邢子康 申永軍 邢海軍 王軍

摘要：提出了一種含有杠桿元件的新型動(dòng)力吸振器模型，基于H∞與H2準(zhǔn)則進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，并分析了減振效果。首先建立了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程并求解，然后利用固定點(diǎn)理論和最優(yōu)性能指標(biāo)分別對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行H∞優(yōu)化和H2優(yōu)化，從而得到了兩種優(yōu)化準(zhǔn)則下的最優(yōu)參數(shù)。將解析得到的結(jié)果和數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，證明了求解的正確性。進(jìn)一步分析了放大比對(duì)系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)和主系統(tǒng)振幅的影響。將含有杠桿模型與經(jīng)典的動(dòng)力吸振器模型進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)含有杠桿模型的減振效果優(yōu)于已有的經(jīng)典動(dòng)力吸振器模型，可以為設(shè)計(jì)新型動(dòng)力吸振器提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)控制;動(dòng)力吸振器;參數(shù)優(yōu)化;杠桿;固定點(diǎn)理論

中圖分類號(hào)：0328;TH113.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）02-0347-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.02.015

引言

動(dòng)力吸振器（Dynamic Vibration Absorber，簡(jiǎn)稱DVA）是一種附加在受激勵(lì)的主系統(tǒng)上以抑制其振動(dòng)的控制裝置。1911年Frahm發(fā)明了第一個(gè)DVA，這種DVA只是在單自由度主系統(tǒng)上附加了無阻尼DVA，雖然減振效果很好但是有效頻帶很窄。1928年，Ormondroyd和Den Hartog在Frahm發(fā)明的DVA中加入阻尼，這就是目前廣為所知的Voigt式DVA。Voigt式DVA不僅減小了主系統(tǒng)振幅，而且拓寬了減振頻帶。加入阻尼后主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線上出現(xiàn)了兩個(gè)與阻尼無關(guān)的固定點(diǎn)，據(jù)此他們提出了設(shè)計(jì)DVA的固定點(diǎn)理論。隨后Hahnkamm與Brock根據(jù)固定點(diǎn)理論得到了DVA的最優(yōu)頻率比與最優(yōu)阻尼比。根據(jù)固定點(diǎn)理論設(shè)計(jì)DVA的過程稱為H∞優(yōu)化，在此準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)DVA可以使主系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)的最大振幅最小。除H∞優(yōu)化以外，還有其他優(yōu)化準(zhǔn)則，如1963年Crandall和Mark提出了H2優(yōu)化準(zhǔn)則，優(yōu)化后可以使輸入主系統(tǒng)的功率最小;1988年Yamagu-chi提出最大穩(wěn)定性優(yōu)化準(zhǔn)則，從而可以使主系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)最快衰減。

除Voigt式DVA外，接地式DVA與三要素式DVA同樣被許多學(xué)者所研究。Ren，Liu等對(duì)接地式DVA進(jìn)行了研究，利用固定點(diǎn)理論優(yōu)化得到了接地式DVA的最優(yōu)參數(shù)，與Voigt式DVA進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)接地式DVA的減振效果更好。Cheung和wong對(duì)接地式DVA進(jìn)一步分析后發(fā)現(xiàn)Ren與Liu等得到的最優(yōu)參數(shù)只是在一定質(zhì)量比范圍內(nèi)的局部最優(yōu)參數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)的頻率比超過一定值時(shí)，主系統(tǒng)的最大振幅可以更小。Asami等對(duì)三要素式DVA進(jìn)行了詳細(xì)的研究，這種DVA是將Voigt式DVA模型中的阻尼替換為黏彈性材料，經(jīng)過H∞優(yōu)化和H2優(yōu)化后發(fā)現(xiàn)這種DVA在理論上可以獲得比Voigt式DVA更好的減振效果。文獻(xiàn)[12-15]在經(jīng)典DVA中引入負(fù)剛度器件，發(fā)現(xiàn)負(fù)剛度器件能使主系統(tǒng)振幅大幅度降低，減振效果明顯優(yōu)于經(jīng)典DVA。文獻(xiàn)[16-17]研究了4種半主動(dòng)DVA的近似解析解，并分析了半主動(dòng)DVA的參數(shù)設(shè)計(jì)和時(shí)滯對(duì)半主動(dòng)控制規(guī)律的影響。Hu等[18-19]與wang等研究了含有慣容器件的DVA，利用固定點(diǎn)理論與數(shù)值算法對(duì)幾種含有慣容器的DVA進(jìn)行了優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)安裝慣容可以提升DVA的性能，但需要將慣容器安裝在合適的位置。

杠桿作為一種具有力放大功能的簡(jiǎn)單機(jī)械元件，用于振動(dòng)系統(tǒng)中可以抑制振動(dòng)的幅度。1967年Flannelly在隔振器中引入杠桿元件，設(shè)計(jì)出了一種新型隔振器——?jiǎng)恿Ψ垂舱窀粽衿鳎―ynamicAnti-resonant Vibration Isolator，簡(jiǎn)稱DAVI）。這種隔振器利用杠桿的特點(diǎn)，放大了質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力來抵消彈簧力從而產(chǎn)生反共振，在獲得同樣隔振效果時(shí)質(zhì)量更小。文獻(xiàn)[22-23]中基于DAVI設(shè)計(jì)了轉(zhuǎn)子隔振系統(tǒng)，并已應(yīng)用在直升機(jī)上。文獻(xiàn)[24-25]中將兩級(jí)和多級(jí)杠桿引入隔振器，使隔振器在低頻時(shí)有效帶寬增加。文獻(xiàn)[26]中將x型剪式叉架作為杠桿式隔振器的支撐，使隔振器擁有更好的隔振性能。文獻(xiàn)[27]中將杠桿元件引入隔振器，提出了三種新型隔振器，發(fā)現(xiàn)使用杠桿元件不僅能提高隔振性能，而且在設(shè)計(jì)上約束更少。文獻(xiàn)[28]提出一種新型杠桿調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，減小了調(diào)諧質(zhì)量阻尼器安裝空問。文獻(xiàn)[29]提出了一種含有杠桿的新型橋梁減振裝置，不僅獲得了良好的減振效果，而且便于安裝維護(hù)。文獻(xiàn)[30]提出一種杠桿式非線性能量阱，與傳統(tǒng)非線性能量阱相比能在較小附著質(zhì)量時(shí)獲得優(yōu)異的減振性能。

本文通過在經(jīng)典Voigt式DVA的基礎(chǔ)上引入杠桿，對(duì)其進(jìn)行H∞與H2優(yōu)化并分析減振性能。通過與其他經(jīng)典被動(dòng)式DVA模型的對(duì)比表明，本文所提出的DVA模型在減振方面具有很大優(yōu)勢(shì)，能夠有效降低共振幅值，減少系統(tǒng)輸人能量，同時(shí)拓寬了減振頻帶，為設(shè)計(jì)新型的DVA提供了一種選擇。

1動(dòng)力吸振器模型建立及求解

圖1所示為本文所提出的含有杠桿的DVA模型，該模型是在Voigt式DVA的基礎(chǔ)上增加一個(gè)固定在支點(diǎn)位置的杠桿，通過滑塊將杠桿與主系統(tǒng)、DVA連接到一起。圖1中杠桿的阻力臂與動(dòng)力臂分別為r1與r2主系統(tǒng)質(zhì)量為m1，彈簧剛度為k1;DVA質(zhì)量為m2，彈簧剛度與阻尼系數(shù)分別為k2與c;主系統(tǒng)與DVA的位移分別為x1與x2激振力fo（t）=Fcos（cot）。

根據(jù)相似三角形定理可知，系統(tǒng)在振動(dòng)時(shí)r2與r1的比值恒定，定義杠桿的放大比為L(zhǎng)=r2/r1，阻力臂受到的力為動(dòng)力臂的L倍，動(dòng)力臂處的位移為阻力臂處的L倍。忽略杠桿質(zhì)量與系統(tǒng)中的摩擦，假設(shè)系統(tǒng)為微小振動(dòng)，忽略非線性因素，由牛頓第二定律可得到該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

2動(dòng)力吸振器參數(shù)優(yōu)化

下面針對(duì)圖1所示DVA在不同的減振要求下進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。

2.1H∞優(yōu)化

H∞優(yōu)化是指主系統(tǒng)受到外界簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，在安裝DVA后主系統(tǒng)最大振幅最小。下面使用固定點(diǎn)理論優(yōu)化DVA，為推導(dǎo)方便，引人參數(shù)

至此已經(jīng)將H∞優(yōu)化中的最優(yōu)參數(shù)vopt和εopt求出。按照固定點(diǎn)理論進(jìn)行優(yōu)化的最優(yōu)參數(shù)只是近似最優(yōu)解，但在常用質(zhì)量比u<0.2的范圍內(nèi)與精確解析解相差很小，可以滿足工程實(shí)際需要。

2.2H2優(yōu)化

H2優(yōu)化是指主系統(tǒng)受隨機(jī)激勵(lì)情況下，在安裝DVA后主系統(tǒng)整個(gè)幅頻響應(yīng)曲線下的面積最小，即輸入主系統(tǒng)的功率最小。假設(shè)主系統(tǒng)所受的激勵(lì)為理想的白噪聲，在H2優(yōu)化中，優(yōu)化的性能指標(biāo)由下式定義，通過使性能指標(biāo)最小化來求得最優(yōu)參數(shù)

3.3放大比L與主系統(tǒng)振幅的關(guān)系

放大比L的取值與主系統(tǒng)最大振幅有很大的關(guān)系，這里給出了L取不同值時(shí)主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，發(fā)現(xiàn)當(dāng)L取值足夠大時(shí)H∞優(yōu)化中最大振幅趨向于1，而H2優(yōu)化中最優(yōu)性能指標(biāo)接近于0。圖9與10為系統(tǒng)參數(shù)u=0.1，L取不同值時(shí)主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線圖。在圖9中可以看到L=1000時(shí)系統(tǒng)最大振幅趨近于1，圖10中L=1000時(shí)曲線下的面積趨近于0。

4與經(jīng)典動(dòng)力吸振器模型對(duì)比

4.1主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線對(duì)比

為證明本文模型減振效果，分別在H∞優(yōu)化和H2優(yōu)化下與Voigt式、接地式及三要素DVA進(jìn)行比較。除接地式動(dòng)力吸振器H2優(yōu)化的最優(yōu)參數(shù)以外，文獻(xiàn)[7，11，13，32]已給出了三種經(jīng)典DVA的最優(yōu)參數(shù)求解公式及振幅放大因子A的形式。通過優(yōu)化可得到接地式DVA的H2優(yōu)化最優(yōu)參數(shù)為

選取系統(tǒng)參數(shù)u=0.1，L=3，繪制各類型DVA主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，可得到圖11與12中的結(jié)果。由圖11可以看到本文模型能夠大幅度降低共振峰區(qū)域振幅，圖12中幅頻響應(yīng)曲線下的面積有效減小，減少了輸入主系統(tǒng)的功率，證明減振效果良好。

4.2在隨機(jī)激勵(lì)下主系統(tǒng)位移的時(shí)間歷程對(duì)比

因?yàn)樵诠こ讨邢到y(tǒng)所受激勵(lì)大多為隨機(jī)激勵(lì)，這里給出幾種安裝不同DVA的主系統(tǒng)在受到隨機(jī)激勵(lì)時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)，并且將本文的H2優(yōu)化結(jié)果與幾種DVA模型進(jìn)行對(duì)比。

假設(shè)主系統(tǒng)受到均值為0、功率譜密度為s（ω）=So的白噪聲激勵(lì)，則它們的絕對(duì)位移響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)分別為

從式（40）可以發(fā)現(xiàn)，本文模型的主系統(tǒng)位移響應(yīng)均方值最小，說明本文模型擁有良好的減振效果。

為了更加直觀地揭示本文模型的減振效果，構(gòu)建50s均值為0、方差為1的隨機(jī)力激勵(lì)，其時(shí)問歷程如圖13所示。選取系統(tǒng)參數(shù)：主系統(tǒng)質(zhì)量m1=1kg，主系統(tǒng)剛度k1=100N/m，吸振器質(zhì)量m1=0.1kg，其余最優(yōu)參數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[11，32]可得。將隨機(jī)力激勵(lì)分別作用于無DVA模型、本文模型、Voigt式模型、接地式模型與三要素模型，其中無DVA模型為單自由度無阻尼系統(tǒng)?？梢缘玫皆谕瑯拥南到y(tǒng)參數(shù)下，無DVA以及采用不同DVA模型時(shí)主系統(tǒng)位移的時(shí)問歷程圖，分別如圖14-18所示。

主系統(tǒng)的位移方差往往與系統(tǒng)振動(dòng)能量的波動(dòng)相關(guān)，表1總結(jié)了主系統(tǒng)位移方差及其衰減比。從圖14-18及表1可以看到DVA在振動(dòng)系統(tǒng)中的作用，以及含杠桿式吸振器的減振優(yōu)勢(shì)。

5結(jié)論

提出了一種含有杠桿元件的DVA模型，對(duì)其進(jìn)行了H∞與H2優(yōu)化，利用固定點(diǎn)理論與最優(yōu)性能指標(biāo)分別求出了H∞與H2優(yōu)化中的最優(yōu)參數(shù)。在求得最優(yōu)參數(shù)后，對(duì)其進(jìn)行數(shù)值仿真，證明了求解過程和結(jié)果的正確性，同時(shí)給出了放大比與系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)及主系統(tǒng)振幅的關(guān)系。將本文模型與傳統(tǒng)的DVA模型進(jìn)行多方面的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)本文模型能夠大幅度降低主系統(tǒng)的振幅，并且拓寬了減振頻帶，減少了輸入主系統(tǒng)的功率，證明了含杠桿式DVA的減振效果。通過對(duì)比說明了本文模型具有較大優(yōu)勢(shì)，為以后設(shè)計(jì)新型DVA模型提供了參考依據(jù)。