蔣亞靜，張現(xiàn)周

(河南師范大學物理與材料科學學院，新鄉(xiāng) 453007)

1 引 言

一個真實的量子系統(tǒng)總是與周圍環(huán)境發(fā)生相互作用.量子跳躍 (Quantum jump)是開放量子系統(tǒng)中的一種新奇現(xiàn)象，即一個被持續(xù)觀察的系統(tǒng)在兩個分立的態(tài)之間發(fā)生隨機的切換[1].量子跳躍已在許多系統(tǒng)中實現(xiàn)，如囚禁離子[2-4]、原子[5]、光子[6]、超導比特[7]和電子[8].量子跳躍在量子計算、量子熱力學和精密測量等方面的應用也得到了研究[9-11].多體糾纏系統(tǒng)中的量子跳躍也是一個很有趣的問題.2012年，Lee等人研究了里德堡原子中的集體量子跳躍，發(fā)現(xiàn)多原子系統(tǒng)可以在低里德堡態(tài)占據(jù)數(shù)態(tài)和高里德堡態(tài)占據(jù)數(shù)態(tài)之間隨機切換，并且這種現(xiàn)象來源于原子的集體行為[12].

里德堡原子是指有一個價電子處于主量子數(shù)很大的軌道上的原子，具有許多獨特的性質，如軌道半徑大、壽命長和電偶極矩大[13,14].里德堡原子有許多應用，近年來引起了研究者的廣泛關注.例如：可用于腔量子電動力學中量子態(tài)的操縱，產(chǎn)生原子糾纏態(tài)和光場薛定諤貓態(tài)等新奇現(xiàn)象[15].里德堡原子之間的長程相互作用導致一個里德堡原子會在一定的空間范圍內(nèi)抑制其他原子被激發(fā)到里德堡態(tài)，這就是阻塞效應，這一性質是基于里德堡原子的量子計算的基礎[13,16,17].里德堡原子在長程強關聯(lián)體系的研究中扮演了重要角色[18]，實驗上觀察到了二維里德堡格點氣體的結晶化和多體動力學等現(xiàn)象[19-22].此外，里德堡原子還可用于產(chǎn)生超冷巨型分子[23,24]和研究非線性量子光學[25-27].這些應用反映了里德堡原子在探索新奇量子相和量子信息處理新技術中的潛力.

2016年，Zeiher等人在實驗上利用里德堡原子實現(xiàn)了二維的自旋晶格[22].他們利用微波耦合囚禁在二維光晶格中的87Rb原子的兩個基態(tài)能級(可視為自旋-1/2粒子)，其中一個能級被激發(fā)到里德堡態(tài).這一系統(tǒng)有著比二能級原子體系更加豐富的物理現(xiàn)象，比如實驗上觀察到了自旋粒子的Ramsey干涉條紋[22].受到這一工作的啟發(fā)，我們將文獻[12]研究的二能級系統(tǒng)的量子跳躍推廣到三能級系統(tǒng)，研究了微波調(diào)制下的里德堡原子的集體量子跳躍.我們利用量子軌線方法計算了三能級原子系統(tǒng)的里德堡態(tài)占據(jù)數(shù)，發(fā)現(xiàn)通過微波耦合原子的兩個基態(tài)子能級可增強發(fā)射光子的關聯(lián)，原子數(shù)較少的系統(tǒng)也可以實現(xiàn)高里德堡占據(jù)態(tài)和低里德堡占據(jù)態(tài)之間的切換.

2 理論模型

我們考慮N個三能級原子組成的系統(tǒng).第j個原子的能級分別為|r〉j、|e〉j和|g〉j，其中|r〉j代表里德堡態(tài)，|e〉j和|g〉j代表原子的兩個基態(tài)塞曼子能級.一束連續(xù)激光將|e〉j態(tài)原子激發(fā)到里德堡態(tài)|r〉j，而微波將|e〉j和|g〉j耦合起來.這一系統(tǒng)可用平均場方法處理.利用旋波近似，相互作用表象下的哈密頓量為 (?=1)：

(1)

其中，Δ=ωl-ω0是激光相對于里德堡躍遷頻率的失諧，Ωr和Ωc分別是激光和微波的拉比頻率.V是兩個里德堡原子之間的相互作用，依賴于原子之間的距離d.里德堡相互作用有多種形式，可通過選擇特定的能級或加外場調(diào)節(jié)，既能調(diào)節(jié)成偶極-偶極相互作用(V～d-3)或范德瓦爾斯相互作用(V～d-6)，也能調(diào)節(jié)成排斥相互作用 (V>0)或吸引相互作用 (V<0)[13].為了能夠模擬原子數(shù)較多的系統(tǒng)，這里假定任意兩個原子之間的里德堡相互作用強度是經(jīng)過歸一化處理的常數(shù)，這一近似在二維或三維晶格中是合理的[12].

里德堡態(tài)的壽命受到自發(fā)輻射和黑體輻射的限制.當里德堡原子發(fā)生自發(fā)輻射時，原子從里德堡態(tài)躍遷到基態(tài)或能級較低的態(tài).由于能級較低的態(tài)壽命較短，可不考慮.這里，我們考慮原子從|r〉j態(tài)自發(fā)地躍遷到塞曼子能級|e〉j上，而|e〉j和|g〉j通過微波耦合起來.這樣，我們考慮的就是三能級原子，相對于二能級原子系統(tǒng)會出現(xiàn)新的現(xiàn)象[12].此外，黑體輻射可導致里德堡原子躍遷到鄰近的里德堡態(tài)上，可通過低溫條件來抑制[28].由于基態(tài)原子壽命較長，這里只考慮里德堡態(tài)的自發(fā)輻射.因此，激光失諧(Δ)和拉比頻率(Ωr，Ωc)都可用里德堡態(tài)的線寬γ來表示.

里德堡原子通過自發(fā)輻射躍遷到基態(tài)，向周圍環(huán)境發(fā)出光子.我們關注的是發(fā)射光子的動力學性質.處理這樣的開放量子系統(tǒng)一般有兩種方法，一種是求解主方程 (master equation)，另一種是量子軌線方法 (quantum trajectory).主方程描述了密度矩陣隨時間的演化：

|e〉〈r|jρ|r〉〈e|j).

(2)

量子軌線方法處理的是單軌線情況，而主方程求解的是大量獨立的軌線疊加的情況，兩種方法是有聯(lián)系的.以二能級原子的自發(fā)輻射為例.單個二能級原子在發(fā)生自發(fā)輻射前后，激發(fā)態(tài)布居數(shù)由1跳變?yōu)?.發(fā)生跳變的時間是隨機的.這就是單軌線情形.如果考慮大量無相互作用的二能級原子，每個原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)發(fā)生跳變的時間都是隨機的，那么對激發(fā)態(tài)布居數(shù)的測量是對許多原子測量疊加的結果，也就是將大量軌線疊加，得到的平均激發(fā)態(tài)布居數(shù)隨時間指數(shù)衰減的，與主方程的計算結果一致.

3 結果與討論

我們首先考慮雙原子情形(N=2)，如圖1(a)所示.若Δ=0，激光共振地激發(fā)一個基態(tài)原子至里德堡態(tài)，里德堡相互作用導致另一個原子失諧為V，其被激發(fā)到里德堡態(tài)的概率很低，此即阻塞效應，因此|rr〉態(tài)占據(jù)數(shù)很低[17].對于Δ=0.5V的情形，|ee〉正好與|rr〉共振地耦合，可獲得較大的|rr〉的占據(jù)數(shù).利用量子軌線方法可計算每個原子處于里德堡態(tài)的幾率，如圖1(b)所示.這一系統(tǒng)可以不斷的發(fā)射與吸收光子.當沒有光子發(fā)射時，里德堡態(tài)上的原子數(shù)是振蕩的，這是由于微波耦合了|e〉態(tài)和|g〉態(tài)，這兩個態(tài)發(fā)生了干涉.|e〉態(tài)布居數(shù)是隨時間振蕩的.而對于二能級原子，只有基態(tài)和里德堡態(tài)發(fā)生耦合，原子被激發(fā)到里德堡態(tài)后會停留一段時間再躍遷到基態(tài)并且發(fā)出光子[12].對于微波調(diào)制的兩個三能級原子系統(tǒng)，t時刻的波函數(shù)可以寫為：

圖1 雙原子情形.(a) 原子能級圖.|r〉是里德堡態(tài),|e〉和|g〉分別是兩個基態(tài)塞曼子能級.一束激光將|e〉態(tài)激發(fā)到里德堡態(tài),而|e〉和|g〉態(tài)通過微波耦合起來.激光和微波的拉比頻率分別為Ωr和Ωc.兩個原子的里德堡態(tài)之間的耦合強度為V.(b) 每個原子的里德堡態(tài)占據(jù)數(shù)隨時間的變化.數(shù)值模擬中取Δ=5γ，V=10γ，Ωr=1.5γ和Ωr=0.5γFig.1 Two-atom case.(a) The energy levels of the atoms.|r〉 is the Rydberg state,while |e〉 and|g〉 are two Zeeman sublevels of the ground state.|e〉 is excited to the Rydberg state by a continuous laser,which is also coupled with |g〉 by a microwave.The Rabi frequencies of the laser and microwave are Ωr and Ωc.The strength of the Rydberg interaction between the two atoms is V.(b) The Rydberg population of each atom as a function of the time.We choose Δ=5γ,V=10γ,Ωr=1.5γ,and Ωr=0.5γ in the numerical simulations

|ψ(t)〉=c1|gg〉+c2|ge〉+

c3|eg〉+c4|gr〉+c5|rg〉+c6|ee〉+

c7|er〉+c8|re〉+c9|rr〉.

(3)

若t+δt時刻第1個原子發(fā)射光子，則將|ψ(t)〉態(tài)投影到|e〉1態(tài)上，波函數(shù)為：

(4)

圖2 雙原子(a)和四原子(b)情形的光子關聯(lián).數(shù)值模擬中取Δ=3.4γ和Ωr=1.5γFig.2 The photoncorrelations for two atoms (a) and four atoms (b).We choose Δ=3.4γ and Ωr=1.5γ in the numerical simulations

接下來我們考慮多原子情形.圖2(b)顯示了四原子系統(tǒng)中不同微波拉比頻率下的雙光子關聯(lián)函數(shù).由于相互作用的對稱性，任意兩個原子發(fā)射光子的關聯(lián)函數(shù)相同.相對于二能級原子系統(tǒng)，四能級原子系統(tǒng)的光子關聯(lián)下降，與文獻[12]一致，在2≤Δ/γ≤4區(qū)域內(nèi)，光子關聯(lián)的值提升明顯.更多原子的情形也有類似的現(xiàn)象.

圖3 四原子(a-c)和八原子(d-f)系統(tǒng)的里德堡平均占據(jù)數(shù).微波拉比頻率取Ωc=0(a,d),Ωc=1.5γ (b,e),Ωc=3γ(c,f).所有圖中均有Δ=3.4γ和Ωr=1.5γFig.3 The average Rydberg populations for four atoms (a-c) and eight atoms (d-f).The Rabi frequencies of the microwave is set as Ωc=0 in (a,d),Ωc=1.5γ in (b,e)，and Ωc=3γ in (c,f).We choose Δ=3.4γ and Ωr=1.5γ in all the figures

然后我們考慮多原子系統(tǒng)的量子軌線.N個原子系統(tǒng)的平均里德堡占據(jù)數(shù)定義為〈R〉=∑jRj/N[12].文獻[12]計算了16個二能級原子系統(tǒng)的量子軌線，發(fā)現(xiàn)〈R〉在兩個值之間發(fā)生跳變，分別對應亮態(tài)(高〈R〉值)和暗態(tài)(低〈R〉值).當系統(tǒng)處于暗態(tài)時，里德堡態(tài)的占據(jù)數(shù)很低.如果一個里德堡原子躍遷到基態(tài)并發(fā)射一個光子，那么系統(tǒng)的波函數(shù)塌縮，平均里德堡態(tài)占據(jù)數(shù)增大.在短時間內(nèi)發(fā)射光子的原子越多，平均里德堡態(tài)占據(jù)數(shù)越大.圖3顯示了不同微波拉比頻率下的平均里德堡占據(jù)數(shù)，其中(a-c)是四原子情形，(d-f)是八原子情形.對于四原子情形，無微波時系統(tǒng)沒有明顯的亮態(tài)和暗態(tài).不同的里德堡占據(jù)數(shù)態(tài)之間的切換要在更多的原子中才能觀察到[12].在微波驅動的情況下，系統(tǒng)出現(xiàn)了明顯的亮態(tài)和暗態(tài)的切換.這是由于微波驅動雖然降低了平均里德堡態(tài)占據(jù)數(shù)，但增大了光子關聯(lián)函數(shù)，引起了更為明顯的光子聚束現(xiàn)象.兩個基態(tài)能級之間的干涉導致里德堡態(tài)占據(jù)數(shù)也出現(xiàn)了振蕩.對于八原子情形，無微波驅動時系統(tǒng)出現(xiàn)了明顯的亮態(tài)和暗態(tài)切換.若系統(tǒng)受到微波調(diào)制，系統(tǒng)處于暗態(tài)的時間明顯變長.可見，微波驅動明顯改變了里德堡態(tài)占據(jù)數(shù)和發(fā)射光子的統(tǒng)計性質.

本文提出的系統(tǒng)可在二維光晶格中實現(xiàn)[12]，且計算所用參數(shù)在實驗上也是可行的.例如，兩個處于35P1/2態(tài)的87Rb原子相距2.5 μm時相互作用強度約為125 kHz，溫度為0 K時此原子態(tài)的線寬約為γ≈12.1 kHz[28,35]，于是有V≈10γ.對該系統(tǒng)加一靜磁場，可以選擇兩個基態(tài)能級|F=1,mF=-1〉和|F=2,mF=-2〉作為|e〉和|g〉態(tài)[22].此外，量子跳躍現(xiàn)象可以通過直接探測原子的熒光信號觀察到.

4 結 論

綜上所述，本文理論上研究了微波調(diào)制的里德堡原子集體量子跳躍.在多個二能級原子構成的系統(tǒng)中，利用連續(xù)激光激發(fā)基態(tài)原子到里德堡態(tài)可觀察到量子跳躍現(xiàn)象.我們發(fā)現(xiàn)，將這一基態(tài)能級和另一個基態(tài)能級通過微波耦合起來可以提高光子關聯(lián)函數(shù)的數(shù)值，增強光子聚束效應.三能級原子的里德堡態(tài)布居數(shù)具有不斷振蕩的特點.進一步研究了多原子系統(tǒng)的量子跳躍，發(fā)現(xiàn)四個原子也可以實現(xiàn)明顯的亮態(tài)和暗態(tài)的切換.而對于二能級系統(tǒng)而言，更多的原子中才能觀察到這種現(xiàn)象.將來可以進一步推廣到多原子系統(tǒng)，研究里德堡自旋模型中的多體動力學和量子相變[21,22,36].