蔣玉祥

(西寧市測(cè)繪院,青海 西寧 810001)

0 引 言

精密單點(diǎn)定位(PPP)是全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)發(fā)展史上又一重大技術(shù)革命[1],由于其對(duì)于衛(wèi)星精密星歷軌道誤差和鐘差有極高的要求,所以精密星歷中的軌道誤差和鐘差就成為了PPP一個(gè)主要的誤差來(lái)源[2]．根據(jù)國(guó)際GNSS服務(wù)(IGS)提供的15 min或者5 min間隔的精密衛(wèi)星軌道和鐘差加密得到用戶所需要的精度成為一個(gè)很現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題．與此同時(shí)我國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)也在迅速發(fā)展．根據(jù)IGS發(fā)布的精密星歷,利用已有的方法對(duì)BDS鐘差進(jìn)行插值以及預(yù)報(bào)成為一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題．

隨著B(niǎo)DS的快速發(fā)展,針對(duì)精密星歷的插值方法也在迅速發(fā)展,目前主要的內(nèi)插方法包括了拉格朗日(Lagrange)插值、牛頓插值、三次樣條插值、三角函數(shù)擬合、勒讓德擬合、廣義延拓逼近法等[3-8]．而衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)模型目前主要的方法有灰色理論模型[9-11]、時(shí)間序列模型[12]、卡爾曼濾波模型[13]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[14-15]、小波變換模型[15-16]、以及各種組合模型[17-22]．這些預(yù)報(bào)模型針對(duì)使用情形的不同進(jìn)行一定程度的改進(jìn)和組合對(duì)鐘差預(yù)報(bào)具有很好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值．

為實(shí)現(xiàn)BDS高精度精密定位,根據(jù)BDS原子鐘的特點(diǎn):頻率高、非常敏感、極易受到外界及其本身因素的影響,從而很難掌握其復(fù)雜細(xì)致的變換規(guī)律,而這些特點(diǎn)符合將系統(tǒng)行為特征的信息累加或者累減建立微分方程,并將累計(jì)數(shù)據(jù)還原的灰色模型．而針對(duì)普遍使用的傳統(tǒng)GM(1,1)模型對(duì)原始數(shù)列的光滑度要求高且預(yù)測(cè)結(jié)果誤差較大的問(wèn)題,對(duì)BDS鐘差數(shù)據(jù)用冪函數(shù)進(jìn)行處理,進(jìn)而提高了預(yù)測(cè)精度．本文結(jié)合BDS鐘差數(shù)據(jù)利用MATLAB編程對(duì)GM(1,1)模型和冪函數(shù)變換的GM(1,1)模型進(jìn)行驗(yàn)證,以改進(jìn)傳統(tǒng)模型的缺點(diǎn)和不足．

1 Lagrange插值法原理

目前,IGS只提供采樣間隔為15 min或者5 min的精密衛(wèi)星鐘差,根據(jù)其變化的規(guī)律一般使用低階的Lagrange插值方法即可獲得滿足精度要求的觀測(cè)歷元的衛(wèi)星鐘差．

首先構(gòu)造n次插值多項(xiàng)式:

(1)

式中:lk(x)(k=0,1,…,n)都是n次多項(xiàng)式,稱為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)．將插值基函數(shù)簡(jiǎn)化為

P(x0)=y0,P(x1)=y1,…,P(xn)=yn.

(2)

(3)

lk(x)需滿足:

(4)

由此,根據(jù)n個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i≠k)都是n次多項(xiàng)式lk(x)的零點(diǎn),故有：

(5)

式中,Ak為待定系數(shù),再由式(4)得到

從而得到最終結(jié)果：

(6)

式(6)就是Lagrange多項(xiàng)式插值的基本原理,利用BDS鐘差進(jìn)行插值時(shí),自變量x為觀測(cè)時(shí)刻, 因變量y為精密星歷給出的該時(shí)刻的鐘差．故想要獲得任意時(shí)刻衛(wèi)星鐘差的n階拉格朗日插值,必須至少有n+1個(gè)時(shí)刻的衛(wèi)星鐘差．當(dāng)插值點(diǎn)位于插值區(qū)間的中央時(shí),可以保證最佳的內(nèi)插效果．

BDS鐘差進(jìn)行高精度預(yù)報(bào)時(shí),首先用Lagrange插值根據(jù)需要進(jìn)行插值,其次利用預(yù)報(bào)模型進(jìn)行預(yù)報(bào),即可得出需要的歷元時(shí)刻對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星鐘差．

2 冪函數(shù)變換的GM(1,1)模型

針對(duì)傳統(tǒng)GM(1,1)模型的缺陷,利用冪函數(shù)變換法對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn),以提高原始數(shù)據(jù)數(shù)列的光滑度,進(jìn)而降低預(yù)報(bào)結(jié)果的預(yù)測(cè)誤差．

冪函數(shù)變換的GM(1,1)模型的建模過(guò)程如下:

首先,設(shè)原始數(shù)據(jù)列為

y(0)(t)={y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)}.

(7)

對(duì)原始數(shù)據(jù)做基于冪函數(shù)的變換:

x(0)(t)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，

(8)

式中,x(0)(t)=[y(0)(t)]-a,t=1,2,…,n,0

其次,對(duì)x(0)(t)進(jìn)行一次累加(1-AGO)生成一次累加序列:

x(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}，

(9)

(10)

(11)

yn=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T.

(12)

將求得的參數(shù)α、u值代入時(shí)間響應(yīng)函數(shù),即可得.

(13)

累減還原后得到的預(yù)測(cè)模型為

(14)

最后,將函數(shù)還原后即可得到預(yù)測(cè)數(shù)據(jù):

(15)

式中：k表示BDS衛(wèi)星的某時(shí)刻；x表示對(duì)應(yīng)時(shí)刻衛(wèi)星鐘差的冪函數(shù)變換；y表示該時(shí)刻的衛(wèi)星鐘差．

式(15)為利用冪函數(shù)變換改進(jìn)的灰色理論模型.

3 BDS精密鐘差預(yù)報(bào)算例分析

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源以及統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)選自NASA(National Aeronautics and Space Administration)數(shù)據(jù)分析中心(ftp://cddis.gsfc.nasa.gov/pub/gps/products/mgex/)發(fā)布的多模混合數(shù)據(jù)中篩選出的2018年7月30日的采樣率為5 min的BDS精密星歷．?dāng)?shù)據(jù)中包含了14顆BDS衛(wèi)星,其中地球靜止軌道(GEO)衛(wèi)星5顆(C01-C05)、傾斜地球同步軌道(IGSO)衛(wèi)星5顆(C06-C10)、中圓地球軌道(MEO)衛(wèi)星4顆(C11-C14)．歷元總數(shù)為288,采樣區(qū)間為0:0:0到23:55:0．將10 min歷元間隔的偶數(shù)歷元衛(wèi)星鐘差作為將要插值的實(shí)際值,將10 min歷元間隔的奇數(shù)歷元衛(wèi)星鐘差作為插值節(jié)點(diǎn),首先采用Lagrange插值,然后利用傳統(tǒng)灰色理論模型和冪函數(shù)變換改進(jìn)的灰色模型進(jìn)行預(yù)報(bào)．并且將預(yù)報(bào)結(jié)果與原始觀測(cè)值進(jìn)行對(duì)比分析,得出最終的預(yù)測(cè)結(jié)果精度．

圖1～3分別示出了2018年7月30日的BDS衛(wèi)星GEO、IGSO、MEO三種衛(wèi)星的偶數(shù)歷元鐘差統(tǒng)計(jì)．得出GEO衛(wèi)星可利用1、4、5號(hào)衛(wèi)星進(jìn)行計(jì)算對(duì)比,而2、3號(hào)衛(wèi)星鐘差有問(wèn)題,無(wú)法使用;IGSO衛(wèi)星都可以作為計(jì)算對(duì)比數(shù)據(jù);MEO衛(wèi)星中12、13、14可以作為計(jì)算對(duì)比數(shù)據(jù),而11號(hào)衛(wèi)星鐘差存在問(wèn)題,無(wú)法使用．

圖1 GEO衛(wèi)星鐘差統(tǒng)計(jì)

圖2 IGSO衛(wèi)星鐘差統(tǒng)計(jì)

圖3 MEO衛(wèi)星鐘差統(tǒng)計(jì)

3.2 BDS精密星歷鐘差插值分析

利用Lagrange插值將BDS星歷中的三種鐘差分別選擇一顆衛(wèi)星進(jìn)行插值計(jì)算,GEO衛(wèi)星選擇1號(hào)、IGSO衛(wèi)星選擇8號(hào)、MEO衛(wèi)星選擇14號(hào),并且將0 min,10 min,20 min，…，110 min作為插值節(jié)點(diǎn),選擇10階插值,可以得到5 min,15 min,25 min，…，105 min的插值結(jié)果,如圖4所示,插值與實(shí)際值保持一致;并且將插值結(jié)果與實(shí)際值做差可以得到如圖5所示結(jié)果,包含端點(diǎn)龍格現(xiàn)象在內(nèi)的所有插值均滿足小于10-10的結(jié)果．

圖4 三種衛(wèi)星的衛(wèi)星鐘差插值

圖5 三種衛(wèi)星的衛(wèi)星鐘差之差

3.3 BDS精密星歷預(yù)報(bào)值分析

根據(jù)上文的插值結(jié)果剔除端點(diǎn)值后,利用傳統(tǒng)灰色理論模型和冪函數(shù)變換改進(jìn)的灰色理論模型分別進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)．可以得到GEO01、IGSO08和MEO14衛(wèi)星的灰色模型鐘差預(yù)測(cè)值如圖6～8所示.并且得出預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差值,如圖9所示,1號(hào)衛(wèi)星的差值在10-8左右,8號(hào)衛(wèi)星的差值在10-9左右,14號(hào)衛(wèi)星的差值可以達(dá)到10-10左右,精度滿足鐘差預(yù)測(cè)精度．

圖6 GEO衛(wèi)星灰色理論傳統(tǒng)方法預(yù)測(cè)值 圖7 IGSO衛(wèi)星灰色理論傳統(tǒng)方法預(yù)測(cè)值

圖8 MEO衛(wèi)星灰色理論傳統(tǒng)方法預(yù)測(cè)值 圖9 傳統(tǒng)灰色模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差

利用冪函數(shù)改進(jìn)的灰色理論模型進(jìn)行預(yù)報(bào)可以得到GEO01、IGSO08和MEO14衛(wèi)星的改進(jìn)預(yù)測(cè)結(jié)果，如圖10～12所示,可以看出1號(hào)衛(wèi)星鐘差預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差在10-8左右,8號(hào)衛(wèi)星的鐘差預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差在10-9左右,14號(hào)衛(wèi)星鐘差預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差在10-10左右,均滿足預(yù)報(bào)精度要求；并且得出冪函數(shù)變換改進(jìn)的灰色模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差值,如圖13所示，1號(hào)衛(wèi)星的差值在10-8左右，8號(hào)衛(wèi)星的差值在10-9左右，14號(hào)衛(wèi)星的差值可以達(dá)到10-10左右，精度滿足鐘差預(yù)測(cè)精度．

圖10 GEO衛(wèi)星冪函數(shù)變換改進(jìn)灰色模型預(yù)測(cè)值 圖11 IGSO衛(wèi)星冪函數(shù)變換改進(jìn)灰色模型預(yù)測(cè)值

圖12 MEO衛(wèi)星冪函數(shù)變換改進(jìn)灰色模型預(yù)測(cè)值

圖13 冪函數(shù)變換改進(jìn)灰色模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差

圖14 改進(jìn)模型與傳統(tǒng)模型鐘差之差的差值

根據(jù)傳統(tǒng)灰色模型的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值的差與冪函數(shù)改進(jìn)的灰色模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差值之差,由圖14所示可知冪函數(shù)改進(jìn)后的灰色模型相比原模型預(yù)測(cè)結(jié)果更加接近原始數(shù)據(jù)中的鐘差．以GEO01、IGSO08和MEO14為例,得出當(dāng)預(yù)測(cè)值越接近原始觀測(cè)值時(shí),則改進(jìn)模型預(yù)測(cè)結(jié)果越好．

4 結(jié)束語(yǔ)

在BDS衛(wèi)星鐘差插值與預(yù)報(bào)中,Lagrange插值可以滿足高精度計(jì)算要求;而傳統(tǒng)GM(1,1)模型對(duì)三種衛(wèi)星的鐘差值預(yù)報(bào)結(jié)果都可以得到一定的精度,但由于鐘差的不確定性、敏感性,導(dǎo)致有時(shí)候鐘差的波動(dòng)比較大,從而會(huì)降低傳統(tǒng)灰色模型的預(yù)測(cè)精度,限制了其適用范圍．根據(jù)冪函數(shù)做變換改進(jìn)灰色模型,則有效提高了原始數(shù)據(jù)的光滑度,由此建立的灰色模型預(yù)測(cè)精度也有效提高,冪函數(shù)變換的灰色模型在鐘差預(yù)報(bào)中具有實(shí)際使用意義,并且更加可靠和適用．