李志杰，蔡力鋼，劉志峰，郭鐵能

(1.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124； 2.先進(jìn)制造技術(shù)北京市重點實驗室，北京 100124；3.北華航天工業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，河北 廊坊 065000)

重型制造裝備具有大尺度、大慣量、大復(fù)雜的特點，這給該類設(shè)備的設(shè)計與制造帶來嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，提升重型制造裝備關(guān)鍵零部件的自主創(chuàng)新設(shè)計和制造能力勢在必行[1]. 橫梁作為高架橋式重型龍門機(jī)床的重要承載和移動部件，其自身靜動態(tài)特性對機(jī)床整體加工性能有著至關(guān)重要的影響，因此優(yōu)化橫梁結(jié)構(gòu)，減輕橫梁質(zhì)量，提高橫梁靜動態(tài)性能意義重大. 清華大學(xué)張伯鵬等[2]利用重力自演進(jìn)補(bǔ)償技術(shù)減小橫梁重力變形，改善橫梁系統(tǒng)幾何精度. Han等[3]通過優(yōu)化橫梁結(jié)構(gòu)提高其靜剛度，減小了橫梁的重力變形. Zatarain等[4]基于有限元方法對橫梁等部件進(jìn)行了模態(tài)分析，進(jìn)而得到較合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計方案. 趙嶺等[5]利用結(jié)構(gòu)仿生方法對加工中心橫梁筋板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計. 文獻(xiàn)[6-7]通過分析溜板在不同位置時橫梁的變形情況，得到橫梁導(dǎo)軌的變形曲線，進(jìn)而設(shè)計出起拱曲線，來抵消變形的影響，從而保證機(jī)床幾何精度.

本文研究對象是面向航天器高強(qiáng)度復(fù)雜零件加工特殊需求而開發(fā)的高架橋式大跨度動梁數(shù)控龍門復(fù)合加工中心，在加工過程中，橫梁作為運(yùn)動部件(動梁)移動的同時，其上的溜板組件相對橫梁位置也發(fā)生變化，相對于橫梁構(gòu)成移動載荷(動載)，針對于此種工況的橫梁優(yōu)化設(shè)計在現(xiàn)有文獻(xiàn)中少有提及. 以往工程實踐中對于大跨度重型龍門機(jī)床橫梁設(shè)計，初始形態(tài)都是通過經(jīng)驗類比法先大致繪制出三維模型，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行相應(yīng)的優(yōu)化分析與設(shè)計，雖然此種方法可以使結(jié)構(gòu)形態(tài)滿足基本的性能要求，但結(jié)構(gòu)形態(tài)不會發(fā)生太大的本質(zhì)變化，這必然使結(jié)構(gòu)設(shè)計存在一定的偶然性和盲目性.

本文針對高架橋式重型龍門加工中心橫梁承受隨動載荷的工況，以及焊接工藝及操作空間的制造限制條件，建立基于固體各向同性微結(jié)構(gòu)材料懲罰模型法(solid isotropic microstructures with penalization，SIMP)插值的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，采用啟發(fā)式調(diào)整法對變量進(jìn)行迭代更新的優(yōu)化準(zhǔn)則法(optimality criteria,OC)算法，利用靈敏度過濾技術(shù)增強(qiáng)網(wǎng)格獨(dú)立性，抑制棋盤格等現(xiàn)象，借助MATLAB編程對橫梁縱向和橫向截面進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，從而得到橫梁初始構(gòu)型；繼而再以橫梁主要板件厚度為設(shè)計變量，建立響應(yīng)面模型計算柔順度和固有頻率對板件厚度的靈敏度；最后采用帶有精英策略的第二代非劣排序遺傳算法NSGA-Ⅱ?qū)憫?yīng)面模型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，在Pareto解集中選出1組最優(yōu)解. 通過與原始設(shè)計進(jìn)行對比，證明了方法的可靠性和可行性.

1 基于拓?fù)鋬?yōu)化的橫梁初始構(gòu)型設(shè)計

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化作為一種結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，不需給定結(jié)構(gòu)的初始形態(tài)，只需限定設(shè)計空間范圍以及載荷與約束等邊界條件，通過優(yōu)化算法就能在設(shè)計域內(nèi)尋找出合理的結(jié)構(gòu)形態(tài)，是一種計算機(jī)輔助造型技術(shù)[8]. Bendsoe等[9]首先提出了基于孔洞微結(jié)構(gòu)的均勻化方法，通過控制孔洞的變量變化實現(xiàn)對拓?fù)湫螤畹母淖儯鶆蚧椒ň哂袊?yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)和力學(xué)基礎(chǔ)，具有很高理論研究價值. 變密度法其實是均勻化方法的一種簡化形式，Sigmund等[10]提出變密度法的基本思想，建立正交各向同性材料密度懲罰模型，對材料密度插值函數(shù)展開研究. 不同于變密度法將0～1連續(xù)變量作為設(shè)計變量，離散體變量法直接采用離散的0/1作為設(shè)計變量，漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化(evolutionary structural optimization，ESO)是離散變量優(yōu)化方法的一個重要代表[11]. 為解決早期進(jìn)化結(jié)構(gòu)優(yōu)化中單元格誤刪之后難以恢復(fù)問題，Huang等[12]提出了能重生材料單元格的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(bi-directional evolutionary structural optimization，BESO). 基于離散變量法模型，智能算法如遺傳算法[13]、粒子群算法[14]和蟻穴算法[15]等具有很強(qiáng)的全局搜索能力和高準(zhǔn)確性，但必須滿足特定條件，針對性較強(qiáng)，通用性較差. 變密度法基于各向同性材料，將材料單元的相對密度作為設(shè)計變量，程序簡單，具有很強(qiáng)通用性.

1.1 變密度法拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是將結(jié)構(gòu)的柔度作為優(yōu)化目標(biāo)，將其材料體積設(shè)為限制條件，最終實現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的柔度最小化，從而實現(xiàn)結(jié)構(gòu)剛度最大，具體的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為

目標(biāo)函數(shù)：

(1)

約束函數(shù)：

(2)

式中：U和F分別表示結(jié)構(gòu)的變形和向量力；K是結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；ue和ke分別為元素的位移矢量和剛度矩陣；xe是設(shè)計變量；xmin為相對密度最小的設(shè)計變量；N是在0～1設(shè)計區(qū)域內(nèi)離散化的元素數(shù)目；p為密度懲罰因子；V(x)和V0分別為給定的材料體積和設(shè)計區(qū)域體積；f為體積分?jǐn)?shù).

1.2 優(yōu)化算法

在拓?fù)鋬?yōu)化的非線性優(yōu)化算法中，優(yōu)化準(zhǔn)則法(OC)算法基于啟發(fā)式調(diào)整法對設(shè)計變量進(jìn)行更新，對于設(shè)計變量較多而約束條件較少的情況，優(yōu)化準(zhǔn)則法具有很高的求解效率，收斂速度快，通用性較強(qiáng)；移動漸近線法(method of moving asymptotes，MMA)是利用當(dāng)前設(shè)計點目標(biāo)函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)建立一個簡單的近似凸函數(shù)來逼近實際隱函數(shù)，具有很強(qiáng)的魯棒性，但對于優(yōu)化問題復(fù)雜的場合，尋找近似函數(shù)比較困難，所以適用于約束條件較少的優(yōu)化場合；梯度投影法(gradient projection method，GPM)具有很高的求解效率，缺點是容易產(chǎn)生局部最優(yōu)解. 本文采用通用性較強(qiáng)的優(yōu)化準(zhǔn)則法.

(3)

式中：m是正向移動極限；η是阻尼常數(shù)；λ是拉格朗日乘子.

(4)

為抑制運(yùn)算過程中出現(xiàn)棋盤格、網(wǎng)絡(luò)依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，采用基于卷積分因子的靈敏度過濾技術(shù)，對過濾半徑區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格加權(quán)平均獲得新的敏度數(shù)值作為設(shè)計變量進(jìn)行更新，進(jìn)而提升網(wǎng)格的獨(dú)立性，不需要再加入額外附加約束，簡單可靠.

目標(biāo)函數(shù)的靈敏度表達(dá)式為

(5)

f=rmin-dist(e,f)
{f∈N|dist(e,f)≤rmin},e=1,2,…,N

(6)

引入懲罰因子目的是將設(shè)計變量即文中所說密度從0～1向兩端聚集，進(jìn)而在設(shè)計區(qū)域內(nèi)得到較為清晰的拓?fù)湫问? 懲罰因子的取值對優(yōu)化結(jié)果有很大影響，文獻(xiàn)[16]進(jìn)行了詳細(xì)描述，本文取3.0對橫梁進(jìn)行優(yōu)化.

1.3 橫梁構(gòu)型

本文研究對象高架橋式大跨度動梁數(shù)控龍門復(fù)合加工中心由立柱、床身、橫梁、溜板滑枕等主要部件組成，如圖1所示，其跨距7 m，橫梁長9.5 m，溜板和滑枕等附件合計10 t. 根據(jù)橫梁受力情況，為提高運(yùn)行速度節(jié)省運(yùn)行時間，將橫梁隨時間變化的變位載荷以及橫梁自身重力簡化為3點，即中點、左端和右端，此3種工況是橫梁工作時3種極端情況，目標(biāo)函數(shù)變更為

(7)

借助MATLAB軟件編制拓?fù)鋬?yōu)化算法程序，本文研究對象橫梁主體長度9 500 mm，高度1 000 mm,隨動載荷施加位置簡化為橫梁左側(cè)、右側(cè)和中間，過濾半徑rmin取值1.5,懲罰因子設(shè)定為3.0，f取值0.5，優(yōu)化結(jié)果如圖2所示. 獲得橫梁縱向筋板結(jié)構(gòu)形式如圖3所示.

高架橋式龍門加工中心其溜板及滑枕安裝在橫梁一側(cè)，造成橫梁彎曲和扭轉(zhuǎn)變形，橫梁在保證縱向具有足夠剛度的同時，橫向也要盡量減小柔性變形. 經(jīng)初步優(yōu)化后，橫梁縱向筋板需縱貫橫梁內(nèi)腔，如圖3所示，若再增加橫向加強(qiáng)筋，勢必在橫梁內(nèi)部造成筋板交錯，增加焊接難度甚至無法焊接. 為此，采用空間錯位的方法，在橫向優(yōu)化的同時為縱向筋板預(yù)留空間位置，結(jié)合工程經(jīng)驗，截面加強(qiáng)筋一般在兩結(jié)合壁板的公共垂直面上并呈近似三角形，如圖4所示，縱向筋板預(yù)留位置在截面上投影呈近似圓形.

溜板及滑枕附件等效載荷施加在橫梁橫向截面右側(cè)頂部和距離底部1/3處，將載荷簡化并施加在如圖5所示位置. 按空間錯位方法，在橫梁內(nèi)腔預(yù)留出縱向筋板位置(如圖6所示)，根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，對橫梁內(nèi)部橫向截面加強(qiáng)筋板結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行設(shè)計，得到橫梁初始構(gòu)型.

2 基于響應(yīng)面法的尺寸設(shè)計

2.1 設(shè)計變量

在拓?fù)鋬?yōu)化對橫梁內(nèi)部縱向和截面筋板構(gòu)型設(shè)計的基礎(chǔ)上，結(jié)合焊接、磨削等加工工藝以及導(dǎo)軌、電機(jī)等組件的裝配空間和工藝，對橫梁進(jìn)行詳細(xì)設(shè)計. 高架橋式重型龍門加工中心由于其跨距大，驅(qū)動形式采用橫梁兩端齒輪齒條同步雙驅(qū)，伺服電機(jī)安裝在橫梁兩端. 橫梁端底板連接滑塊將安裝在高架墻的導(dǎo)軌上，簡化對應(yīng)于圖3的支撐點. 再者，橫梁兩端須預(yù)留電機(jī)安裝空間，所以端底板上方不設(shè)縱向筋板. 圖7是橫梁的初始構(gòu)型，選取其中5個主要結(jié)構(gòu)尺寸作為設(shè)計變量，分別為：截面筋板厚度P1、縱向筋板厚度P2、主壁板厚度P3、底面縱向筋板厚度P4、端底板厚度P5. 取值范圍見表1.

2.2 響應(yīng)面模型

響應(yīng)面法(response surface methodology，RSM)的研究最早追溯到1951年，由Wilson和Box提出，在1959年Box和Draper將其定義為“在經(jīng)驗?zāi)Ｐ蜆?gòu)造和開發(fā)中應(yīng)用的一組統(tǒng)計學(xué)方法”. 近些年，基于響應(yīng)面方法的優(yōu)化設(shè)計已經(jīng)成為國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點，北京工業(yè)大學(xué)隋允康教授團(tuán)隊[17]做了大量研究工作. 對于n個設(shè)計變量，二次多項式響應(yīng)面模型為

(8)

式中：xi(i=1,2,…,n)為n維設(shè)計變量；a0、ai、aii、aij為多項式待定系數(shù)，其個數(shù)k=(n+1)(n+2)/2，待定系數(shù)按照一定次數(shù)排列構(gòu)成矢量a=(a0,a1,…,ak-1)，采用最小二乘法求解矢量a，試驗點個數(shù)m大于等于k.

2.3 中心復(fù)合設(shè)計

在RSM曲面構(gòu)建過程中，實驗類型的選擇有著至關(guān)重要的作用，它直接影響著相應(yīng)面的構(gòu)造精度[18]. 中心復(fù)合設(shè)計(central composite designs, CCDs)由Box于1951年提出，是一種在二階設(shè)計中重復(fù)一階部分的試驗策略，具有很好的穩(wěn)健性. CCDs既可以估計線性和交互效應(yīng)，又可以估計曲性效應(yīng)，以最少的試驗循環(huán)提供了關(guān)于試驗變量和試驗誤差的諸多信息，是目前在RSM中廣為推薦的一種試驗點設(shè)計方法[19].

對n因子兩水平情況，試驗點由中心點、軸向點和析因點三部分組成，圖8所示為n=3、l=3情況下中心復(fù)合設(shè)計試驗點分布方式.

m=2n-ζ+2n+1

(9)

式中：n為設(shè)計變量個數(shù)；ζ為析因系數(shù). 本文提取了5個主要結(jié)構(gòu)尺寸最為設(shè)計變量，取ζ=1，試驗點數(shù)m=27.

2.4 回歸評價

(10)

(11)

決定系數(shù)R2取值在[0，1]，數(shù)值越接近1說明響應(yīng)面函數(shù)與性能函數(shù)近似程度越高，若R2=1則說明響應(yīng)面函數(shù)可以精確地表達(dá)性能函數(shù)，所有試驗點全部都在響應(yīng)面函數(shù)確定的曲面上[20].

引入修正決定系數(shù)Ra2是為了減小參數(shù)個數(shù)變化對響應(yīng)面模型近似精度的影響，即當(dāng)參數(shù)個數(shù)增加時，Ra2不會隨之增加，避免了冗余參數(shù)對響應(yīng)面模型近似精度的影響.

從表2響應(yīng)面模型的擬合度量值可以看出，響應(yīng)面模型的總體進(jìn)度可以滿足要求.

表2 擬合評價指標(biāo)數(shù)值

2.5 靈敏度分析

(12)

在本例的分析中，函數(shù)分別為橫梁剛度即等效應(yīng)力、最大靜變形、橫梁一階固有頻率和橫梁質(zhì)量.

由圖9可見，P1截面筋板厚度、P2縱向筋板厚度和P3主壁板厚度對等效應(yīng)力、最大靜力變形和一階固有頻率影響較大，這也進(jìn)一步驗證了前期對縱向筋板和截面筋板構(gòu)型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化的重要性.

圖10和圖11中，xi|min和xi|max分別為設(shè)計變量下限值和上限值. 由圖10中各設(shè)計變量的曲線走向可見，所有設(shè)計變量對靜力變形都是負(fù)相關(guān)，按影響由大到小依次為P3、P2、P1；由圖11可見，對一階固有頻率影響由大到小依次為P3、P1、P2，且P3是負(fù)相關(guān)，可以考慮通過調(diào)整P3對靜力變形和固有頻率進(jìn)行控制.

3 多目標(biāo)優(yōu)化

橫梁作為龍門機(jī)床的重要零部件，設(shè)計時需要同時考慮其靜態(tài)和動態(tài)性能，基于上述響應(yīng)面模型，將最大靜力變形和動態(tài)頻率即一階固有頻率最大化同時作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，將最大等效應(yīng)力第二階固有頻率設(shè)定為約束條件，5個主要的結(jié)構(gòu)尺寸作為設(shè)計變量，數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

目標(biāo)函數(shù)

maxf1(X), minδ(X)

約束函數(shù)

(16)

式中：X=(x1,x2,x3,x4,x5)；f1(X)為一階固有頻率；δ(X)為最大靜力變形；f2(X)為二階固有頻率；f2|0為初始二階固有頻率；σ(X)為最大等效應(yīng)力；σ0為初始等效應(yīng)力.

在多目標(biāo)優(yōu)化中，各目標(biāo)之間很難同時達(dá)到最優(yōu)化，常產(chǎn)生一系列有效解集，叫作Pareto解. 傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化問題常采用線性加權(quán)法和主要目標(biāo)法等將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題求解，這類方法一般需要事先確定出每個目標(biāo)的重要程度，具有很大局限性. 基于Pareto解集的帶有精英策略的第二代非劣排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)，由于其算法分布性和收斂性都非常優(yōu)秀，是目前公認(rèn)的一種最佳多目標(biāo)優(yōu)化算法[22].

本文利用ANSYS workbench design experiment模塊，在optimization中選擇MOGA多目標(biāo)遺傳算法，樣本初始數(shù)量800，每次迭代樣本數(shù)100，最大迭代數(shù)量50，得到Pareto最優(yōu)解集如圖12所示，2個坐標(biāo)軸x、y分別代表了2個優(yōu)化目標(biāo)：一階固有頻率和最大靜力變形，x、y目標(biāo)函數(shù)對構(gòu)成了Pareto前端.

對于重型龍門機(jī)床橫梁，工程中最為關(guān)心的是靜動態(tài)性能，即最大靜變形和低階固有頻率. 由圖11可見，兩個優(yōu)化目標(biāo)最大靜變形和一階固有頻率分別在0.0326～0.033 2 mm和57～59.5 Hz變化，靜力變形相差很小，故此選取一階固有頻率較大值的解作為候選最優(yōu)解. 從圖10和圖11的靈敏度分析可以看出P3、P2、P1對剛度和固有頻率影響最大，對候選最優(yōu)解的設(shè)計變量進(jìn)行取整修正，代入模型中重新計算并與初始設(shè)計進(jìn)行對比，具體數(shù)據(jù)見表3.

表3 優(yōu)化結(jié)果對比

如表3所示，在初始構(gòu)型和主要筋板尺寸經(jīng)驗設(shè)計的基礎(chǔ)上，經(jīng)過優(yōu)化后的橫梁質(zhì)量減少了21.7%，最大靜力變形減小了2.33%，一階固有頻率提升了8.72%，二階固有頻率提升了8.43%. 經(jīng)過優(yōu)化后的橫梁在質(zhì)量大幅減少的同時，靜態(tài)和動態(tài)特性得到了進(jìn)一步的提升.

論文方法已經(jīng)應(yīng)用到某高架橋式動梁數(shù)控龍門復(fù)合加工中心的橫梁優(yōu)化設(shè)計中，滿足工程實踐要求.

4 結(jié)論

1) 針對高架橋式重型龍門加工中心橫梁承受隨動載荷的工況，以及焊接工藝及操作空間的制造限制條件，建立基于變密度法SIMP插值的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，采用啟發(fā)式調(diào)整法對變量進(jìn)行迭代更新的OC算法，利用靈敏度過濾技術(shù)抑制棋盤格、增強(qiáng)網(wǎng)格獨(dú)立性，借助MATLAB編程進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，得到了橫梁的縱向和橫向截面初始構(gòu)型，避免了以往初始構(gòu)型靠經(jīng)驗設(shè)計的弊端，為此類零件優(yōu)化設(shè)計提供了有力借鑒.

2) 在初始構(gòu)型的基礎(chǔ)上，以主要結(jié)構(gòu)尺寸為設(shè)計變量，以質(zhì)量、最大靜力變形和一階固有頻率為目標(biāo)，建立響應(yīng)面模型，通過靈敏度分析證明了對初始構(gòu)型拓?fù)鋬?yōu)化的重要性，也為多目標(biāo)優(yōu)化之后主要結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)一步修正提供了依據(jù).

3) 結(jié)合變密度法拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)、試驗設(shè)計、響應(yīng)面法、多目標(biāo)遺傳算法和靈敏度分析技術(shù)，實現(xiàn)了高架橋式加工中心龍門橫梁從初始構(gòu)型設(shè)計到結(jié)構(gòu)件具體尺寸優(yōu)化的完整設(shè)計流程，設(shè)計結(jié)果滿足工程要求，具有很強(qiáng)工程實用性.