張志強(qiáng)，何章明

(1.鄭州商學(xué)院通識教育中心，鞏義 451200；2.湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，株洲 412007)

1 引 言

怪波(Rogue wave)[1]最初是描述海洋上出現(xiàn)的一種奇怪的水波，它以其出現(xiàn)的突然性和異常陡峭的高水波得名.怪波是一種特殊的非線性波，具有來無影去無蹤，且破壞力大的特點(diǎn)[2,3].與孤子類似，怪波也是一種新的非線性現(xiàn)象，都是非線性偏微分方程的一種特殊解[4-7]，不同的是怪波的產(chǎn)生機(jī)制源于調(diào)制不穩(wěn)定性，目前在非線性光學(xué)[8]、等離子體物理[9]、流體物理[10]和波色-愛因斯坦凝聚(BEC)[3,11-16]等領(lǐng)域中觀察到怪波現(xiàn)象.怪波理論是一種新的理論，無論在理論上還是具體工程應(yīng)用上，都需要大力發(fā)展相關(guān)研究工作.

理論上，BEC的動(dòng)力學(xué)行為可以用平均場近似下的Gross-Pitaevskii (GP)方程描述[13,15,17,18].對于生長及耗散的情況，波色-愛因斯坦凝聚與周圍熱原子團(tuán)之間存在粒子交換，這時(shí)可以在GP方程中引入一個(gè)虛數(shù)項(xiàng)[19]，表示生長及耗散對BEC系統(tǒng)的影響.

對于描述一般的非線性系統(tǒng)的非線性薛定諤方程，尋找其精確解是困難的工作[5,6].常用的求解非線性偏微分方程的方法有：反散射法、行波變換法[20]，多重尺度方法[21,22]、達(dá)布變換法[10,23,24]等等.達(dá)布變換法是求解非線性薛定諤方程的一個(gè)有效方法，為研究非線性系統(tǒng)提供了一個(gè)非常重要的手段.

當(dāng)前，對怪波的研究主要集中在研究一般形式的薛定諤方程中的怪波解[5-7,11]，而研究BEC中的怪波，主要探討將在BEC囚禁在不同的勢阱中，如含時(shí)和不含時(shí)的諧振勢阱[12]、光晶格勢阱[3]、PT對稱勢阱[15]等，研究這些變化的勢阱對怪波的影響，此外還有研究BEC中原子間相互作用[14]對怪波性質(zhì)的影響.開放BEC系統(tǒng)受到外界的影響，BEC處于生長或耗散狀態(tài)之中，對于開放BEC系統(tǒng)中怪波的性質(zhì)，我們目前研究的還不夠深入.本文，利用達(dá)布變換法，解析的研究了生長及耗散BEC中的怪波，根據(jù)解析結(jié)果，數(shù)值模擬了生長及耗散BEC中怪波的性質(zhì)，并對結(jié)果進(jìn)行討論.

2 生長及耗散BEC的怪波解

2.1 理論模型

基于平均場理論，生長及耗散的超冷原子BEC可用下面修正的Gross-Pitaevskii (GP)方程來描述

(1)

(2)

(3)

其中，g=2Nas/a⊥，γ=2Γ/(?ω⊥) .本文中考慮as<0，即BEC中原子間為相互吸引作用，同時(shí)考慮BEC形成以后關(guān)閉諧振勢阱，即諧振勢阱的橫向囚禁頻率ωi=0.

2.2 達(dá)布變換及怪波解

接下來使用Darboux變換法來求解方程(3).構(gòu)造如下的Lax對，

Φx=UΦ=λJΦ+PΦ,

(4a)

(4b)

為求解Lax對(4)，我們選取方程(3)的一個(gè)初始解

(5)

其中Ac為實(shí)常數(shù).將(4)式代入一次Darboux變換關(guān)系式

(6)

(7)

3 結(jié)果與討論

根據(jù)當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們選取5000個(gè)7Li原子形成的BEC凝聚體，軸向囚禁頻率ω⊥=2π×100 Hz，則無量綱化后的單位長度和單位時(shí)間對應(yīng)的實(shí)際長度和實(shí)際時(shí)間分別是3.8 μm和3.2 ms.

圖1 BEC中的雙洞怪波Fig.1 The rogue wave with two holes in BEC

為了對比，首先考慮BEC沒有生長或者耗散的情況，即選取γ=0，其他參數(shù)選取Ac=0.8，As=1.5，g0=0.1，然后根據(jù)(7)式畫出了圖1.如圖1所示，在BEC沒有生長或耗散時(shí)，BEC中的原子在t≈-30開始積聚，并在時(shí)間t=0時(shí)刻，一個(gè)非常高的峰出現(xiàn)在x≈0.而在高峰的兩邊，凝聚體的BEC背景密度比其他時(shí)刻的要小.隨著時(shí)間的推移到t≈30，高峰很快地消失，背景密度也恢復(fù)到平均值，因此這是一個(gè)典型的雙洞怪波.

圖2 生長BEC中的雙洞怪波Fig.2 The rogue wave with two holes in a growth BEC

接下為了研究生長BEC中的怪波性質(zhì)，選取γ=0.001，其他參數(shù)選取與圖1一致，根據(jù)(7)式畫出了圖2.在生長BEC中，如圖2所示，仍然會(huì)出現(xiàn)一個(gè)雙洞怪波.隨著時(shí)間推移，BEC一直從外部熱原子云中吸收原子，所以BEC的背景密度一直在緩慢增加.與BEC沒有生長或者耗散的情況做對比，隨著時(shí)間的推移到t≈40，怪波消失.這說明BEC的生長可延緩怪波消失的時(shí)間.

最后，為了研究耗散對BEC中怪波的影響，選取γ=-0.001，其他參數(shù)選取與圖1一致，然后根據(jù)(7)式畫出了圖3.在BEC的耗散過程中，如圖3所示，BEC中仍然出現(xiàn)的是一個(gè)雙洞怪波.隨著時(shí)間推移，BEC因?yàn)楹纳⒍粩鄟G失原子，所以BEC的背景密度一直在減小.隨著時(shí)間的推移到t≈20，怪波消失.這說明BEC的耗散加速了怪波的消失.

圖3 耗散BEC中的雙洞怪波Fig.3 The rogue wave with two holes in a dissipation BEC

4 總 結(jié)

總之，考慮BEC生長或者耗散情況，從三維GP方程出發(fā)，首先通過降維和無量綱化處理，得到一維非線性薛定諤方程.然后選取BEC中原子間相互作用為吸引相互作用，利用Darboux變換法求解了非線性薛定諤方程，得到了生長和耗散BEC中的怪波解.最后根據(jù)得到的解析解，數(shù)值模擬了BEC中怪波的性質(zhì).結(jié)果表明，BEC中出現(xiàn)的一種典型的雙洞怪波，并且BEC生長會(huì)延緩怪波的消失，而BEC的耗散會(huì)加速怪波的消失.