劉本學(xué)，焦炳銀，郭沛東，劉貝貝

（鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

在構(gòu)件實(shí)際工作的過程中，在承受峰值遠(yuǎn)低于靜態(tài)安全工作載荷的循環(huán)載荷下發(fā)生失效。此現(xiàn)象即為零構(gòu)件的疲勞失效。零構(gòu)件的疲勞失效是由于構(gòu)件內(nèi)存在應(yīng)力集中，從而導(dǎo)致零構(gòu)件發(fā)生在應(yīng)力集中部位發(fā)生局部塑性變形，導(dǎo)致零構(gòu)件強(qiáng)度下降。如果零構(gòu)件的剩余疲勞強(qiáng)度低于在某一時(shí)刻低于循環(huán)載荷峰值，就會(huì)發(fā)生疲勞破壞。疲勞破壞造成了數(shù)例工程財(cái)產(chǎn)損失，逐漸引起了工程領(lǐng)域的廣泛重視。

以往，名義應(yīng)力法以及局部應(yīng)力應(yīng)變法在工程界的疲勞壽命分析中廣為應(yīng)用。這兩種方法由于都沒有考慮到時(shí)間缺口根部周圍的應(yīng)力場分布對(duì)試件疲勞壽命的影響，導(dǎo)致采用名義應(yīng)力法估算出試件疲勞壽命要大于實(shí)際壽命，采用局部應(yīng)力應(yīng)變法估算出試件疲勞壽命相比于實(shí)際壽命要小。傳統(tǒng)TCD算法有時(shí)無法獲得較為理想的疲勞預(yù)測(cè)壽命。擬采用一種改進(jìn)的TCD算法對(duì)缺口試樣的疲勞壽命進(jìn)行評(píng)估，為工程中采用TCD對(duì)工件疲勞壽命的估算起到一定的完善補(bǔ)充作用。

2 45#鋼缺口試樣制備及試驗(yàn)

2.1 45#鋼缺口試樣制備

試樣的制備工藝與試樣的疲勞性能息息相關(guān)。試樣在進(jìn)行機(jī)械加工之前，要進(jìn)行水淬。在設(shè)計(jì)試樣時(shí)，應(yīng)注意試樣的標(biāo)距段與夾持端應(yīng)以光滑弧過渡。機(jī)械加工過后利用砂紙對(duì)試件進(jìn)行打磨，使得試件的表面加工質(zhì)量滿足實(shí)驗(yàn)要求。光滑試樣，加工出的U型缺口試樣（I型試樣）以及半圓缺口試樣（Ⅱ型試樣）的實(shí)物圖分別，如圖1～圖3所示。

圖1 光滑試樣實(shí)物模型Fig.1 Smooth Sample Physical Model

圖2 U型缺口試樣實(shí)物模型Fig.2 U-Type Notched Specimen Physical Model

圖3 半圓缺口試樣實(shí)物模型Fig.3 Semi-Circular Specimen Specimen Model

2.2 45#鋼試樣試驗(yàn)研究

在萬測(cè)拉伸試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行光滑試樣的材料性能實(shí)驗(yàn)測(cè)得45#鋼材料屬性，之后對(duì)光滑試樣施加8組不同的應(yīng)力水平，在MTSLandmark電液伺服材料疲勞試驗(yàn)系統(tǒng)上分別測(cè)得對(duì)應(yīng)的疲勞壽命，如表1所示。

表1 光滑試樣疲勞試驗(yàn)壽命Tab.1 Smooth Test Life Test

根據(jù)外推法，對(duì)U型缺口試樣以及半圓缺口試樣施加4組不同的應(yīng)力水平S1，S2，S3，S4，測(cè)得其對(duì)應(yīng)的疲勞壽命分別為N1，N2，N3，N4。由S-N曲線的冪函數(shù)式可推出，如式（1）所示。

將（S1，N1），（S2，N2），（S3，N3）以及（S4，N4）代入式（1）中，可得式（2）～式（5）。

式（3）減式（2），得式（6）：

式（5）減式（4），得式（7）：

式（7）除以式（6），得式（8）：

通過MATLAB的solve函數(shù)求解方程（8），可確定中值疲勞極限Sf。進(jìn)而擬合出公式（1）中的相應(yīng)參數(shù)。

光滑試樣S-N曲線的表達(dá)式可設(shè)為：

由表2利用MATLAB的曲線擬合功能可確定式（9）中的待擬合參數(shù)m和C。進(jìn)而確定光滑試樣的S-N曲線表達(dá)式。通過實(shí)驗(yàn)獲得U型缺口試樣以及半圓缺口試樣的疲勞壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別，如表2～表3所示。試樣的拉伸試驗(yàn)斷口圖，如圖4所示。

表2 雙側(cè)U形缺口試樣試驗(yàn)疲勞壽命Tab.2 Bilateral U-Notch Specimen Test Fatigue Life

表3 半圓缺口試樣試驗(yàn)疲勞壽命Tab.3 Sem i-Circular Specimen Test Fatigue Life

圖4 試樣的拉伸試驗(yàn)斷口圖Fig.4 Specimen Fracture Diagram During Tensile Test

3 45#鋼缺口試樣有限元模型建立及應(yīng)力場分析

利用ABAQUS軟件分別對(duì)U型缺口試樣以及半圓缺口試樣進(jìn)行數(shù)值模擬，考察缺口試樣沿根部的應(yīng)力場分布。邊界條件采用一端固定，另一端施加相應(yīng)的應(yīng)力。由于試樣缺口周圍容易發(fā)生應(yīng)力集中，因此需要對(duì)試樣缺口周圍的網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化，如圖5～圖6所示。同時(shí)為了減少運(yùn)算時(shí)間，試樣上遠(yuǎn)離缺口部位的網(wǎng)格應(yīng)盡量稀疏。

圖5 U型缺口試樣局部網(wǎng)格細(xì)化Fig.5 Local Mesh Refinement of U-Notched Specimen

圖6 半圓型缺口試樣局部網(wǎng)格細(xì)化Fig.6 Local Mesh Refinement of Semi-Circular Notch Specimen

通過有限元分析，兩種試樣缺口根部附近的應(yīng)力場分布，如圖7～圖8所示。

圖7 U型缺口根部附近應(yīng)力分布云圖Fig.7 Stress Distribution Around the Root of U-Shaped Notch

圖8 半圓缺口根部附近應(yīng)力分布云圖Fig.8 Stress Distribution Around the Root of Semicircular Notch

利用abaqus軟件后處理模塊分別作出雙側(cè)U形缺口試樣、雙側(cè)半圓形缺口試樣沿缺口根部平分線的應(yīng)力-距離曲線，如U型缺口試樣在81MPa下的應(yīng)力-距離曲線，如圖9所示。

圖9 載荷為81MPa下的U形缺口根部應(yīng)力分布曲線Fig.9 The Root Stress Distribution Curve of U-Shaped Notch Under Load of 81MPa

4 TCD算法的45#鋼缺口試件疲勞壽命預(yù)測(cè)

4.1 傳統(tǒng)TCD算法的疲勞壽命預(yù)測(cè)

常用的TCD算法有點(diǎn)方法與線方法。兩者的不同之處在于點(diǎn)方法以距離缺口尖端距離為L0/2點(diǎn)處（沿缺口平分線方向）的最大主應(yīng)力幅值作為有效應(yīng)力，如式（10）所示。

線方法以距離缺口尖端距離為2L0上的最大主應(yīng)力幅值的平均值作為有效應(yīng)力，如式（11）所示。

式（10）以及式（11）中，L0為關(guān)鍵距離，如式（12）所示。

式中：ΔKth—應(yīng)力強(qiáng)度因子門檻值；Δσ0—光滑試樣疲勞極限。

材料發(fā)生靜態(tài)失效時(shí)的關(guān)鍵距離，如式（13）所示。

式中：KIC—材料的斷裂韌性；σref—材料內(nèi)部的相關(guān)應(yīng)力。

通過查閱文獻(xiàn)可知，金屬材料的相關(guān)應(yīng)力σref可用抗拉強(qiáng)度代替計(jì)算。

將TCD算法運(yùn)用到材料的中周疲勞預(yù)測(cè)時(shí)，假設(shè)關(guān)鍵距離L與疲勞循環(huán)數(shù)Nf之間有關(guān)系式（14）存在：

式中：A、B—材料常數(shù)。

當(dāng)Nf=N0時(shí)，即為構(gòu)件從有限壽命到無限壽命間的臨界點(diǎn)。此時(shí)，如式（15）所示。

材料在靜強(qiáng)度破壞時(shí)，通常認(rèn)為NS=1/4。則有公式，如式（16）所示。

聯(lián)立式（15）以及式（16），解得待定常數(shù)A和B：

根據(jù)式（12）～式（18），使用點(diǎn)方法與線方法所得I型試樣的TCD算法相關(guān)參數(shù)，如表4所示。

表4 點(diǎn)方法與線方法相關(guān)參數(shù)匯總Tab.4 Point Method and Line Method Related Parameters Summary

利用Excel軟件分別對(duì)兩種缺口試樣根部的應(yīng)力-距離曲線進(jìn)行六次多項(xiàng)式擬合，得到U型缺口試樣缺口根部應(yīng)力-距離曲線（81MPa）數(shù)學(xué)表達(dá)式（19）以及半圓缺口試樣缺口根部應(yīng)力-距離曲線（152MPa）數(shù)學(xué)表達(dá)式（20）。

式中：L，D—U型試樣與半圓缺口試樣上沿著缺口根部平分線上指定點(diǎn)到缺口根部的距離；F，S—兩種缺口試樣距離缺口根部特定距離點(diǎn)的主應(yīng)力幅值大小。

接下來根據(jù)一種迭代算法，估計(jì)缺口零部件的疲勞壽命。以U型缺口試樣為例，首先根據(jù)缺口部件上施加的名義應(yīng)力，結(jié)合缺口部件的S-N曲線（即式（1））初步估算缺口部件的疲勞壽命Nf1。接著根據(jù)式（14）計(jì)算Nf1對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵距離L。根據(jù)式（10），點(diǎn)方法（PM）中有效應(yīng)力σef′f即為距離缺口根部L/2處的最大主應(yīng)力幅值，而線方法（LM）中有效應(yīng)力可根據(jù)公式（11）確定。將有效應(yīng)力σef′f代入到式（9）中，由光滑試樣的S-N曲線確定Nf2，比較Nf2與Nf1是否相等，如果相等，則缺口部件的疲勞壽命Nf=Nf2=Nf1。否則，將Nf2的值賦給Nf1，重復(fù)以上迭代流程。迭代流程圖，如圖10所示。

圖10 TCD算法迭代流程圖Fig.10 TCD Algorithm Iterative Flow Chart

將利用點(diǎn)方法預(yù)測(cè)的U型缺口部件分別在81MPa和74MPa的疲勞壽命總結(jié)匯總，如表5所示。

表5 傳統(tǒng)TCD算法預(yù)測(cè)壽命匯總Tab.5 Prediction of Life Expectancy by Traditional TCD Algorithm

由表5與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比可知，傳統(tǒng)TCD算法的預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果誤差大，無法得到合理的預(yù)測(cè)結(jié)果。

4.2 改進(jìn)TCD算法的疲勞壽命預(yù)測(cè)

基于上一節(jié)結(jié)論，本節(jié)擬分別采用應(yīng)力集中系數(shù)KT與關(guān)鍵距離L相乘（修正方法I）以及1/KT（即應(yīng)力集中系數(shù)的倒數(shù)）與關(guān)鍵距離L相乘（修正方法Ⅱ）兩種修正方法，此時(shí)，關(guān)鍵距離，應(yīng)力集中系數(shù)以及疲勞壽命之間的關(guān)系，如式（21）～式（22）所示。

其中，通過缺口根部處最大應(yīng)力除以名義應(yīng)力可獲得KT，如式（23）所示。

通過有限元分析也可得知缺口根部的最大應(yīng)力σmax，對(duì)于名義應(yīng)力的計(jì)算，通過查閱文獻(xiàn)[5]，可采用有限元法計(jì)算。首先根據(jù)式（19），式（20）將缺口根部的應(yīng)力沿路徑（缺口根部平分線方向）積分，接著與路徑相除，就得到名義應(yīng)力。即名義應(yīng)力可表示為：

根據(jù)以上公式以及根部應(yīng)力-距離曲線數(shù)值擬合，分別計(jì)算兩種缺口試樣的應(yīng)力集中系數(shù)，對(duì)于U型缺口試樣，利用有限元法計(jì)算的應(yīng)力集中系數(shù)為2.66，與查表法得到的KT（KT=2.75）誤差3.27%。同時(shí)，對(duì)于半圓缺口試樣，利用有限元法計(jì)算的應(yīng)力集中系數(shù)為1.79，與查表法得到的KT（KT=1.86）誤差3.76%。由此可知，通過有限元法計(jì)算出的應(yīng)力集中系數(shù)相對(duì)于查表法誤差可令人接受，表明了方法的可行性，另一方面也證明了試樣有限元模型建立的合理性。

利用改進(jìn)后的關(guān)鍵距離法計(jì)算兩種缺口試樣的材料常數(shù)A和B，計(jì)算的結(jié)果，如表6所示。

表6 兩種缺口試樣各項(xiàng)參數(shù)匯總Tab.6 U-Type Notch Sam ple Summary of the Parameters

對(duì)于修正方法I，重復(fù)上一節(jié)的迭代流程，將利用點(diǎn)方法預(yù)測(cè)得到Ⅰ型試樣的疲勞壽命，如表7所示。

表7 基于修正方法I的U型缺口試樣疲勞壽命預(yù)測(cè)Tab.7 Fatigue Life Prediction of U-Notched Specimens Based on Correction Method I

對(duì)于修正方法Ⅱ，分別計(jì)算出的Ⅰ型試樣與Ⅱ型試樣的結(jié)果，如表8，表9所示。

表8 基于修正方法Ⅱ的U型缺口試樣疲勞壽命預(yù)測(cè)Tab.8 Fatigue Life Prediction of U-Notched Specimens Based on Correction MethodⅡ

表9 基于修正方法Ⅱ的半圓缺口試樣疲勞壽命預(yù)測(cè)Tab.9 Fatigue Life Prediction of Sem i-Circular Notched Specimens Based on Correction MethodⅡ

由表7～表9可知，修正方法Ⅱ得到的預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果更為接近。證明修正方法Ⅱ?qū)鹘y(tǒng)TCD的改進(jìn)是可行的。

5 結(jié)論

（1）關(guān)鍵距離法相對(duì)于傳統(tǒng)的名義應(yīng)力法其優(yōu)勢(shì)在于更加系統(tǒng)地考慮到了試樣缺口根部（不僅僅是缺口根部應(yīng)力集中處）附近的應(yīng)力場分布對(duì)缺口試樣疲勞壽命的影響。并且在運(yùn)用TCD算法進(jìn)行缺口試樣的疲勞壽命預(yù)測(cè)時(shí)，能夠結(jié)合有限元分析對(duì)試樣缺口附近的應(yīng)力場進(jìn)行考察，運(yùn)用方便。

（2）由表5，表7，表8可知，改進(jìn)后的TCD算法由于考慮到了應(yīng)力集中系數(shù)的影響相比于傳統(tǒng)TCD算法在一定條件下精確度更高，對(duì)于TCD算法的修正并不拘泥于以往經(jīng)常用到的修正方法I，且修正方法I有些情況下無法得到合理的預(yù)測(cè)結(jié)果。同時(shí)，線方法比點(diǎn)方法預(yù)測(cè)地更為準(zhǔn)確，但點(diǎn)方法應(yīng)用相較于線方法更為簡單，工程中在誤差允許的范圍內(nèi)多使用點(diǎn)方法。對(duì)兩種類型缺口試樣的疲勞壽命仿真預(yù)測(cè)為工程中使用TCD算法預(yù)測(cè)零構(gòu)件的疲勞壽命提供了借鑒。