張曉銳，王良龍

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039)

0 引言

1695年，數(shù)學(xué)家Leibniz和 L’Hospitals進(jìn)行了有意義的交流，探討是否可以把整數(shù)階微分方程推廣到分?jǐn)?shù)階分?jǐn)?shù)階微分方程，甚至是無(wú)理數(shù)微分方程[1]。之后，出于理論研究和實(shí)際應(yīng)用的需要，分?jǐn)?shù)階微分方程的理論和應(yīng)用獲得了極大發(fā)展，其研究成果層出不窮[2，3]。分?jǐn)?shù)階微分方程研究中，Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微分方程更為活躍，并在控制論、生物模型、電路理論等學(xué)科領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用[4]。

眾所周知，對(duì)一般的分?jǐn)?shù)階微分方程也很難獲得其解的解析表達(dá)式或精確表示。為了尋找解的精確表達(dá)，人們經(jīng)常將分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行離散化，獲得相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階差分方程。相對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分方程來(lái)說(shuō)，分?jǐn)?shù)階差分方程之發(fā)展相對(duì)較晚，但出于理論研究和應(yīng)用需求，近年來(lái)分?jǐn)?shù)階差分方程的理論和應(yīng)用獲得極大發(fā)展，引起數(shù)學(xué)研究者和應(yīng)用工作者的廣泛關(guān)注[5]。事實(shí)上，分?jǐn)?shù)階差分、分?jǐn)?shù)階和分、分?jǐn)?shù)階差分方程的理論研究具有很大的挑戰(zhàn)性，并在材料科學(xué)、醫(yī)藥科學(xué)、生態(tài)數(shù)學(xué)模型的研究上具有重要應(yīng)用[6-7]。

2016年，曹玉童[8]研究了一類Riemann-Loiuville型分?jǐn)?shù)階差分方程的初值問(wèn)題

通過(guò)構(gòu)造Volterra和分方程，再利用離散分?jǐn)?shù)階Gronwall不等式和離散Mittag-Leffler函數(shù)的性質(zhì)，在合適的條件下獲得這個(gè)方程解對(duì)初值的連續(xù)依賴性。

2017年，何超[9]研究了下列Caputo型分?jǐn)?shù)階差分方程的初值問(wèn)題

其中0＜α＜1 ,f: [0,b]N0×R→R局部有界。通過(guò)給定的初值條件，構(gòu)造與初值問(wèn)題解等價(jià)的Volterra和分方程，再利用迭代法和分?jǐn)?shù)階離散Gronwall不等式，證明了該初值問(wèn)題解的存在唯一性和解對(duì)初值的連續(xù)依賴性。

本文研究如下一類Riemann-Liouville型混合分?jǐn)?shù)階差分與和分方程的初值問(wèn)題

其中m=-[-α]為非負(fù)數(shù)，0＜β＜1 ,m-1＜α+β＜m,f: [α-m,α+b]Nα-m×R→R是連續(xù)函數(shù)，f(0,0)=0 .通過(guò)構(gòu)造與初值問(wèn)題解等價(jià)的Volterra和分方程，結(jié)合使用Banach壓縮映射原理，得到初值問(wèn)題解的存在唯一性；另外，還通過(guò)構(gòu)造離散Mittag-Leffler函數(shù)，結(jié)合運(yùn)用離散分?jǐn)?shù)階Gronwall不等式，證明了上述初值問(wèn)題解的存在唯一性。

1 預(yù)備知識(shí)

本文沿用程金發(fā)[5]的分?jǐn)?shù)階差分方程理論的記號(hào)與定義。設(shè)a,b為整數(shù)，且a＜b，記Na={a,a+1,…}，Na,b={a,a+1,…,b} . 離 散 函 數(shù)x(n)和y(n)的卷積定義為：

設(shè)n是一個(gè)整數(shù)，x是實(shí)數(shù)，記

定義1 假設(shè)k∈N+為非負(fù)整數(shù)，定義x(n)的一階向后差分為

?x(n)=x(n)-x(n-1)，

稱 ?kx(n)=??k-1x(n)為x(n)的k階向后差分，其中k∈N+.

定義2 定義x(n)的一階向后和分為

稱 ?-kx(n)= ?-1?-(k-1)x(n)為x(n)的k階階向后和分向后和分，其中k∈N+.

定義3 假設(shè)v＞0,離散函數(shù)x(n)的v階和分定義為

離散函數(shù)x(n)的v階Riemann-Liouville型差分定義為 ?vx(n)= ?m?-(m-v)x(n) ,其中m=-[-v] .

引理 1 假設(shè)p＞0,m=-[-p]，則x(n)的p階和分有下列計(jì)算公式

引理 2 假設(shè)α,β∈R+,λ∈C,記 Mittag-Leffler 函 數(shù) 為，則當(dāng)是收斂的。

引理3 假設(shè)v＞0,u為實(shí)數(shù)，則有

引理4 (分?jǐn)?shù)階Gronwall不等式)假設(shè)β＞0,u(n)和a(n)為非負(fù)數(shù)列，0≤b＜1。如果u(n)≤a(n)+b?-βu(n)，那么特別地 ，若a(n)≡ 0,則u(n)≡ 0.

引理5 (Banach壓縮映射定理)設(shè)E是Banach空間，映射T:X→X是一個(gè)壓縮映射，則T在X上有唯一不動(dòng)點(diǎn)。

2 主要結(jié)果

定理1 初值問(wèn)題(1)(2)的解等價(jià)于方程

的解，其中Dj為D′的第j列換成列向量C=(c1,c2,…,cm)T所成的行列式，j=1, 2, …,m,

cj，D′見(jiàn)(4)(5)。

證明先證必要性。把D′的第i行加到第(i+1)行(i=1, 2, …,m-1)，此時(shí)矩陣D′化為(6)。

根據(jù)文[7]知，行列式| |D≠0，從而行列式|D′|≠0，仿照文[7]可證必要性成立。由分?jǐn)?shù)階差分、分?jǐn)?shù)階和分的性質(zhì)，易證(3)的解y(n)滿足(1)和(2)。

定理2設(shè)函數(shù)f滿足Lipschitz條件，即存在非負(fù)常數(shù)L，使得

則(B, ‖·‖ )為一個(gè)Banach空間。在B上定義算子T如下

顯然，若y∈B為T的不動(dòng)點(diǎn)，則y為初值問(wèn)題(1)(2)的解。直接計(jì)算可得(7)。

由假設(shè)條件可知，T：B→B是壓縮映射，又由引理5知，T有唯一不動(dòng)點(diǎn)y(n)，此y(n)即為初值問(wèn)題(1)(2)的唯一解。

定理3若初值問(wèn)題(1)(2)滿足以下條件：

(1) |f(n,z1)-f(n,z2) |≤L|z1-z2|, 0 ≤L＜ 1 ；

(2)|f(n,z) |≤A|z|+B,z∈[0,∞) ,其中A和B為非負(fù)常數(shù)，

則初值問(wèn)題(1)(2)存在唯一解。

證明先證存在性。構(gòu)造迭代數(shù)列

下證解的唯一性。假設(shè)初值(1)(2)存在兩個(gè)解y1(n)和y2(n)， 則有

由分?jǐn)?shù)階離散Gronwall不等式知，y1(n)≡y2(n)，所以解是唯一的。