姚峰林，孟文俊，趙 婕，石國(guó)善

（1.太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030024；2.太原大學(xué)計(jì)算機(jī)工程系，山西 太原 030032）

1 引言

隨著建筑物的高度不斷增加和風(fēng)力發(fā)電、石油化工、核電工程、礦業(yè)冶金等行業(yè)的快速發(fā)展，使得大型工程起重機(jī)的市場(chǎng)需求量越來(lái)越大。特別是高強(qiáng)度鋼材在伸縮臂架上的應(yīng)用和單缸插銷技術(shù)使全地面起重機(jī)獲得重大進(jìn)步，最具代表性的如某國(guó)Liebherr LTM 11200，徐工集團(tuán)QAY1200，三一重工的SAC12000，中聯(lián)重科的QAY2000等，這些全地面起重機(jī)的伸縮臂架的階數(shù)都達(dá)到了8階，起升高度大，起重量大，轉(zhuǎn)場(chǎng)效率較其它類型的起重機(jī)得到顯著的提升。隨著起升高度、起升重量的不斷增加，伸縮臂的截面積也相對(duì)增大，在加工和制造工藝允許的范圍內(nèi)，合理地利用材料和減輕重量就變得越來(lái)越重要。

階梯柱模型是此類伸縮臂架的受力模型，然而伸縮臂架的穩(wěn)定性是決定起重機(jī)起質(zhì)量和安全關(guān)鍵，所以階梯柱模型的穩(wěn)定性也就成為了學(xué)者研究的重點(diǎn)。Timoshenko等對(duì)階梯柱模型進(jìn)行了較為深入的研究和分析，并使用能量法給出了二階階梯柱的臨界力的結(jié)果，并且給出了其他一些近似的計(jì)算方法，這些方法在階梯柱的階數(shù)不高時(shí)，都可以得到較高的精度[1]。國(guó)內(nèi)也有學(xué)者借助預(yù)設(shè)近似撓度曲線，使用能量法和李茲法對(duì)階梯柱進(jìn)行研究，但這種方法相當(dāng)于引入附加約束，對(duì)于三階以上的階梯柱就會(huì)產(chǎn)生比較大的誤差[2]。文獻(xiàn)[3]使用傳遞矩陣法對(duì)階梯柱的臨界力進(jìn)行了研究，但這類方法目前也只能用于階數(shù)較少的階梯柱，在階數(shù)較高的階梯柱使用該方法也會(huì)出現(xiàn)較大的誤差。隨著有限元理論的發(fā)展和完善[4]，文獻(xiàn)[5-6]使用精確有限元法對(duì)階梯柱的臨界力進(jìn)行了研究。

我國(guó)現(xiàn)行的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)采用了精確有限元法作為規(guī)范的階梯柱穩(wěn)定性分析方法，但這種方法對(duì)于多階階梯柱來(lái)說(shuō)，其剛度矩陣相當(dāng)龐大，特征方程復(fù)雜，對(duì)于常見(jiàn)支撐形式的階梯柱穩(wěn)定性精確數(shù)值解常通過(guò)試湊法獲得，計(jì)算量巨大，給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了一定的困難[7]。在現(xiàn)行的設(shè)計(jì)規(guī)范中使用了圖表來(lái)表示（2～5）階的階梯柱的部分特殊組合情況下的長(zhǎng)度系數(shù)[8]。當(dāng)階數(shù)超過(guò)5階時(shí)，設(shè)計(jì)規(guī)范就無(wú)法應(yīng)用；并且在非特定組合時(shí)使用線性擬合的方法，卻沒(méi)有給出線性擬合的誤差。這時(shí)規(guī)范的使用就無(wú)法滿足實(shí)際工程的需要，因而急需一種方法，可以較方便且迅速地求解5階及以上階梯柱臨界力的方法，并且對(duì)于各種非特殊組合也可以給出高精度的解。

2 能量法

2.1 理想柱的撓曲線

對(duì)于形狀簡(jiǎn)單的柱狀承載構(gòu)件，其受壓，如圖1所示。對(duì)于壓桿的臨界載荷，是由壓力與彎曲力共同作用或由初彎曲得到的。對(duì)于前一情形，臨界荷重由軸向載荷值所決定，就是即使橫向荷重很小，軸向力將引起很大的橫向撓度。同樣地，對(duì)于具有很小的初彎曲的桿，當(dāng)壓力趨近于臨界值時(shí)，撓度將無(wú)限地增大。

圖1 理想柱的撓曲Fig.1 Deflection of Ideal Column

如圖所示理想柱的撓曲微分方程為：

記；

代入理想柱端點(diǎn)條件，并取適合方程的最小kl值，即滿足以使桿保持微小彎曲的最小軸向力，可得撓曲線方程為：

2.2 瑞利-李茲法求解理想柱歐拉臨界力

根據(jù)勢(shì)能駐值原理，在滿足平衡條件真實(shí)的位移使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為駐值，即結(jié)構(gòu)勢(shì)能的一階變分為零，使用能量法可以確定臨界荷載。不論柱的變形是大撓度變形還是小撓度變形，此臨界載荷都可以使用此法時(shí)行求解。這里使用（3）式作為理想柱失穩(wěn)后的撓曲線。

理想柱的彎曲應(yīng)變能為：

外力勢(shì)能為V，這里使用如圖1所示的d s的近似：

由駐值原理EP=ΔU+V和可得；

2.3 用理想柱撓曲線求解階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)

圖2 變截面階梯柱模型及受力簡(jiǎn)圖Fig.2 Mechanical Model and Force Diagram of Multi-Stepped Column

等截面柱并不是最經(jīng)濟(jì)的承載結(jié)構(gòu)形式。在起重機(jī)伸縮臂架中，截面常常是突然改變的，伸縮臂截面通常用鋼板模壓和焊接組成，因而階梯柱狀是伸縮臂目前最合理的結(jié)構(gòu)。要求解階梯柱的臨界力值，就必須對(duì)于柱的每一段分別列出撓度曲線的微分方程。

針對(duì)n階階梯柱模型，基于縱橫彎曲理論可建立各節(jié)伸縮臂撓曲微分方程[9]。n階階梯柱的總長(zhǎng)長(zhǎng)為ln=l，從階梯柱的根部到第i階階梯柱的頂端的長(zhǎng)度為li，第i階階梯柱的慣性矩為Ii，如圖2所示。P為伸縮臂頂端承受的軸力，且P的方向保持不變，δ為伸縮臂頂端的側(cè)向位移，假設(shè)軸力和彎矩全部由伸縮臂承受。

假設(shè)撓曲線近似仍為式（3）中的撓曲線，（這里l=L），把式（1）、式（3）代入彎曲應(yīng)變能中，得：

注：式（8）中，l0=0，如果外力勢(shì)能繼續(xù)使用式（5），由勢(shì)能駐值原理可得；注：l0=0

相對(duì)于單端約束的柱來(lái)說(shuō)，可以把柱的截面的變化以長(zhǎng)度系數(shù)μ2來(lái)進(jìn)行考慮；

階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)μ2就為：

2.4 假設(shè)撓曲線為拋物線求解階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)

通過(guò)假設(shè)階梯柱變形曲線，利用能量法計(jì)算階梯柱的屈曲臨界力，考慮到二次曲線與余弦函數(shù)的接近性，有學(xué)者提出使用拋物線來(lái)假設(shè)撓曲線。

彎曲應(yīng)變能為：

3 數(shù)值解析法

3.1 n階階梯柱的遞推公式

考慮到能量法使用了假設(shè)曲線來(lái)近似階梯柱的撓曲線，所以其相當(dāng)于在階梯柱上施加了人為約束，所以誤差是無(wú)法避免的。另外，能量法在計(jì)算勢(shì)能的時(shí)候也使用了曲線微分的二階近似，因此也會(huì)出現(xiàn)高階誤差，所以在精確計(jì)算時(shí)能量法就可能產(chǎn)生較大誤差。

針對(duì)n階階梯柱模型，基于縱橫彎曲理論可建立各節(jié)伸縮臂撓曲微分方程。n階階梯柱的總長(zhǎng)為ln，P為伸縮臂頂端承受的軸力且P的方向保持不變，δ為伸縮臂頂端的側(cè)向位移，假設(shè)軸力和彎矩全部由伸縮臂承受，第階壓桿模型的受力和變形，如圖2所示。

式（16）可統(tǒng)一表示為

式中：

當(dāng)n=1時(shí)，可以得到：

當(dāng)n=2時(shí)，可以得到：

當(dāng)n=3時(shí)，可以得到：

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可以證明，n階階梯柱的失穩(wěn)特征方程如下：

此方程為超越方程，沒(méi)有解析解，式中；

3.2 超越方程的數(shù)值求解

當(dāng)階梯柱的階數(shù)為n時(shí)，超越方程組可以通過(guò)增加其約束限制限制方程建立方程組才有可能求解。

所建立的n階超越方程組，如式（27）所示。到目前為止，這種非線性超越方程還不存在解析解，只有數(shù)值解。數(shù)值解常使用的方法包括歐拉法，龍格庫(kù)塔法，Gauss-Newton等；但這些方法可能由于矩陣的奇異而無(wú)解。這里使用Levenberg-Marquardt算法[10]，這種算法同時(shí)具有梯度法和牛頓法的優(yōu)點(diǎn)并較原來(lái)的梯度下降法提高速度幾十甚至上百倍，并且對(duì)于（27）所構(gòu)建的方程組總能得到最優(yōu)數(shù)值解。

通過(guò)式（27）可以求解出每節(jié)階梯柱的剛度，進(jìn)而可以求出整個(gè)階梯柱模型的臨界力P，此臨界力與相同約束條件下，與階梯柱長(zhǎng)度相等的基本臂截面所構(gòu)成均等截面柱的臨界力對(duì)比，就可以求出n階階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)μ2。

圖3 采用不同方法計(jì)算二階階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)值Fig.3 Length Coefficient of Two Stepped Column Use Different Method

3.3 二階階梯柱的非線性及其插值

由圖3可以看出，對(duì)于二階階梯柱其長(zhǎng)度系數(shù)值μ2，使用理想柱撓曲線的能量法和數(shù)值法與使用ANSYS17.0所計(jì)算出的差值非常接近。其中數(shù)值法與ANSYS結(jié)果最為接近，最大相對(duì)誤差為1.7×10-4，可以看出n階壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的遞推公式的精度是比較高的。但使用拋物線作為撓曲線的近似曲線的能量法所計(jì)算出的長(zhǎng)度系數(shù)μ2隨著β1的增大與其它三種方法的誤差變小，但在β1較小時(shí)長(zhǎng)度系數(shù)μ2的誤差比較大。因此在這四種方法中，使用拋物線作為撓曲線的近似曲線產(chǎn)生的誤差最大。此外，隨著第二階柱（I2）的慣性矩的增大相當(dāng)于是基礎(chǔ)臂的慣性矩的增加，長(zhǎng)度系數(shù)μ2減小，即階梯柱的臨界力逐漸增大；隨著第一階臂架（I1）長(zhǎng)度與全臂架長(zhǎng)度之比（α1增加），即第二階柱的相對(duì)長(zhǎng)度的減小，長(zhǎng)度系數(shù)μ2非線性減小。

因此對(duì)于使用GB3811-2008時(shí)[11]，當(dāng)選用了表中沒(méi)有的β1時(shí)，使用比較接近的數(shù)值進(jìn)行線性插值才可以得到更為準(zhǔn)確的結(jié)果，但目前國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中推薦使用的是線性法，但實(shí)際上在二階階梯柱的時(shí)候已經(jīng)呈現(xiàn)出明顯的非線性；另外第2階臂架長(zhǎng)度（l2）與全臂架長(zhǎng)度（l）之比（α1）不同時(shí)，也會(huì)影響最終的長(zhǎng)度系數(shù)值μ2，因此，即使是二階階梯柱，μ2的精確計(jì)算是非常必要的。

3.4 多階階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)

為了與GB3811-2008進(jìn)行對(duì)比，我們采用了與國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)相類似的表格。表1中的數(shù)據(jù)是二階和三階階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)值。由表中數(shù)據(jù)可得，使用拋物線作為階梯柱撓曲線的方法在二階階梯柱時(shí)產(chǎn)生的誤差還不是很大，但使用在三階階梯柱將產(chǎn)生巨大的誤差。另外，理想柱的計(jì)算方法使用在三階階梯柱的時(shí)候也將產(chǎn)生較大的誤差。因此，對(duì)于n階階梯柱，傳統(tǒng)的能量計(jì)算方法使用到三階已經(jīng)非常不準(zhǔn)確了，而GB3811-2008是使用精確有限元法計(jì)算出來(lái)的，這種算法的精度是相當(dāng)高的，但由于算法本身的復(fù)雜性和數(shù)值計(jì)算收斂的困難性，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中只給出（2～5）階的階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)，但隨著我國(guó)起重行業(yè)的快速發(fā)展，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于實(shí)際生產(chǎn)。

數(shù)據(jù)是四階和五階階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)值，如圖5、圖6所示。在這個(gè)表格中我們不再把拋物線作為階梯柱撓曲線的方法列入對(duì)比，因?yàn)檎`差已經(jīng)太過(guò)于巨大了。對(duì)于理想柱的計(jì)算方法在四階、五階階梯柱時(shí)產(chǎn)生的誤差也已經(jīng)相當(dāng)大了，最高達(dá)20%。所以傳統(tǒng)教科書中給出的理想柱的計(jì)算方法已經(jīng)不適用于四階、五階階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)計(jì)算。然而，使用數(shù)值法計(jì)算出的長(zhǎng)度系數(shù)值μ2與使用ANSYS17.0所計(jì)算出的值比GB3811-2008還要接近。

圖4 二、三階階梯柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)及比較Fig.4 Effective Length Factor of 2 and 3 Stepped Column

圖5 四階階梯柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)及比較Fig.5 Effective Length Factor of 4 Stepped Column

圖6 五階階梯柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)及比較Fig.6 Effective Length Factor of 5 Stepped Column

另外，對(duì)于國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中沒(méi)有給出的βi值，GB3811使用線性插值法進(jìn)行長(zhǎng)度系數(shù)的計(jì)算，其值在小區(qū)間內(nèi)插線性度較高，插值誤差很小，但大區(qū)間的插值和外插值還需要謹(jǐn)慎使用。

由于計(jì)算的復(fù)雜和困難，對(duì)于五階及以上的階梯柱的長(zhǎng)度系數(shù)，八階階梯柱長(zhǎng)度系數(shù)與現(xiàn)有文獻(xiàn)和ANSYS17.0進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)此遞推公式與Levenberg-Marquardt算法相結(jié)合所求解出的長(zhǎng)度系數(shù)具有極高的精度，優(yōu)于文獻(xiàn)中所計(jì)算出的長(zhǎng)度系數(shù)值，如表1所示。因此，提出的算法對(duì)于大型n階起重機(jī)臂架壓桿穩(wěn)定性具有很強(qiáng)的實(shí)用意義。

表1 八階階梯柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)及比較Tab.1 Effective Length Factor of 8 Stepped Column

4 結(jié)論

對(duì)于大型工程起重機(jī)來(lái)說(shuō)，伸縮臂架作為主要的受力部件，決定著起重機(jī)的主要性能，相對(duì)于桁架式臂架其具有更強(qiáng)的靈活性，因而在工程起重機(jī)當(dāng)中被大量使用，有關(guān)其的研究至關(guān)重要。

使用伸縮臂的階梯柱模型，對(duì)n階階梯柱的穩(wěn)定性微分方程組進(jìn)行推導(dǎo)，得到n階階梯柱遞推公式，根據(jù)階梯柱模型的力學(xué)和結(jié)構(gòu)特性，列寫補(bǔ)充方程；使用Levenberg-Marquardt數(shù)值算法求解n階階梯柱的超越方程組，與現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3811-2008和ANSYS17.0所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明n階階梯柱遞推公式正確；數(shù)值解法相比其他的計(jì)算方法通用性更強(qiáng)，精度更高；此外，階梯柱模型的長(zhǎng)度系數(shù)具有一定的非線性性，小范圍內(nèi)的插值不會(huì)產(chǎn)生太大的誤差。但對(duì)于大截面的階梯柱模型，使用插值法計(jì)算，臨界力的誤差較大。