沈煒恒，朱永貴

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京 100024)

1 引言

隨著數(shù)字圖像的發(fā)展，人們?cè)诠ぷ骱蜕钪袝?huì)大量接觸數(shù)字圖像。數(shù)字圖像在生成、傳輸?shù)拳h(huán)節(jié)中會(huì)受到多種因素的影響而產(chǎn)生噪聲。例如，圖像生成過(guò)程中自然環(huán)境的影響、設(shè)備環(huán)境的影響，圖像傳輸記錄過(guò)程，受到干擾也會(huì)產(chǎn)生大量噪聲；另外，圖像記錄儲(chǔ)存過(guò)程中發(fā)生的測(cè)量誤差、計(jì)算誤差也是造成圖像中摻雜噪聲的另一個(gè)原因。這些噪聲會(huì)導(dǎo)致信息的丟失，從而降低了圖像質(zhì)量。

所以，如何從這些圖像中“復(fù)原”出原始的圖像就顯得尤其重要。牛頓法是最基本的一種迭代生成的算法，它的特點(diǎn)是好理解、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單同時(shí)復(fù)原效果也可以滿(mǎn)足基本要求，因而得到廣泛應(yīng)用。對(duì)于保留邊界特征的去噪模型最有效的還是由Rudin-Osher和Fatemi(ROF)在[1]中提出的全變差模型，ROF復(fù)原模型可以適應(yīng)許多實(shí)際問(wèn)題中不適定問(wèn)題的解。

下文中先介紹一種基本模型，然后介紹正則項(xiàng)的相關(guān)知識(shí)，以及對(duì)偶梯度法的相關(guān)知識(shí)，主要是介紹它適用的情景，最后介紹和分析用對(duì)偶梯度法來(lái)求解ROF模型達(dá)到圖像去噪的方法。

2 相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)介紹

2.1 相關(guān)數(shù)字圖像處理的研究背景和相關(guān)基本數(shù)學(xué)知識(shí)準(zhǔn)備[1，2，3，4，5]

最基本的線(xiàn)性反問(wèn)題的模型格式如下：

Ax=b+w

其中A∈m×nb∈m都是已知的，w是未知的噪聲(或者干擾)向量，是x“真實(shí)圖像”同時(shí)也是需要被估計(jì)計(jì)算的未知圖像，在圖像去噪的問(wèn)題中b代表觀(guān)察圖像即噪音圖像，w代表噪音，在去噪問(wèn)題中模糊算子A為I是即圖像未被模糊處理模型轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

b=x-w

但是絕大部分復(fù)原問(wèn)題都是病態(tài)問(wèn)題，后引入正則項(xiàng)使問(wèn)題適定即得到ROF模型但是在某種情況下，全變差模型存在以下幾種缺陷。

1)階梯化現(xiàn)象：去噪后地圖像具有分塊平滑地現(xiàn)象，即某一區(qū)域內(nèi)地灰度值保持不變，呈現(xiàn)塊狀，或者在平滑區(qū)出現(xiàn)明顯的邊緣。階梯效應(yīng)會(huì)影響圖像的整體效果，而且還會(huì)影響到圖像的觀(guān)測(cè)和研究。

2)對(duì)比度下降：全變差模型是通過(guò)最小化圖像梯度的范數(shù)式來(lái)達(dá)到圖像去噪的效果，因此，在有界區(qū)域內(nèi)復(fù)原后圖像的全變差值將會(huì)下降。

3)幾何形狀變形：在有些情況下，當(dāng)采用ROF模型進(jìn)行圖像復(fù)原時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致水平集的幾何形狀發(fā)生形變。

4)紋理的丟失：盡管全變差正則化能有效去除噪聲，但是，該方法會(huì)造成對(duì)比度下降和幾何形變，不能保持圖像的邊緣信息，故而會(huì)造成紋理和細(xì)節(jié)的丟失。

2.2 對(duì)偶模型相關(guān)知識(shí)準(zhǔn)備：[6，7]

我們考慮下面的模型：

minf(x)+g(Ax)

(P)

其中f(x)：E→(-∞，+∞]是強(qiáng)凸函數(shù)并且強(qiáng)凸系數(shù)為σ>0

其中g(shù)(x)：V→(-∞，+∞]是凸函數(shù)，其中矩陣A：E→V的線(xiàn)性算子

同樣我們可以把P問(wèn)題變成如下的P′問(wèn)題

min{f(x)+g(z)：Ax-z=0}

(P′)

引入變量變量y后P′問(wèn)題可轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

L(x，z，y)=f(x)+g(z)-〈y，Ax-z〉=f(x)+g(z)-〈ATy，x〉+〈y，z〉

轉(zhuǎn)變?yōu)槠鋵?duì)偶問(wèn)題：

2.3 ROF模型相關(guān)知識(shí)準(zhǔn)備

其中ROF的離散定義如下

ROF模型的梯度化的結(jié)果如下：[6，7]

首先給出梯度定義：如果有一個(gè)函數(shù)u=u(x，y)在區(qū)域D上是有定義的，而且點(diǎn)P(x，y)∈D的。如果存在一個(gè)向量A(x，y)，這個(gè)向量所指的方向是u(x，y)在這個(gè)點(diǎn)P處各個(gè)方向的方向?qū)?shù)取最大值的方向，它的模|Α(x，y)|等于此方向?qū)?shù)的最大值，則稱(chēng)該向量A(x，y)為函數(shù)u(x，y)在點(diǎn)P(x，y)處的梯度，記為gradu|P=A(x，y)。

HΤ(Hf-g)

易得

其中

由此可得全變差正則項(xiàng)的梯度為

至此滿(mǎn)足擬牛頓法的模型轉(zhuǎn)換完畢。

可以得到全變差的離散模型梯度為

2.4 對(duì)偶梯度模型算法相關(guān)知識(shí)：[6，7]

近似梯度法：

對(duì)象：凸函數(shù)h

例子：*h(x)=0；proxh(x)=x

*h(x)=‖x‖1這時(shí)proxh(x)就是軟閾值迭代算法

對(duì)象：minf(x)=g(x)+h(x)其中g(shù)是凸函數(shù)，可微函數(shù)，f是凸函數(shù)且有其對(duì)應(yīng)的proxh算法

算法：xk+1=proxtk*h(xk-tk▽g(xk))

*其中tk≥0是步長(zhǎng)

令x+=proxth(x-t▽g(x))

例子：*h(x)=0

最后給出算法

Step0.w1=y0V.t1=1

Stepk.(k≥0)Compute

vk=proxLg(Auk-Lwk)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

應(yīng)用對(duì)偶梯度法求解ROF模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

實(shí)驗(yàn)1：采用對(duì)偶梯度方法處理，去噪效果對(duì)比如下圖1所示。

(a)清晰原圖像 (b)噪聲圖像 (c)去噪圖像圖1 ‘lena’去噪效果圖

其中，圖(b)為原圖像(a)加上一個(gè)高斯模糊的圖像，模糊參數(shù)為10，20；所選的正則化參數(shù)為0.05，迭代的次數(shù)為201.

實(shí)驗(yàn)2：采用對(duì)偶梯度方法處理，去噪效果對(duì)比如下圖2所示。

(a)清晰原圖像 (b)噪聲圖像 (c)去噪圖像圖2 ‘camera’去噪效果圖

其中，圖(b)為原圖像(a)加上一個(gè)高斯模糊的圖像，模糊參數(shù)為10，4，白噪聲的方差為0.01；所選的正則化參數(shù)為0.05，迭代的次數(shù)為178。

由以上實(shí)驗(yàn)可見(jiàn)：此算法是可行的，對(duì)模糊和加噪圖像有一定的復(fù)原效果。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文建構(gòu)了一個(gè)基于對(duì)偶梯度法的圖像去噪模型。該模型在全變差正則化方法的框架下，利用圖像的梯度信息構(gòu)建正則化項(xiàng)，相比于其他的正則項(xiàng)全變差，該正則項(xiàng)采用非二次型來(lái)解除平滑性的約束，能夠在恢復(fù)圖像平滑區(qū)的同時(shí)，大量保留真實(shí)圖像中的邊緣和輪廓等細(xì)節(jié)信息，通過(guò)消除圖像中梯度變化較大的區(qū)域，從而達(dá)到去噪的效果。該模型算法在matlab上進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示：用對(duì)偶梯度法可以達(dá)到較好的去噪效果。