòng)力學(xué)方程，獲得懸掛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)解析表達(dá)式，VIM法雖不依賴于小參數(shù)，但存在加速度最大值誤差較大的問(wèn)題，需用能量法進(jìn)行校正，其推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜。

牛頓諧波平衡法（NHB）將牛頓線性化方法和諧波平衡分析方法相結(jié)合，對(duì)非線性保守系統(tǒng)可避免單獨(dú)使用諧波平衡法時(shí)求解復(fù)雜非線性代數(shù)方程組的問(wèn)題，且不依賴于小參數(shù)。該法主要用于非線性微分方程近似解析分析，更多關(guān)注系統(tǒng)位移響應(yīng)及頻率或周期等，可獲得滿意的精度，但較少用于產(chǎn)品跌落沖擊動(dòng)力學(xué)分析。本文將NHB法應(yīng)用于懸掛系統(tǒng)跌落沖擊動(dòng)力學(xué)分析，獲得系統(tǒng)位移、加速度響應(yīng)最大值等重要參數(shù)的解析表達(dá)，并將結(jié)果應(yīng)用于跌落沖擊動(dòng)力學(xué)評(píng)價(jià)，建立系統(tǒng)跌落沖擊破損邊界的評(píng)價(jià)方程。

1系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

低脆值精密儀器設(shè)備防護(hù)使用的懸掛式緩沖系統(tǒng)，在不考慮阻尼條件下，其力學(xué)模型如圖1所示。

3近似解精度比較

為評(píng)價(jià)NHB法近似解的精度，與四階龍格一庫(kù)塔數(shù)值解及VIM近似解比較。當(dāng)無(wú)量綱跌落沖擊速度為V=0.6，系統(tǒng)懸掛角φo=60°時(shí)，系統(tǒng)無(wú)量綱位移、無(wú)量綱加速度時(shí)問(wèn)歷程如圖2，3所示（R-K表示龍格一庫(kù)塔數(shù)值計(jì)算結(jié)果，F(xiàn)，S，T分別表示NHB一階、二階、三階近似解，V表示VIM近似解）。跌落沖擊過(guò)程系統(tǒng)響應(yīng)位移、加速度最大值以及跌落沖擊時(shí)問(wèn)是關(guān)注的重要參數(shù)。為進(jìn)一步驗(yàn)證解的精度，不同無(wú)量綱跌落沖擊速度及系統(tǒng)懸掛角，無(wú)量綱位移、加速度響應(yīng)最大值以及跌落沖擊時(shí)問(wèn)比較及誤差分析如表1-3所示。

由圖2及3可知，NHB法獲得的二、三階解析解（無(wú)量綱位移、加速度時(shí)問(wèn)歷程）與四階龍格一庫(kù)塔數(shù)值分析結(jié)果吻合較好，三階近似解最為接近，NHB二、三階近似解優(yōu)于VIM。

由表1，2及3知，相同懸掛角下，隨無(wú)量綱跌落沖擊速度增加，NHB獲得的無(wú)量綱位移、加速度最大值及跌落沖擊時(shí)問(wèn)相對(duì)誤差出現(xiàn)增大，三階近似解相對(duì)誤差最小，表明懸掛式非線性系統(tǒng)近似解對(duì)初始條件敏感;相同無(wú)量綱跌落沖擊速度下，隨懸掛角減小，NHB獲得的無(wú)量綱位移、加速度最大值相對(duì)誤差增大，表明系統(tǒng)近似解對(duì)懸掛角同樣敏感。4跌落破損評(píng)價(jià)

5結(jié)束語(yǔ)

（1）應(yīng)用NHB求解懸掛緩沖系統(tǒng)跌落沖擊無(wú)量綱非線性動(dòng)力學(xué)方程，獲得系統(tǒng)響應(yīng)一階、二階及三階解析表達(dá)式，系統(tǒng)響應(yīng)的重要參數(shù)如位移最大值、加速度最大值以及跌落沖擊持續(xù)時(shí)問(wèn)以代數(shù)方程表征，分析過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單。

（2）分別與四階龍格一庫(kù)塔數(shù)值分析及VIM近似解比較，結(jié)果表明NHB二、三階位移及加速度響應(yīng)時(shí)問(wèn)歷程與數(shù)值解基本吻合，無(wú)量綱位移響應(yīng)最大值、加速度響應(yīng)最大值以及跌落沖擊持續(xù)時(shí)問(wèn)的二、三階近似結(jié)果，其精度滿足工程要求。

（3）系統(tǒng)的近似解對(duì)系統(tǒng)初始條件及懸掛角敏感。相同懸掛角下，隨無(wú)量綱跌落沖擊速度增加，系統(tǒng)響應(yīng)無(wú)量綱位移、加速度最大值及跌落沖擊時(shí)問(wèn)相對(duì)誤差增加;相同無(wú)量綱跌落沖擊速度下，隨懸掛角減小，無(wú)量綱位移、加速度最大值相對(duì)誤差增大，其原因是當(dāng)系統(tǒng)懸掛角小于90°時(shí)，動(dòng)力學(xué)方程非線性項(xiàng)系數(shù)小于零，垂直方向系統(tǒng)恢復(fù)力特性表現(xiàn)為三次非線性軟彈簧性能，且隨懸掛角減小，軟彈簧性能增加，非線性項(xiàng)的影響增加，但高階近似解可以修正非線性項(xiàng)的影響，使其影響減弱。

（4）NHB解析解用于跌落沖擊破損評(píng)價(jià)，獲得破損評(píng)價(jià)代數(shù)方程，有利于系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)對(duì)跌落破損邊界影響分析。系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要參數(shù)懸掛角對(duì)破損邊界影響分析表明，隨懸掛角減小，對(duì)給定脆值的產(chǎn)品，其安全區(qū)域增大，表明通過(guò)懸掛角設(shè)計(jì)可提高系統(tǒng)抗沖擊能力。

懸掛式非線性系統(tǒng)跌落沖擊動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析表明，NHB提供了一種新的高精度解析方法，可推廣到對(duì)其他保守非線性緩沖包裝系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)評(píng)價(jià)。