陳愛(ài)民 劉東昌 段佳 王洪雷 相春環(huán) 蘇耀恒

1) (西安工程大學(xué)理學(xué)院, 西安 710048)

2) (重慶醫(yī)科大學(xué)醫(yī)學(xué)信息學(xué)院, 重慶 400016)

3) (重慶醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生與管理學(xué)院, 重慶 400016)

利用張量網(wǎng)絡(luò)表示的無(wú)限矩陣乘積態(tài)算法研究了含有Dzyaloshinskii-Moriya (DM)相互作用的鍵交替海森伯模型的量子相變和臨界標(biāo)度行為.基于矩陣乘積態(tài)的基態(tài)波函數(shù)計(jì)算了系統(tǒng)的量子糾纏熵及非局域拓?fù)湫?數(shù)據(jù)表明, 隨著鍵交替強(qiáng)度變化, 系統(tǒng)從拓?fù)溆行虻腍aldane相轉(zhuǎn)變?yōu)榫钟蛴行虻亩刍?同時(shí)DM相互作用抑制了系統(tǒng)的二聚化, 并最終打破系統(tǒng)的完全二聚化.另外, 通過(guò)對(duì)相變點(diǎn)附近二聚化序的一階導(dǎo)數(shù)和長(zhǎng)程弦序的數(shù)值擬合, 分別得到了此模型相變的特征臨界指數(shù)a和b的值.結(jié)果表明, 隨著DM相互作用強(qiáng)度的增強(qiáng), a逐漸減小, 同時(shí)b逐漸增大.DM相互作用強(qiáng)度影響著此模型的臨界行為.針對(duì)此模型的臨界性質(zhì)的研究, 揭示了量子自旋相互作用的彼此競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制, 對(duì)今后研究含有DM相互作用的自旋多體系統(tǒng)中拓?fù)淞孔酉嘧兣R界行為提供一定的借鑒與參考.

1 引 言

在多體系統(tǒng)中, 量子相變是由量子漲落占主導(dǎo)地位而引起的一種量子效應(yīng), 近年來(lái)一直是凝聚態(tài)物理中的研究熱點(diǎn)[1?4].在量子相變中, 系統(tǒng)的基態(tài)會(huì)發(fā)生劇烈的變化, 其關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度在臨界點(diǎn)處是發(fā)散的, 且激發(fā)能譜的能隙消失.一般情況下, 局域序的產(chǎn)生伴隨著系統(tǒng)的自發(fā)性對(duì)稱破缺, 被稱為L(zhǎng)andau-Ginzburg-Wilson范式.對(duì)此類相變的刻畫(huà), 一般采用量子糾纏[5]、量子 concurrence[6]、保真度[7]等方法.在相變點(diǎn)附近, 量子糾纏、比熱及磁化強(qiáng)度等物理量按照特定的函數(shù)關(guān)系發(fā)散, 呈現(xiàn)確定的標(biāo)度行為.除此之外, 自然界中還存在著一類不能夠用Landau-Ginzburg-Wilson范式的對(duì)稱破缺描述的拓?fù)漕惲孔酉嘧? 此類相變不存在描述區(qū)分相變的局域序參量, 呈現(xiàn)無(wú)序或長(zhǎng)程拓?fù)湫?例如自旋拓?fù)溆行虻腍aldane相[8].

在低維多體系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的含有拓?fù)湎嘧兊男挛镔|(zhì)態(tài)極大地豐富了我們對(duì)自然界的認(rèn)知.然而,受到研究方法的限制, 長(zhǎng)程拓?fù)湫蚣捌錁?biāo)度行為一直是低維系統(tǒng)中量子相變研究的難題[9].近年來(lái)發(fā)展的張量網(wǎng)絡(luò)表示算法被證明對(duì)低維無(wú)限格點(diǎn)系統(tǒng)中非局域的長(zhǎng)程序刻畫(huà)是非常成功的[10].此方法恰好為我們研究拓?fù)漕惲孔酉嘧兊臉?biāo)度行為提供了強(qiáng)有力手段.

為了探究低維自旋系統(tǒng)中具有非局域序的拓?fù)淞孔酉嘧兗拔锢硇?yīng)對(duì)相變的影響, 本文選取了自旋 1的含有 Dzyaloshinskii-Moriya (DM)相互作用的鍵交替海森伯模型, 其中DM相互作用是Dzyaloshinsky[11]和Moriya[12]首次提出的用來(lái)描述弱鐵磁體的相互作用, 它也是導(dǎo)致磁阻挫的原因之一.近年來(lái), 研究發(fā)現(xiàn)DM相互作用可以影響許多體系的磁性和臨界性質(zhì)[13].在Ising和XXZ模型中, 考慮了DM相互作用后, 系統(tǒng)將從反鐵磁的自旋Néel相轉(zhuǎn)變?yōu)樽孕后w相[14].Thio和Aharony[15]觀察到含有DM相互作用的反鐵磁La2CuO4中反鐵磁相變的三臨界點(diǎn).一般情況下DM相互作用很弱, 但是Zhao等[16]研究了DM相互作用對(duì)苯甲酸銅Cu(C6D5COO)23D2O低能磁激發(fā)的影響, 發(fā)現(xiàn)DM相互作用對(duì)實(shí)際材料的影響確實(shí)非常重要.另外, 許多反鐵磁材料都能通過(guò)DM相互作用來(lái)描述的, 例如Yb4As3[17],BaCu2Si2O7[18]和 CsCuCl3[19]等.由于 DM 相互作用引起材料不同尋常的物理性質(zhì), 激發(fā)了人們對(duì)含有DM相互作用系統(tǒng)研究的廣泛興趣.

本文基于張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)表示的無(wú)限矩陣乘積態(tài)(iMPS)算法, 利用無(wú)限虛時(shí)間演化塊抽取方法, 數(shù)值上得到了此系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù).基于矩陣乘積態(tài)的基態(tài)波函數(shù)計(jì)算了系統(tǒng)的量子糾纏熵及非局域拓?fù)湫?研究發(fā)現(xiàn), 在DM相互作用存在的情況下,隨著鍵交替強(qiáng)度由弱變強(qiáng), 系統(tǒng)從拓?fù)溆行虻腍aldane相轉(zhuǎn)變?yōu)榫钟蛴行虻亩刍? 從系統(tǒng)基態(tài)的von Neumann熵、局域二聚化序及非局域拓?fù)湫騾⒘康玫搅溯^為精確的相變點(diǎn)和并基于 von Neumann 熵和序參量確定了系統(tǒng)完整的相圖.此外, 為研究此類拓?fù)湎嘧兊臉?biāo)度行為, 本文對(duì)相變點(diǎn)附近的二聚化序的一階導(dǎo)數(shù)及非局域拓?fù)湎倚蜃隽藬?shù)值標(biāo)度擬合, 分別得到了不同DM相互作用強(qiáng)度下刻畫(huà)相變臨界性質(zhì)的特征臨界指數(shù) α 和 β , 并且分析了DM相互作用在此模型中對(duì)相變臨界性質(zhì)的影響.

2 iMPS算法

對(duì)于本文研究的自旋1含有DM相互作用的鍵交替海森伯模型, Jordan-Wigner變換已不再適用.近年來(lái)基于張量網(wǎng)絡(luò)表示的數(shù)值方法讓我們能夠更深層次刻畫(huà)和理解自旋系統(tǒng)的臨界現(xiàn)象[20].在張量網(wǎng)絡(luò)算法中, 特別是針對(duì)無(wú)限的一維自旋系統(tǒng), 波函數(shù)被表示成iMPS的形式[11], 即

其中 | si〉 是希爾伯特空間中i格點(diǎn)的基矢, 對(duì)角矩陣中的元素是兩半無(wú)限鏈的施密特分解系數(shù),是對(duì)應(yīng)格點(diǎn)位置的一個(gè)三階張量, 其值可以取 1 ,2,···,χ , χ 是iMPS算法中的截?cái)嗑S數(shù).si值取為 1 ,2,···,d , d是單個(gè)格點(diǎn)希爾伯特空間維度.利用虛時(shí)間演化方法, 可以將系統(tǒng)的近似基態(tài)表達(dá)為

其中H表示系統(tǒng)的哈密頓量, Ψ (0) 為任意給定的系統(tǒng)初態(tài).在算法的迭代更新過(guò)程中, 有效的方法是對(duì)虛時(shí)間演化算符進(jìn)行Suzuki-Trotter分解[21],使之約化為一系列只作用于兩個(gè)近鄰點(diǎn)的兩點(diǎn)演化算符的乘積.一旦得到了無(wú)限系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù), 就可以將之施加在相應(yīng)的物理算子上, 從而計(jì)算出相應(yīng)的物理量.

3 模 型

在微擾理論中, DM相互作用是一種由于在低對(duì)稱的磁系統(tǒng)中自旋軌道相互耦合而自然產(chǎn)生的反對(duì)稱各向異性相互作用.然而在實(shí)際分析的過(guò)程中, 對(duì)于具有DM相互作用的模型的研究極為困難, 卻也極大地豐富我們對(duì)低維磁性材料中量子現(xiàn)象的理解[22,23].

為了研究DM相互作用對(duì)含有非局域序參量的量子相變的影響, 本文選取了一維具有DM相互作用的自旋1鍵交替反鐵磁海森伯模型.其哈密頓量可以表示為

其中 Si為格點(diǎn)i處的自旋1算符.δ 是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱性破缺的鍵交替幅度參數(shù), D是DM相互作用強(qiáng)度, J是反鐵磁最近鄰自旋相互作用系數(shù), 本文計(jì)算中取 J =1.標(biāo)準(zhǔn)的自旋1海森伯模型處于自旋固體態(tài)的Haldane相, 具有較小的能隙.由于Z2×Z2的隱性對(duì)稱破缺, Haldane相沒(méi)有局域序參量, 但存在非局域的長(zhǎng)程序, 是一個(gè)拓?fù)溆行蛳郲24].當(dāng)海森伯模型被施加鍵交替效應(yīng)后, 結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性被打破, 系統(tǒng)歷經(jīng)一個(gè)Haldane相到二聚化的高斯相變[25], 其相變點(diǎn)位于 δ ≈0.260.本文將主要研究存在DM相互作用時(shí), 鍵交替的海森伯模型的量子相變和臨界行為.

4 數(shù)值模擬

4.1 量子糾纏

近年來(lái), 基于量子信息的量子糾纏已經(jīng)被應(yīng)用到研究量子相變中.量子糾纏是一種用來(lái)測(cè)量一個(gè)給定系統(tǒng)中量子關(guān)聯(lián)的有效方法.在量子信息學(xué)中, 人們已經(jīng)提出并使用了各種不同的方式來(lái)度量系統(tǒng)的糾纏, 這其中包括von Neumann熵,concurrence, Negativity 和幾何糾纏等.大量的研究證明了量子糾纏是一個(gè)能夠有效探測(cè)系統(tǒng)量子相變點(diǎn)的普適方法[26?28].兩體 von Neumann 糾纏熵S被定義為 S = ?Tr[ρLlogρL]= ?Tr[ρRlogρR],式中 ρL和 ρR分別是半無(wú)限鏈子系統(tǒng)L和R的約化密度矩陣.在張量網(wǎng)絡(luò)表示中, von Neumann 熵定義為

其中 α 表示半無(wú)限鏈 L (?∞,···,i) 和 R (i,···,∞) ,λ是兩個(gè)半無(wú)限鏈間的Schmidt分解系數(shù), 可以由轉(zhuǎn)移矩陣的奇異值分解得到.

在鍵交替效應(yīng)存在的情況下(鍵交替參數(shù) δ 的變化范圍為 δ ∈[0,1]), 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性被打破.因此, 圖1 給出了 D = 0.5 和 D = 1 時(shí)系統(tǒng)的奇鍵 (第 2 i+1 個(gè)格點(diǎn)) von Neumann 熵 So和偶鍵 (第 2i 個(gè)格點(diǎn)) von Neumann 熵 Se, 其中, 截?cái)嗑S數(shù)選取為 χ =32.從圖1可以看出, 隨著鍵交替參數(shù) δ 的變化, 奇鍵熵 So和偶鍵熵 Se在整個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)的值是不同的, 但在和時(shí)都出現(xiàn)了峰值.此峰值位置就對(duì)應(yīng)著量子糾纏發(fā)散的位置, 也意味著系統(tǒng)在此位置發(fā)生了相變.實(shí)際上, 想要得到系統(tǒng)相變點(diǎn)的精確位置, 截?cái)嗑S數(shù) χ 需要達(dá)到無(wú)窮大.為了保證計(jì)算數(shù)據(jù)的精確度, 計(jì)算過(guò)程中比較了 D =0.5 時(shí)χ=32和 χ =50 兩種截?cái)嗑S數(shù)下得到的相變點(diǎn)都為其位置沒(méi)有發(fā)生明顯移動(dòng), 說(shuō)明截?cái)嗑S數(shù)為 χ =32 已足夠保證數(shù)據(jù)精度.

在鍵交替海森伯模型中, 當(dāng)鍵交替參數(shù) δ 逐漸增大到 1, 奇鍵熵 So逐漸趨于飽和, 而偶鍵熵 Se逐漸降低為零, 系統(tǒng)在 δc≈ 0.260 從Haldane相轉(zhuǎn)變?yōu)槎刍? 并最終呈現(xiàn)完全的奇鍵二聚化[25].但在含有DM相互作用的情況下, 偶鍵熵 Se并沒(méi)有降低為零.同時(shí), 相變點(diǎn)也發(fā)生了后移, 從D=0時(shí)的后移到了 D =0.5 時(shí)的0.305, 當(dāng) DM 相互作用繼續(xù)加大到 D = 1 時(shí), 相變點(diǎn)繼續(xù)后移到了.這說(shuō)明DM相互作用抑制著系統(tǒng)的二聚化, 并最終會(huì)打破系統(tǒng)的完全二聚化.

4.2 序參量

圖1 D = 0.5 和 D = 1 時(shí) (a)奇鍵 von Neumann 熵 So 和 (b)偶鍵 von Neumann 熵 Se 隨 δ 的變化Fig.1.(a) Odd-bond von Neumann entropy So and (b) even-bond von Neumann entropy Se as a function of δ for D = 0.5 and D = 1.

不同相中的序參量可以幫助人們更為深刻地理解量子系統(tǒng)所發(fā)生的量子相變.在鍵交替效應(yīng)存在的情況下, 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性被打破, 表現(xiàn)出結(jié)構(gòu)上的二聚化行為.對(duì)于含有局域序的二聚化相, 其序參量就是近鄰自旋關(guān)聯(lián)的長(zhǎng)程交替, 也就是二聚化序, 其表達(dá)式為

其中 〈···〉 表示期望值.

圖2(a)和圖2(b)分別計(jì)算了系統(tǒng)在DM相互作用參數(shù)選取為D = 0.5和D = 1時(shí)二聚化序OD隨鍵交替參數(shù) δ 的變化.從圖2 可以看出, 在 δ=0時(shí)系統(tǒng)中的二聚化序 OD=0.一旦鍵交替效應(yīng)存在, 二聚化程度就隨著 δ 的增大而增大, 二聚化序不僅存在于二聚化相中, 在拓?fù)溆行虻腍aldane相中也存在.也就是說(shuō)二聚化序存在于整個(gè)鍵交替幅度參數(shù)變化范圍.但是二聚化序在相變點(diǎn)附近變化較為劇烈, 其一階導(dǎo)數(shù)的最大值位置對(duì)應(yīng)著von Neumann熵給出的相變點(diǎn)位置和.因此, 只要系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性被打破, 局域的二聚化序就不能作為特有的二聚化相序參量來(lái)刻畫(huà)二聚化序, 但其一階導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)標(biāo)定相變點(diǎn)的位置.

圖2 二聚化 序 OD 隨 δ 的 變化 (內(nèi) 插圖為 OD 隨 δ 的一階導(dǎo)數(shù)) (a) D = 0.5, (b) D = 1Fig.2.Dimer order parameter OD as a function of δ for(a) D = 0.5 and (b) D = 1 (first derivation of OD in the insert).

同時(shí), 為探究DM相互作用強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)二聚化的影響, 圖3計(jì)算了在 δ =1 時(shí)二聚化序OD隨DM相互作用強(qiáng)度D的變化.從圖3可以看出,隨著DM相互作用強(qiáng)度的增大, 二聚化序 OD逐漸減小.這意味著在此模型中由于DM相互作用的反對(duì)稱各向異性, 確實(shí)使得二聚化程度減弱, 抑制了系統(tǒng)的二聚化行為.因此, 這一結(jié)論也對(duì)von Neumann熵給出的結(jié)論提供了支撐.

圖3 二聚化序 OD 隨 DM 相互作用強(qiáng)度 D 的變化, 其中鍵交替參數(shù)選取為δ=1Fig.3.Dimer order parameter OD as a function of DM interaction D for δ =1.

拓?fù)溆行虻腍aldane相是一種無(wú)局域序參量的自旋固體相.隱性的 Z2×Z2對(duì)稱破缺可使得 Haldane相具有非局域拓?fù)湎倚? den Nijs和Rommelse[29]首先引入了非局域拓?fù)湎倚騺?lái)表征自旋1 Heisenberg鏈中的拓?fù)溆行騂aldane相.弦序是遠(yuǎn)距離格點(diǎn)長(zhǎng)程弦關(guān)聯(lián)的飽和值, 在iMPS表示中可以直接計(jì)算出無(wú)限格點(diǎn)系統(tǒng)的非局域拓?fù)湎倚蛑? 而不需要通過(guò)有限尺寸來(lái)進(jìn)行外推[10].其表達(dá)式為

其中i和j是自旋格點(diǎn)的位置, 則格點(diǎn)間的距離就是 | i ?j|.

圖4計(jì)算出了非局域拓?fù)湎倚?OS在DM相互作用參數(shù)選取為D = 0.5和D = 1時(shí)隨鍵交替參數(shù) δ 的變化.由圖4 可知, 在 D = 0.5 時(shí) δ?0.305和 D = 1 時(shí) δ ?0.418 區(qū)域內(nèi), 非局域拓?fù)湎倚騉S都是有限值.而當(dāng)在 D = 0.5 時(shí) δ >0.305 和 D =1 時(shí) δ >0.418 區(qū) 域 內(nèi) , 非 局 域 拓 撲 弦 序 OS的 值都為零.圖4結(jié)果表明, 當(dāng)鍵交替參數(shù) δ 增大到時(shí), 系統(tǒng)從拓?fù)溆行虻腍aldane相過(guò)渡到了局域有序的二聚化相.弦序給出的相變點(diǎn)的位置和von Neumann 熵以及二聚化序參量 OD一階導(dǎo)數(shù)給出的相變點(diǎn)是符合的.

圖4 非局域拓?fù)湎倚?OS 隨 δ 的變化Fig.4.Non-local topological string order parameter as a function of δ.

4.3 相 圖

為了反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱性破缺的鍵交替幅度參數(shù) δ 和DM相互作用強(qiáng)度D共同作用下系統(tǒng)相變的性質(zhì), 基于iMPS算法的von Neumann熵和序參量確定的相變點(diǎn), 圖5為一維含有DM相互作用的自旋1鍵交替反鐵磁海森伯模型的相圖.可以看出, 一條臨界線將二聚化相和Haldane相分開(kāi).當(dāng) D =0 時(shí), 系統(tǒng)歷經(jīng)一個(gè) Haldane 相到二聚化相的高斯相變, 中心荷為 c =1 , 其相變點(diǎn)位于δc≈ 0.260[25].隨著DM相互作用強(qiáng)度D的增大,Haldane相的區(qū)域逐漸由窄變寬.這也印證了DM相互作用確實(shí)抑制了系統(tǒng)的二聚化.并且在相變過(guò)程中二聚化相和Haldane相始終是沿著同一條臨界線, 說(shuō)明文中所選取的參數(shù) D = 0, D = 0.5 和D = 1都處于同一條臨界線上.

圖5 含有DM相互作用的自旋1鍵交替反鐵磁海森伯模型相圖Fig.5.Phase diagram of spin-1 bond-alternating Heisenberg model with DM interaction.

4.4 特征臨界指數(shù)

與量子相變相關(guān)的臨界指數(shù)規(guī)定了量子相變的普適類, 而這些臨界指數(shù)描述了一個(gè)量子多體系統(tǒng)在絕對(duì)零度時(shí)的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度、磁化強(qiáng)度等物理量的發(fā)散特性.因此, 臨界指數(shù)是刻畫(huà)量子多體系統(tǒng)臨界行為的重要參數(shù)[30?32].然而系統(tǒng)基態(tài)所擁有的非局域拓?fù)湫蚴菬o(wú)法用局域的序參量來(lái)刻畫(huà)的,此類相變的某些臨界指數(shù)是與非局域序緊密相連的, 也使得拓?fù)漕愊嘧兂摮鯨andau-Ginzburg-Wilson范式關(guān)于二級(jí)相變的范疇.對(duì)于拓?fù)漕愊嘧冎挥型ㄟ^(guò)對(duì)非局域關(guān)聯(lián)及非局域序來(lái)刻畫(huà)其標(biāo)度行為.

前面已經(jīng)指出此模型中的二聚化序 OD并不能作為特有的二聚化相序參量來(lái)刻畫(huà)二聚化相.實(shí)際上這里的二聚化序 OD已經(jīng)是一個(gè)能量物理量,其一階導(dǎo)數(shù) ? OD/?δ 就類似于經(jīng)典相變里的比熱CV.因此, 相變點(diǎn)附近局域二聚化序的一階導(dǎo)數(shù)?OD/?δ就可以擬合出與比熱相關(guān)的相變特征臨界指數(shù).在圖6中, 基于張量網(wǎng)絡(luò)表示的iMPS方法計(jì)算出了對(duì)于DM相互作用參數(shù)為 D =0 , D=0.5和 D = 1 時(shí)在對(duì)應(yīng)相變點(diǎn)0.305和附近局域二聚化序的一階導(dǎo)數(shù) ? OD/?δ 隨著 | δ ? δc| 的變化.二聚化序的一階導(dǎo)數(shù) ? OD/?δ 與 | δ ? δc| 是存在著特定的冪律關(guān)系,即 ? OD/?δ∝ |δ? δc|?α, 其中, α 是相變中與比熱CV相關(guān)的特征臨界指數(shù).這里選取擬合函數(shù)為?OD/?δ=a|δ? δc|?α+ α0, 通過(guò)數(shù)值擬合可得到,D=0時(shí) , αD=0=0.670 , aD=0=0.041 和4.868; D = 0.5 時(shí), αD=0.5=0.338 , aD=0.5=0.342和以及 D = 1 時(shí), aD = 1= 0.091,aD = 1= 3.819 和從而得到特征臨界指數(shù) aD = 0= 0.670, αD=0.5=0.338 和 aD = 1=0.091.特別地, 對(duì)于 D = 0 時(shí), 此相變的特征臨界指數(shù)為 aD = 0= 0.670, 其值近似等于 2/3.同時(shí)可以看出, 隨著DM相互作用強(qiáng)度增強(qiáng)臨界指數(shù) α 逐漸減小.

圖7展示了對(duì)于 D =0.5 和 D = 1時(shí)在對(duì)應(yīng)相變點(diǎn)附近非局域拓?fù)湎倚?OS隨著 | δ ? δc| 的變化.從圖7可以看出,非局域拓?fù)湎倚?OS與 | δ ? δc| 服從于 OS∝ |δ? δc|2β,其中 β 是相變中與磁性相關(guān)的特征臨界指數(shù).選取擬合函數(shù) l ogOS=2β log|δ? δc|+ β0, 通過(guò)數(shù)值擬 合 可 得 到 βD=0.5=0.101 和 βD=1=0.121 , 以 及從而得到特征臨界指數(shù) βD=0.5=0.101 和 βD=1=0.121.

為了更為清楚地刻畫(huà)DM相互作用在此拓?fù)湎嘧冎袑?duì)臨界性質(zhì)的影響, 表1列出了不同DM相互作用強(qiáng)度下臨界指數(shù) β 的擬合值, 可以看出特征臨界指數(shù) β 隨著DM相互作用強(qiáng)度的增強(qiáng)在參數(shù)范圍內(nèi)近似于線性增大.此模型在 D =0 時(shí)得到的特征臨界指數(shù)為 βD=0=0.082 , 其值近似等于1/12[25], 而在D = 1時(shí)得到的特征臨界指數(shù)為βD=1=0.121, 其值近似等于 1/8.在 D = 1 的情況下, 臨界指數(shù) αD=1=0.091 和 βD=1=0.121 較為接近于二維Potts模型中 q =2 情形下的臨界指數(shù)值 α =0 和 β =1/8[30].由此可見(jiàn), 量子相變中的不同量子自旋相互作用之間存在著彼此間的相互競(jìng)爭(zhēng).在這種相互作用競(jìng)爭(zhēng)下, 由自旋軌道相互耦合產(chǎn)生的反對(duì)稱各向異性DM相互作用在此模型中影響著系統(tǒng)相變的臨界性質(zhì).這對(duì)于今后多量子自旋相互作用競(jìng)爭(zhēng)下拓?fù)淞孔酉嘧兣R界性質(zhì)的研究具有一定指導(dǎo)意義.

表1 不同DM相互作用強(qiáng)度下的臨界指數(shù)βTable 1.Characteristic critical exponent b for different DM interactions.

5 結(jié) 論

利用張量網(wǎng)絡(luò)表示的無(wú)限矩陣乘積態(tài)算法研究了一維具有DM相互作用的自旋1鍵交替反鐵磁海森伯模型的量子相變及拓?fù)湫驑?biāo)度行為.基于矩陣乘積態(tài)的基態(tài)波函數(shù)計(jì)算了系統(tǒng)的量子糾纏熵.量子糾纏熵隨著鍵交替強(qiáng)度變化得到相變點(diǎn)位置可 以 看 出 DM相互作用抑制了系統(tǒng)的二聚化, 并最終打破系統(tǒng)的完全二聚化行為.本文進(jìn)而計(jì)算了此系統(tǒng)中的局域二聚化序和非局域拓?fù)湎倚? 確定了完整的系統(tǒng)相圖.結(jié)果表明, 系統(tǒng)從拓?fù)溆行虻腍aldane相轉(zhuǎn)變?yōu)榫钟蛴行虻亩刍?同時(shí), 只要系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性被打破, 局域的二聚化序參量就不能作為特有的二聚化相序參量來(lái)刻畫(huà)二聚化序, 但其一階導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)標(biāo)定相變點(diǎn)的位置.此外, 通過(guò)對(duì)相變點(diǎn)附近二聚化序的一階導(dǎo)數(shù)和長(zhǎng)程弦序的數(shù)值擬合, 分別得到了此相變的特征臨界指數(shù) α 和 β 值,可以看出特征臨界指數(shù) α 隨著DM相互作用強(qiáng)度的增強(qiáng)而逐漸減小, 同時(shí)特征臨界指數(shù) β 隨著DM相互作用強(qiáng)度的增強(qiáng)而逐漸增大.對(duì)于此模型的研究揭示了不同量子自旋相互作用之間的彼此競(jìng)爭(zhēng), 對(duì)今后含有DM相互作用的拓?fù)淞孔酉嘧冎信R界行為研究提供了一定的借鑒與參考.