徐遠(yuǎn)飛

(南京市南化第二中學(xué) 江蘇 南京 210048)

1 存在問題

均勻帶電半球殼問題可以看作是均勻帶電球殼的電場特性的應(yīng)用，對于一些特殊的位置可以采用填補(bǔ)法、等效法、對稱性分析等方法，在理解均勻帶電球殼的基礎(chǔ)上，利用技巧解決半球殼的問題．

【例1】已知均勻帶電球殼內(nèi)部電場強(qiáng)度處處為零，電勢處處相等．如圖1所示，正電荷均勻分布在半球面上，Ox通過半球頂點(diǎn)與球心O的軸線．A和B為軸上的點(diǎn)，且OA=OB，C和D為直徑上的兩點(diǎn)，且OC=OD，則下列判斷正確的是( )

A.A點(diǎn)的電勢與B點(diǎn)的電勢相等

B.C點(diǎn)的電場強(qiáng)度與D點(diǎn)的電場強(qiáng)度不相等

C.A點(diǎn)的電強(qiáng)度與B點(diǎn)的電場強(qiáng)度相同

D.在A點(diǎn)由靜止釋放重力不計(jì)的帶正電的粒子，該粒子將沿AB做勻加速直線運(yùn)動(dòng)

圖1

例1是一個(gè)較為典型的均勻半球殼軸線上的電場問題．C，D兩點(diǎn)的電勢是否相等，可以用對稱性來分析．對稱性又叫不變性，外爾對此所作的定義是，如果我們對一件東西可以進(jìn)行操作，使得操作后這件東西仍舊和以前一樣，我們就叫這件東西是對稱的[1]．按照不變性定義分析，半球殼以x軸由C周旋轉(zhuǎn)到D前后沒有發(fā)生變化，可見C和D的位置具有對稱性，C，D點(diǎn)的場強(qiáng)大小相等．

A，B位置顯然對于球殼而言沒有對稱性，A，B點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小該如何判斷，可以使用填補(bǔ)法．將題中半球殼補(bǔ)成一個(gè)完整的球殼，且?guī)щ娋鶆?，設(shè)左、右半球在A點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)大小分別為E1和E2，根據(jù)均勻帶電球殼內(nèi)部電場強(qiáng)度處處為零的特性，可知E1=E2．根據(jù)對稱性，左、右半球在B點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)大小分別為E2和E1，且E1=E2．可以得出A的場強(qiáng)大小為E1，方向向右，B的場強(qiáng)大小為E2，方向向右，所以A點(diǎn)的電場強(qiáng)度與B點(diǎn)的電場強(qiáng)度相同．

由例1可以發(fā)現(xiàn)，我們可以通過技巧來解決一些半球殼電場相關(guān)問題，方法比較巧妙，但從另外一個(gè)角度來看，技巧偏重于解題，但是對于深刻理解均勻帶電半球殼軸線上的電場的確切情況提供不了太多幫助，技巧可以解決部分特殊位置的定性判斷，但是定性判斷的準(zhǔn)確性還是有必要從理論研究上得以保證．對于選項(xiàng)D的判斷， 用分析很難得出帶電粒子準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)情況．

筆者查閱了一些資料[2]，發(fā)現(xiàn)有一些文章對于均勻帶電半球殼軸線上的電場也進(jìn)行了深入研究，但得出的結(jié)果仍然是限定在特定范圍，結(jié)論不夠完善．

2 均勻帶電半球殼軸線上的電場的推導(dǎo)

2.1 均勻帶電半球殼軸線上電場計(jì)算的基本方法

點(diǎn)電荷組所產(chǎn)生的電場在某點(diǎn)的場強(qiáng)等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)所產(chǎn)生的電場在該點(diǎn)場強(qiáng)的矢量疊加[3]，計(jì)算均勻帶電球殼軸線上任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度，基本思路是應(yīng)用靜電場場強(qiáng)疊加原理．均勻帶電半球殼具有軸對稱性，由此可以推斷半球殼的軸線上的電場在y軸上的分量相互抵消，場強(qiáng)方向必定沿著x軸的方向，如圖2(a)所示．

設(shè)均勻帶電半球殼的帶電荷量為q，電荷面密度為σ，半徑為R，在半球上取微元dS，dS在微元環(huán)L上，如圖2(b)所示，可得出

dS=sinθR2dθdφ

dq=σsinθR2dθdφ

根據(jù)點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度公式可得

圖2 x>0時(shí)軸線上的場強(qiáng)分析

設(shè)P點(diǎn)距離O點(diǎn)的距離為x，根據(jù)圖2(a)幾何關(guān)系可得

r2=(x+Rcosθ)2+(Rsinθ)2=

x2+R2+2xRcosθ

微元dS對P的場強(qiáng)在x軸的分量為

(1)

對dEx積分可得

對此積分采用換元積分法，令

x2+R2+2xRcosθ=t2

球殼電荷量q與電荷面密度的關(guān)系

代入上式可得

2.2 均勻帶電半球殼軸線上電場分段考慮及特殊點(diǎn)的計(jì)算

根據(jù)以上推導(dǎo)可得出軸線上離O點(diǎn)距離為x的點(diǎn)P的電場強(qiáng)度大小，分析式(1)可以看出，場強(qiáng)dEx的表達(dá)式與△BPD的幾何形狀有關(guān)系，P點(diǎn)的位置不同，得出來的dEx可能不同，積分上下限也有區(qū)別，導(dǎo)致積分所得的結(jié)果不同，因此要對P點(diǎn)的位置討論，進(jìn)行分段運(yùn)算．

(1)x>0的位置已經(jīng)推導(dǎo)．

(2)x=0時(shí)，有

kσcosθsinθdθdφ

(3)當(dāng)-R

圖3 -R

由上式可以看出，在-R0的位置產(chǎn)生的場強(qiáng)表達(dá)形式相同．

(4)當(dāng)x=-R時(shí)，有

(5)當(dāng)x<-R時(shí)，如圖4所示，有

圖4 x<-R時(shí)的場強(qiáng)分析

可得

同時(shí)，旅游者行為研究對象多以旅游活動(dòng)類型為劃分依據(jù)，涵蓋廣泛，涉及鄉(xiāng)村旅游者、生態(tài)旅游者、出境旅游者、養(yǎng)老旅游者、女性旅游者、高鐵旅游者、黑色旅游者、民族旅游者、自駕車旅游者、體育旅游者、智慧旅游者等諸多大類，呈現(xiàn)聚焦式、微觀化的研究特征。其中，對于鄉(xiāng)村旅游者、生態(tài)旅游者、女性旅游者的研究關(guān)注度最為集中，對于出境旅游者、高鐵旅游者的研究則具有濃郁的新時(shí)代中國發(fā)展特色。此外，隨著中國老齡化時(shí)代、智慧旅游時(shí)代的到來，未來國內(nèi)旅游者行為研究的案例對象選擇會(huì)向養(yǎng)老旅游者、智慧旅游者等新型旅游者拓展，深化對獨(dú)特旅游者個(gè)體的微觀專題化研究。

設(shè)沿著x軸的方向?yàn)檎?/p>

綜上得出均勻帶電半球殼軸線上的電場強(qiáng)度為

用Geogebra軟件生成函數(shù)圖像，如圖5所示，可以直觀地了解軸線上場強(qiáng)的分布情況．

圖5 用Geogebra軟件生成的場強(qiáng)分布圖像

3 均勻帶電半球殼軸線上電場分布的總結(jié)及應(yīng)用

通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，均勻帶電半球殼軸線上的電場是比較復(fù)雜的，但是可以總結(jié)出一些結(jié)論：

(1)以x軸方向?yàn)檎?，可以發(fā)現(xiàn)在x>-R的范圍內(nèi)，電場強(qiáng)度的方向都為正，在x<-R的范圍，電場方向?yàn)樨?fù)．

(3)在-R

(4)電場強(qiáng)度在A點(diǎn)的(x=-R)位置出現(xiàn)突變，電場強(qiáng)度方向沿x軸負(fù)方向，大小

【例2】均勻帶電球殼在球外空間產(chǎn)生的電場等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場．如圖6所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點(diǎn)與球心O的軸線，在軸線上有M，N兩點(diǎn)，OM=ON=2R，已知M點(diǎn)的電場強(qiáng)度為E，則N點(diǎn)的場強(qiáng)為( )

圖6 例2題圖

解析：

根據(jù)對稱性可知左半球?qū)點(diǎn)的場強(qiáng)大小等于右半球?qū)點(diǎn)的場強(qiáng)，此題選項(xiàng)A正確．

方法二：將x=-2R和x=2R的情況分別代入推導(dǎo)出的公式進(jìn)行計(jì)算

負(fù)號表示方向.根據(jù)題意可知

【例3】(競賽)如圖7所示，半徑為R的均勻帶電球面,電荷的面密度為σ,試求球心處的電場強(qiáng)度．

圖7 例3題圖

方法一：面元△S在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場在z軸的分量為

式中ΔScosθ為面元在xOy平面的投影，由此可得

方法二：應(yīng)用場強(qiáng)疊加原理直接積分得

4 結(jié)束語

通過對均勻帶電半球殼的軸線上電場的深入研究，對軸線上的電場分布情況的理解更加全面，而不是停留在基于技巧的對特殊位置的片面理解，對相關(guān)問題的解釋、教學(xué)、命題都有所幫助．