李 　 圣，　滕 儒 民，　王 　 欣，　王 殿 龍*，　李 　 杰

( 1.大連理工大學 機械工程學院， 遼寧 大連　116024；2.大連益利亞工程機械有限公司， 遼寧 大連　116024 )

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折臂式舉高消防車臂架系統(tǒng)振動特性研究

李 圣1，滕 儒 民1，王 欣1，王 殿 龍*1，李 杰2

( 1.大連理工大學 機械工程學院， 遼寧 大連116024；2.大連益利亞工程機械有限公司， 遼寧 大連116024 )

舉高消防車臂架系統(tǒng)多采用折疊臂形式，控制其末端平臺工作過程中的動響應是提高舉高消防車使用性能的重要途徑，而臂架系統(tǒng)彎曲振動方程求解是研究此類問題的基礎．為此，以百米級折臂式舉高消防車臂架系統(tǒng)為研究對象，基于哈密頓原理推導了各節(jié)臂架的彎曲振動方程，并求解出了一號臂架和二號臂架前三階振型函數(shù)撓度曲線及對應固有頻率．通過實例在Simulink環(huán)境下模擬一號臂架和二號臂架在已知二號臂架仰角變化條件下的末端動撓度響應特性曲線，為大高度折臂式舉高消防車末端平臺振動抑制提供了理論準備．

折臂式；舉高消防車；振動特性；動撓度

0　引　言

隨著中高層及高層建筑越來越普遍，大高度舉高消防車的市場需求呈上升趨勢．百米級舉高消防車為確保其整車尺寸滿足道路通行條件，其臂架系統(tǒng)多采用折臂形式．因而，控制臂架末端平臺的動響應是提升舉高消防車使用性能的重要途徑．

針對折臂式臂架系統(tǒng)，國內(nèi)外學者研究了其運動學以及動力學特性．例如運用拉格朗日方程建立了高空作業(yè)車折臂式臂架系統(tǒng)的動力學方程并進行了數(shù)值仿真[1]；分析了折臂式舉高消防車臂架系統(tǒng)的末端速度，為折臂式臂架系統(tǒng)的運動學分析提供了參考[2-5]．Kharitonov等在直臂式云梯消防車臂架系統(tǒng)的主動減振控制方面有著深入的研究并取得了顯著的成果，為實現(xiàn)舉高消防車主動減振提供了重要的參考[6-7]．柔性機器人雙連桿機械臂動力學方面的研究和折疊式舉高消防車臂架系統(tǒng)振動特性的分析具有相通的方法，該領域的學者或采用拉格朗日方程和假設模態(tài)方法對機械手臂進行動力學建模；或基于哈密頓原理推導其動力學模型，利用自適應邊界條件控制方法實現(xiàn)了對雙連桿柔性臂架末端的控制[8-10]．本文通過推導折臂式舉高消防車臂架系統(tǒng)一號臂架和二號臂架的振動特性方程，并使用仿真軟件Simulink 對一號臂架和二號臂架末端動撓度進行計算仿真．

1　臂架系統(tǒng)的彎曲振動模型

本文研究的折臂式舉高消防車臂架系統(tǒng)主要包括由6級伸縮臂組成的一號臂架、由末端工作平臺和3級伸縮臂組成的二號臂架，以及各節(jié)臂架的變幅油缸三部分．如圖1所示，變幅油缸1分別鉸接于一號臂架和底盤，變幅油缸2分別鉸接于一號臂架和二號臂架．臂架全伸工況時，一號臂架不進行變幅動作．本文研究的重點在于分析一號臂架與二號臂架之間的耦合關(guān)系并得到各節(jié)臂架的彎曲振動特性方程，將一號臂架和二號臂架考慮成等截面的歐拉-伯努利梁．

運用混合坐標建模方法中的切線法，建立臂架系統(tǒng)簡化模型(圖2)．X0、Y0為笛卡爾坐標系；坐標軸X1相切于一號臂架根部，坐標軸X2相切于二號臂架根部，坐標軸X3平行于坐標軸X1．

圖1　折臂式舉高消防車結(jié)構(gòu)形式

圖2　臂架系統(tǒng)簡化模型

一號臂架在工作時不作變幅運動，折臂式臂架系統(tǒng)作如下簡化：變幅油缸1和2連同對應的根部鉸點簡化為具有轉(zhuǎn)動慣量的驅(qū)動輪轂O1、O2．由于鉸點位置為簡化的驅(qū)動輪轂，一號臂架可簡化為根部固支在驅(qū)動輪轂O1上的等截面懸臂梁L1，二號臂架可簡化為帶有末端質(zhì)量塊M的根部固支在驅(qū)動輪轂O2上的等截面懸臂梁L2．輪轂O2處變幅油缸2的等效轉(zhuǎn)動慣量為J2，作用力矩為M2，二號臂架末端質(zhì)量塊等效轉(zhuǎn)動慣量為Je．文中所涉及的其他參數(shù)為Li：各節(jié)臂架長度；ρAi：各節(jié)臂架線密度；EIi：各節(jié)臂架抗彎當量剛度；θ1：坐標軸X1與坐標軸X0的夾角；θ2：坐標軸X2與坐標軸X3的夾角；w1：一號臂架的撓度；w2：二號臂架的撓度；w′：臂架撓度對臂架軸線方向的導數(shù)．

根據(jù)哈密頓原理[11]和簡化后臂架系統(tǒng)模型，有

(1)

式中：T為臂架系統(tǒng)的動能，V為臂架系統(tǒng)的勢能，W為臂架系統(tǒng)非有勢力的虛功．且

式中：T1為一號臂架的動能，T2為二號臂架的動能，T3為驅(qū)動輪轂O2的動能，T4為二號臂架末端平臺的動能；V1為臂架系統(tǒng)的彈性勢能，V2為臂架系統(tǒng)的重力勢能；δW為系統(tǒng)非有勢力做功的變分處理．將方程(2)～(10)代入系統(tǒng)方程(1)中，進行變分以及積分處理，得到系統(tǒng)偏微分方程(11)、(12)以及對應的邊界條件(13)～(18)．

式(11)～(20)為兩節(jié)柔性折臂式臂架系統(tǒng)的振動微分方程．根據(jù)系統(tǒng)偏微分方程(11)、(12)與邊界條件(13)～(20)，兩節(jié)臂架之間存在著明顯的柔性耦合關(guān)系，即一號臂架的末端響應影響著二號臂架的系統(tǒng)偏微分方程(12)與二號臂架的邊界條件(15)、(17)、(18)，二號臂架影響著一號臂架的邊界條件(13)．由于二號臂架并未影響到一號臂架的系統(tǒng)偏微分方程，暫時不考慮二號臂架動撓度，可以先求解出一號臂架的振動特性方程，進而求得二號臂架的振動特性方程．

2　一號臂架振動特性方程

兩節(jié)臂架全伸工況時，一號臂架固定于某一角度不作變幅運動而將其簡化成根部固接的懸臂梁模型．根據(jù)系統(tǒng)邊界條件(18)，二號臂架對一號臂架末端的激勵作用為力矩M2，為求解方便將其轉(zhuǎn)化為變幅油缸2對一號臂架的作用力F，有

(21)

(22)

式(22)中，l為一號臂架末端鉸點至變幅油缸2的垂線距離．根據(jù)一號臂架的系統(tǒng)偏微分方程(11)，一號臂架彎曲振動具有與時間無關(guān)的確定振型的特性，采用分離變量的方式對其進行求解．并且通解的形式可以表示為

(23)

式中：Y1r(x1)是一號臂架彎曲振動方程關(guān)于空間解的函數(shù)，T1r(t)是其關(guān)于時間解的函數(shù)．把式(23)代入一號臂架的系統(tǒng)偏微分方程(11)中可以得到

(24)

(25)

關(guān)于空間解的函數(shù)Y1r(x1)，其具體形式為

Y1r(x1)=C1sinβ1rx1+C2cosβ1rx1+C3shβ1rx1+C4chβ1rx1

(26)

C2=-C4，C1=-C3

(27)

(shβ1rL1+sinβ1rL1)C3+

(chβ1rL1+cosβ1rL1)C4=0，

(chβ1rL1+cosβ1rL1)C3+

(shβ1rL1-sinβ1rL1)C4=0

(28)

式(28)有解的條件是

(29)

上述方程屬于超越方程，無法求出解析解，運用Matlab作出方程(29)的圖形并且對其尋根以精確得出其關(guān)于β1rL1的前三階根，分別為1.895、4.694、7.855，一號臂架各階振型函數(shù)為

Y1r(x1)=chβ1rx1-cosβ1rx1+ξ1r(shβ1rx1-sinβ1rx1)

(30)

(31)

一號臂架末端受激勵F的作用時系統(tǒng)運動偏微分方程可以表示為

(32)

上述方程第r個主坐標系下的運動微分方程可以表示為

T 551r(t)+2μ1rT.1r(t)+μ21rT1r(t)=F*1r(t)M1r

(33)

(34)

(35)

綜合式(26)、(33)可以求得一號臂架受末端激勵作用下振動特性方程的解為

(36)

3　二號臂架振動特性方程

根據(jù)系統(tǒng)方程(12)，二號臂架含有一號臂架撓度的耦合項，而這一部分的耦合項根據(jù)方程(36)可以求出．令

R(x2，t)=x2θ2+w2(x2，t)+

∫t0[w.1(L1,ξ)cosθ2]dξ

(37)

則方程(37)滿足二號臂架的系統(tǒng)偏微分方程(12)以及二號臂架的系統(tǒng)邊界條件(14)～(18)，重新整理二號臂架系統(tǒng)偏微分方程以及邊界條件得

變幅油缸2及其動力學響應在本文研究中不做考慮，且把二號臂架的仰角u(t)=θ2(t)作為系統(tǒng)的輸入．

3.1通解分解

根據(jù)重新整理的方程(38)～(42)，可知二號臂架彎曲振動的邊界條件使得二號臂架彎曲振動微分方程不再是齊次方程組．文獻[12]求解高空作業(yè)車直臂系統(tǒng)振動微分方程的思路對本文二號臂架振動特性方程求解具有重要的借鑒意義．針對二號臂架振動特性方程組，其解可以考慮成齊次部分Rh以及非齊次部分Ri的和．即

R(x2，t)=Rh(x2，t)+Ri(x2，t)

(43)

其中Ri(x2，t)符合二號臂架系統(tǒng)的非齊次邊界條件(39)～(42)，Rh(x2，t)需要滿足系統(tǒng)偏微分方程(38)．

3.2非齊次邊界條件求解

令Ri(x2，t)=f(x2)u(t)，u(t)=θ2(t)，則有

(44)

把上式代入系統(tǒng)邊界條件(39)、(40)中有

A=w.1(L1,t)cosθ2θ.2,B=0

(45)

考慮到二號臂架彎曲振動方程非齊次解的可行性以及在后期方程處理時迭代方法的使用，此時A作為常數(shù)項處理．把式(44)代入式(41)、(42)中：

(46)

將方程組的通解代入系統(tǒng)偏微分方程(38)以及邊界條件(39)～(42)中可以得到

(47)

Rh(0，t)=R′h(0，t)=0

(48)

(49)

(50)

3.3齊次方程組部分求解

二號臂架齊次方程組的解描述為

(51)

二號臂架振動方程空間解與時間解的形式為

Y2r(x)=C1sinβ2rx2+C2cosβ2rx2+C3shβ2rx2+C4chβ2rx2

(52)

(53)

把二號臂架振動方程的解(51)代入系統(tǒng)邊界條件(47)～(50)中可以得到

Y2r(0)=0，Y′2r(0)=0

(54)

(55)

(56)

二號臂架關(guān)于空間的解(52)代入邊界條件(54)中可以求得C2=-C4，C1=-C3，且有

(57)

運用Matlab繪制上述超越方程組(57)的圖形并尋根，可以得到關(guān)于β2rL2前三階根的精確解分別為1.703、4.615、8.015，且二號臂架系統(tǒng)的振型函數(shù)可以表示為

Y2r(x2)=chβ2rx2-cosβ2rx2+ξ2r(shβ2rx2-sinβ2rx2)

(58)

(59)

3.4主坐標下二號臂架振動特性方程的表達

3.4.1二號臂架振型函數(shù)正交性關(guān)系為了使二號臂架振動微分方程解耦，需要找到二號臂架振型函數(shù)特有的正交性關(guān)系．對于不同階數(shù)的振型函數(shù)Y2r(x1)和Y2s(x1)，對應階數(shù)下的固有頻率為w2r和w2s．根據(jù)方程(46)可知

(60)

分別用Y2s(x1)和Y2r(x1)乘以上述方程組的兩端，同時在二號臂架全長上積分處理，之后兩方程相減可以得到

(61)

由于w2r≠w2s，有

(62)

二號臂架的振型函數(shù)關(guān)于上式具有正交性．

3.4.2主坐標系下振動微分方程的表示根據(jù)3.4.1節(jié)證明的振型函數(shù)正交性的形式(62)，對于任意函數(shù)q1(x)和q2(x)，定義

〈q1(z)，q2(z)〉=Mq1(L2)q2(L2)-Jeq′1(L2)q′2(L2)+

(63)

(64)

二號臂架系統(tǒng)各個位置的動位移可以表示為主坐標平面內(nèi)的振型函數(shù)與權(quán)函數(shù)的乘積．根據(jù)方程(63)和(64)可以定義任意函數(shù)廣義傅里葉級數(shù)的展開形式如下：

(65)

(66)

把二號臂架振動微分方程通解在主坐標形式下進行傅里葉展開可得

(67)

對上式進一步整理，可以得到二號臂架振動微分通解時間函數(shù)的第r項的展開形式：

(68)

二號臂架振動微分方程的通解以及二號臂架的動撓度可以表示為

(69)

∫t0[w.1(L1,ξ)cosθ2]dξ

(70)

3.5二號臂架振動特性方程狀態(tài)空間表述形式

針對3.4.2節(jié)得出的二號臂架振動微分方程(69)與動撓度方程(70)，借助軟件Simulink中狀態(tài)空間模塊對二號臂架振動特性進行仿真．第一階振型函數(shù)對整個振型函數(shù)起主導作用，現(xiàn)只考慮二號臂架彎曲振動方程的前兩階振型函數(shù)．令x=(x1x2x3x4)，并且

x1(t)=R*1(t),x2(t)=R.*1(t)x3(t)=R*2(t),x4(t)=R.*2(t)

(71)

由振動微分方程解(69)的方程形式，可以構(gòu)造如下形式的狀態(tài)空間方程：

x.=A·x+B·uy=C·x+D·u

(72)

(73)

(74)

式(73)中的κi為二號臂架的阻尼系數(shù)．根據(jù)不同需求的輸出，矩陣C、D取不同的值，為了得到二號臂架根部的位移，C、D取以下值：

(75)

4　實際算例

本文以某一型號110 m舉高消防車臂架實際結(jié)構(gòu)為研究對象，利用前文所得一、二號臂架振動特性方程進行實際算例的求解計算．其中，一、二號臂架結(jié)構(gòu)的具體截面形狀如圖3(a)、(b)所示．

一號臂架和二號臂架長度及截面屬性、二號臂架末端作業(yè)平臺和簡化輪轂O2處的具體參數(shù)見表1．其中，作業(yè)平臺質(zhì)量為平臺自身質(zhì)量；一號臂架末端轉(zhuǎn)動慣量為簡化輪轂O2的轉(zhuǎn)動慣量；二號臂架末端轉(zhuǎn)動慣量為工作平臺相對二號臂架末端的轉(zhuǎn)動慣量．

圖3　一號和二號臂架截面

表1　臂架系統(tǒng)參數(shù)

將表1中具體參數(shù)代入各節(jié)臂架彎曲振動特性方程(30)、(58)，借助Matlab可以得到一號、二號臂架的前三階歸一化振型函數(shù)曲線，分別如圖4和圖5所示．

通常低階振型對臂架結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的影響較大，取一號臂架的前三階振型函數(shù)及固有頻率、二號臂架的前兩階振型函數(shù)及固有頻率．圖6空白處為舉高消防車實際的作業(yè)區(qū)間，位置2至5是舉高消防車主要的高空作業(yè)區(qū)間．

分析一號臂架位置對一號臂架和二號臂架末端動撓度的影響，一號臂架選擇如圖7所示的3種位置，即θ1為5°、15°和25°；對于3種不同位置的一號臂架，θ2變化一致并且如圖8所示，其中θ2的0°對應于圖6中位置1；27°對應于位置2；73°對應于位置3．

圖4　歸一化的一號臂架前三階振型函數(shù)

圖5　歸一化的二號臂架前三階振型函數(shù)

圖6　臂架作業(yè)區(qū)間

圖7　一號臂架角位置

圖8　二號臂架角度變化曲線1

圖9中，仿真初期一號臂架處于自由振動狀態(tài)，一號臂架末端振動穩(wěn)定之后其動撓度隨著θ2增大而增大；隨著θ1增大，其末端動撓度在自由振動階段幅值增大，而之后動撓度出現(xiàn)減小的趨勢；圖10為二號臂架末端動撓度，其在二號臂架啟、制動時存在劇烈高頻振動現(xiàn)象；隨著θ1值逐步增大，末端動撓度減?。?/p>

圖9　一號臂架末端動撓度1

圖10　二號臂架末端動撓度1

現(xiàn)分析二號臂架在不同作業(yè)區(qū)間對一號臂架和二號臂架末端動撓度的影響，θ1固定在5°，θ2的變化如圖11中信號1和信號2所示．也即選擇圖6中二號臂架作業(yè)區(qū)間2-3和作業(yè)區(qū)間4-5進行對比．

根據(jù)圖12，當二號臂架在圖6中位置4，也即水平位置時，其對一號臂架力矩的作用達到最大值；二號臂架從水平位置繼續(xù)向下運動后，一號臂架的動撓度逐漸減?。畧D13中，信號1和信號2中二號臂架同時進行變幅運動，因此二號臂架的動撓度變化一致；并且，二號臂架在輸入信號2下，也即圖6中區(qū)間4-5作業(yè)時，其末端動撓度增大，且其振動相對信號1更加劇烈．

圖11　二號臂架角度變化曲線2

圖12　一號臂架末端動撓度2

圖13　二號臂架末端動撓度2

5　結(jié)　語

本文基于哈密頓原理，推導了二號臂架具有末端質(zhì)量的折疊式舉高消防車臂架系統(tǒng)的彎曲振動微分方程，得出了某型號百米級折臂式舉高消防車一號臂架以及二號臂架的前三階固有頻率和對應的振型函數(shù)．根據(jù)一號臂架和二號臂架末端的振動特性方程，利用軟件Simulink仿真得到了已知二號臂架仰角變化條件下一號臂架和二號臂架末端動撓度響應特性曲線；對比分析了一號臂架和二號臂架在不同的區(qū)間作業(yè)對一號臂架和二號臂架末端動撓度的影響．上述研究為實現(xiàn)折臂式舉高消防車臂架系統(tǒng)振動主動控制提供了理論準備．

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Research on vibration characteristics of folding boom system for aerial work fire-truck

LISheng1,TENGRu-min1,WANGXin1,WANGDian-long*1,LIJie2

( 1.School of Mechanical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.Dalian YILIYA Construction Machinery Co., Ltd., Dalian 116024, China )

The folding boom is widely used in aerial work fire-trucks (AWFs). In order to improve AWFs′ working performance, an important way is to control the dynamic response of the tip platform during operation, whose foundation is how to solve the bending vibration equation of the boom system. As an example of folding boom system of 110 m AWF, the bending vibration equations for each boom are established, and then, the first three-order deflections curves of vibration shape function and corresponding natural frequencies of the first and second booms are obtained by the Hamilton principle. According to the elevation angle of the second boom, response curves of the dynamic deflections of the first and second booms tip are simulated in Simulink with this actual case. This study provides theoretical preparation for vibration control of AWFs tip platform.

folding boom; aerial work fire-trucks (AWFs); vibration characteristics; dynamic deflection

1000-8608(2016)05-0457-09

2016-01-15；

2016-08-01．

國家自然科學基金資助項目(51475068).

李 圣(1991-)，男，碩士生，E-mail:lisheng_good@163.com；王殿龍*(1962-)，男，教授，博士生導師，E-mail:dlwang@dlut.edu.cn.

O326；TH113

A

10.7511/dllgxb201605004