謝興祥，黃鴻柳，韋洪錦，曾簫瀟

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳）電子與信息工程學(xué)院，廣東深圳 518055；2.廣西科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，廣西來賓 546199）

0 引言

近年來，基于隨機(jī)有限集（Random Finite Set，RFS）的多目標(biāo)跟蹤方法受到了研究人員的廣泛關(guān)注，該方法將目標(biāo)狀態(tài)集合和傳感器量測集合分別建模為隨機(jī)有限集合。RFS理論將多目標(biāo)跟蹤問題描述為貝葉斯濾波問題，解決了傳統(tǒng)多目標(biāo)跟蹤方法中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)以及目標(biāo)數(shù)目變化的難題。勢概率假設(shè)密度濾波（CPHD）是Mahler在概率假設(shè)密度濾波（Probability Hypothesis Density，PHD）的基礎(chǔ)上提出的，CPHD濾波是一種廣義的遞歸PHD濾波，能夠改善PHD濾波在對目標(biāo)數(shù)目進(jìn)行估計時容易出現(xiàn)高階勢分布信息丟失的缺陷。CPHD能夠聯(lián)合傳播后驗強(qiáng)度函數(shù)和后驗勢分布函數(shù)，可根據(jù)物理空間描述法推導(dǎo)出CPHD濾波的具體實(shí)現(xiàn)公式［1］。

Nandakumaran等［2-3］于2007年提出PHD平滑算法，并將它基于SMC實(shí)現(xiàn)和高斯混合（Gaussian Mixture，GM）實(shí)現(xiàn)。在一個由虛假的量測、不確定的檢測和數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)所構(gòu)成的多目標(biāo)場景中，目標(biāo)狀態(tài)的數(shù)量以隨機(jī)的方式隨時間變化，這使得濾波和平滑方法在多目標(biāo)檢測中極具挑戰(zhàn)性。文獻(xiàn)［4］提出了一種概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)（Probabilistic Data Association，PDA）多目標(biāo)平滑算法，以改善在雜波中的跟蹤性能。文獻(xiàn)［5］提出一種交互式多模型平滑算法，以提高機(jī)動目標(biāo)的跟蹤性能。文獻(xiàn)［6］提出一種將固定滯后平滑，交互式多模型（Interacting Multiple Model，IMM）以及概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)相結(jié)合的方案，以提高在雜波中對靈敏目標(biāo)的跟蹤性能。文獻(xiàn)［7］提出了在IMM-MHT中利用固定區(qū)間的平滑算法，用以提高機(jī)動目標(biāo)的跟蹤性能，這些技術(shù)都是針對線性高斯模型而提出來的，但可以通過諸如SMC，線性化和無跡變換技術(shù)擴(kuò)展到非線性非高斯模型。學(xué)者Vo在線性高斯假設(shè)下，提出一種PHD平滑器的閉式解，為一個通用的后向遞歸公式嚴(yán)密地推導(dǎo)出其解析解［8］。

平滑算法可以這樣描述，在隨機(jī)系統(tǒng)估計中，濾波、平滑和預(yù)測是三個重要的相關(guān)聯(lián)問題，其本質(zhì)上等于計算

文獻(xiàn)［9］提出高斯粒子濾波器（GPF），將未知狀態(tài)變量的后驗分布近似為高斯函數(shù)，迭代存儲目標(biāo)狀態(tài)的均值與協(xié)方差，可以顯著降低運(yùn)算的復(fù)雜度，但在目標(biāo)數(shù)估計上改善有限［10］?；谏鲜龇治隹芍?，基于粒子濾波的SMC-CPHD-TBD算法［11］在檢測和跟蹤未知數(shù)目的弱小目標(biāo)時，一方面，目標(biāo)狀態(tài)需要通過計算復(fù)雜的聚類方法獲得，信號較弱時跟蹤精度下降，另一方面，由于粒子濾波存在粒子退化、采樣枯竭等問題，雖可擴(kuò)大粒子支撐集以解決，但卻以犧牲時間為代價，導(dǎo)致在實(shí)際應(yīng)用中受限較大。

針對上述問題，本文提出了將CPHD基于GPF實(shí)現(xiàn)，并將其與平滑算法相結(jié)合，得到GPF-CPHD平滑算法。其內(nèi)涵是利用高斯函數(shù)近似目標(biāo)狀態(tài)的后驗概率密度，采用粒子濾波的方法迭代更新CPHD中各高斯項的均值與協(xié)方差，依據(jù)CPHD目標(biāo)勢分布的意義，推導(dǎo)出粒子權(quán)重更新表達(dá)式。仿真實(shí)驗驗證了算法的有效性和可行性。

1 問題描述

考慮目標(biāo)在一個二維運(yùn)動場景中運(yùn)動，目標(biāo)的狀態(tài)方程和量測方程分別描述為：

其中狀態(tài)模型f（·，·）和量測模型h（·，·）均為已知。vk-為過程噪聲，wk為量測噪聲。根據(jù)量測方程，累積直到時刻k的量測序列Z：k，然后從該序列中估計出目標(biāo)數(shù)目和目標(biāo)狀態(tài)。

Vo等在隨機(jī)有限集理論的基礎(chǔ)上將多目標(biāo)跟蹤問題表述為對多目標(biāo)狀態(tài)Xk和量測的濾波問題［12］。其中Xk為時刻k多個目標(biāo)狀態(tài)的集合，為時刻k多個目標(biāo)量測的集合，分別記為：

其中：Kk為雜波集，Θk為一個目標(biāo)產(chǎn)生的量測。

上述多目標(biāo)跟蹤濾波問題可表述為尋找一個最優(yōu)多目標(biāo)后驗概率密度問題。假設(shè)時刻k-的多目標(biāo)后驗概率密度pk-（·）已知，則時刻k的多目標(biāo)后驗概率密度可通過多目標(biāo)貝葉斯遞歸公式求得，即

2 GPF-CPHD平滑算法的推導(dǎo)

2.1 GPF-CPHD的預(yù)測

CPHD以遞推形式同時傳遞概率假設(shè)密度函數(shù)、目標(biāo)數(shù)量的概率分布及其概率母函數(shù)，可以更準(zhǔn)確地估計目標(biāo)的數(shù)量，但計算復(fù)雜度更大［13］。CPHD相比PHD能夠更完整地保留目標(biāo)個數(shù)的統(tǒng)計信息，現(xiàn)對目標(biāo)的勢分布和目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)分別預(yù)測如下：

CPHD 預(yù)測步［14］：

預(yù)測勢分布為

2.2 GPF-CPHD的更新

CPHD更新步：

更新勢分布為

Zk為時刻k的量測集，gk（·為時刻k單一目標(biāo)的量測似然函數(shù)，pD，k（x）為時刻k的目標(biāo)檢測概率，κk（·） 為時刻k雜波量測強(qiáng)度，pK，k（·） 為時刻k雜波勢分布。

2.3 GPF-CPHD平滑步

由文獻(xiàn)［15］得到CPHD基于高斯混合實(shí)現(xiàn)的平滑步：

式（17）即為GM-CPHD濾波器的平滑公式。

GPF作為粒子濾波的一種推廣方法，在算法實(shí)現(xiàn)過程中避免了粒子重采樣，減少了采樣的粒子數(shù)目，在預(yù)測和更新步只需迭代目標(biāo)狀態(tài)的均值和協(xié)方差，在保證跟蹤性能的同時，可以減少計算的復(fù)雜度。GPF是采用高斯函數(shù)來近似目標(biāo)狀態(tài)的后驗概率密度，而將其應(yīng)用于CPHD的實(shí)現(xiàn)提高了多目標(biāo)跟蹤的運(yùn)算速度和跟蹤效果。GPF基于粒子濾波實(shí)現(xiàn)通過計算高斯函數(shù)中的均值和協(xié)方差估計出目標(biāo)狀態(tài)的后驗概率密度。

2.3.1 狀態(tài)預(yù)測

新生目標(biāo)γi（x） ，i=，，…，Jγ，k，===分別為新生目標(biāo)高斯項的均值與協(xié)方差。存活目標(biāo)vs，kk-（x） ，i=，，…，Jk-，采用擬蒙特卡洛高斯粒子采樣可得

pS，k（ζ） 為時刻k目標(biāo)存在概率，fkk-（·） 為時刻k的單一目標(biāo)轉(zhuǎn)移密度，γk（·） 為時刻k新生目標(biāo)強(qiáng)度，ρΓ，k（·） 為時刻k新生目標(biāo)勢分布。為第個粒子的權(quán)重分別為存活目標(biāo)高斯項的均值和協(xié)方差。

2.3.2 狀態(tài)更新

在對后驗強(qiáng)度vk（x）用高斯混合形式表示時，多目標(biāo)狀態(tài)的提取比PHD濾波的粒子濾波實(shí)現(xiàn)算法容易，因為構(gòu)成高斯分量的均值實(shí)際上是后驗強(qiáng)度vk（x）的局部極大化值，但此時需利用“修剪”技術(shù)除去高斯混合形式中含有較低權(quán)重和方差的高斯分量，并利用“合并”技術(shù)將那些比較密集的高斯分量進(jìn)行合并，當(dāng)從個后驗強(qiáng)度vk（x）中提取多目標(biāo)狀態(tài)時，便可得到較近似的狀態(tài)估計值。上述求出的高斯混合強(qiáng)度為vt|k（x），其相應(yīng)的目標(biāo)期望數(shù)可通過對目標(biāo)權(quán)重求和獲得，即

3 仿真實(shí)驗及分析

3.1 仿真實(shí)驗

為了驗證GPF-CPHD平滑器的性能，將在一個雜波環(huán)境下含有4個目標(biāo)的二維目標(biāo)運(yùn)動場景中進(jìn)行仿真實(shí)驗，實(shí)驗?zāi)Ｐ蜑橐粋€線性高斯運(yùn)動模型，目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)方程為

vk為過程噪聲且為零均值高斯白噪聲，傳感器采樣間隔T=s，測量時間長度為40 s。

傳感器量測模型由噪聲的距離和方位量測構(gòu)成，即由下式表示：

其中，量測噪聲wk為零均值高斯白噪聲，目標(biāo)存活概率為0.99，目標(biāo)檢測概率為0.9。雜波是一個服從泊松分布的隨機(jī)有限集，且雜波平均數(shù)為3［（m）-］。

目標(biāo)的運(yùn)動軌跡如圖1所示。

圖1 目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動軌跡（“○”表示起點(diǎn)，“□”表示終點(diǎn)。）Fig.1 Real target trajectories

圖2為兩種濾波器對目標(biāo)真實(shí)數(shù)目估計的對比圖。從圖2可看出，GPF-CPHD平滑器估計目標(biāo)數(shù)目的性能優(yōu)于GPF-CPHD。這是因為CPHD濾波結(jié)合平滑算法綜合利用了t時刻前后的PHD濾波估計信息，其次CPHD濾波能夠在傳播后驗強(qiáng)度函數(shù)的同時，也能傳播后驗勢分布函數(shù)，改善了PHD濾波在對目標(biāo)數(shù)目進(jìn)行估計時容易出現(xiàn)高階勢分布信息丟失的缺陷。雖然對目標(biāo)的估計有滯后現(xiàn)象（在開始和結(jié)尾都存在），但總體來說，GPF-CPHD平滑器的檢測性能還是比未經(jīng)平滑處理的GPF-CPHD要穩(wěn)定。

圖2 目標(biāo)真實(shí)數(shù)目估計圖Fig.2 Estimation of real target numbers

圖3 OSPA對比圖Fig.3 Comparison of OSPA

選用最優(yōu)子模式分配（OSPA）距離［16］作為評價準(zhǔn)則指標(biāo)，OSPA包括位置和集合勢兩部分距離。圖3用OSPA度量表征2種濾波器的性能差異。當(dāng)OSPA度量距離越小，表明濾波算法的精度越高，OSPA中的參數(shù)值設(shè)為c=100，p=。從圖3（a）可看出，GPF-CPHD平滑器優(yōu)于GPF-CPHD；從圖3（b）可進(jìn)一步看出，GPF-CPHD平滑器的OSPA距離誤差總和值要少于GPF-CPHD。這是因為GPF-CPHD平滑器結(jié)合GPF的特點(diǎn)，使用擬蒙特卡洛采樣，使得采樣的粒子數(shù)目更加均勻，每一個高斯項只需分配20個粒子就可以完成對目標(biāo)的跟蹤，減少了計算量，提高了跟蹤精度。并且經(jīng)過平滑處理后，能夠充分利用原始量測數(shù)據(jù)，使得跟蹤效果更好。

4 結(jié)束語

本文提出基于GPF-CPHD的多目標(biāo)跟蹤平滑算法。算法根據(jù)CPHD目標(biāo)勢分布的意義，結(jié)合GPF的特點(diǎn)，推導(dǎo)出粒子權(quán)重更新表達(dá)式，同時利用高斯函數(shù)近似目標(biāo)狀態(tài)的后驗概率密度，采用粒子濾波的方法迭代更新CPHD中各高斯項的均值與協(xié)方差，避免粒子枯竭，減少計算復(fù)雜度。不足之處是與平滑算法相結(jié)合，綜合利用了t時刻前后的PHD濾波估計信息，彌補(bǔ)了PHD濾波容易丟失高階勢分布信息的缺點(diǎn)，進(jìn)一步改善了多目標(biāo)狀態(tài)估計性能但仍會出現(xiàn)跟蹤滯后現(xiàn)象，這是下一步工作所要完善的。