甘肅省武威市涼州區(qū)發(fā)展街小學(xué) (733000) 李玉梅

因?yàn)楹瘮?shù)圖象是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的根基之一，所以函數(shù)圖象一直是歷年高考選擇題的命題熱點(diǎn).高考函數(shù)圖象選擇題的類型有“依式選圖”和“依圖選圖”兩類.依式選圖是指根據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象選項(xiàng)；依圖選圖是指根據(jù)圖象或圖形選擇函數(shù)圖象選項(xiàng).其中后者比前者難度大，綜合性強(qiáng)，思維能力要求高，具有高考選拔和區(qū)分功能.本文以高考試題為例，說(shuō)明函數(shù)“依圖選圖”選擇題的解題策略，從而達(dá)到以例明理之功效.

1.圖象變換法

已知抽象函數(shù)在某區(qū)間上的圖象，判斷另一抽象函數(shù)的圖象問(wèn)題，通常是比較兩抽象函數(shù)在結(jié)構(gòu)形式上的特點(diǎn)，采用圖象變換的方法加以解決.

圖1

例1 (2012湖北卷文)已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖1所示，則y=-f(2-x)的圖象為( ).

解析：比較抽象函數(shù)y=f(x)與y=-f(2-x)在結(jié)構(gòu)形式上的特點(diǎn)，可先作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)y=-f(-x)的圖象，再將函數(shù)y=-f(-x)的圖象向右平移2個(gè)單位，得到函數(shù)y=-f[-(x-2)]=-f(2-x)的圖象.對(duì)照選項(xiàng)，故選B.

評(píng)注：函數(shù)圖象的變換一定要明確兩抽象函數(shù)在結(jié)構(gòu)形式上的特點(diǎn)和差異，熟練掌握平移、對(duì)稱、翻轉(zhuǎn)、伸縮等圖象變換的規(guī)律和方法，從而靈活、快速地得到正確選項(xiàng).

2.特例排除法

在解選擇題時(shí)，可以通過(guò)取一些特殊數(shù)值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊函數(shù)等對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，從而可以否定和排除不符合題目要求的選項(xiàng)，得到正確的選項(xiàng).

圖2

例2 (2015新課標(biāo)Ⅱ卷理)如圖2,長(zhǎng)方形的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P沿著邊BC,CD與DA運(yùn)動(dòng),記∠BOP=x,將動(dòng)點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x),則f(x)的圖像大致為( ).

評(píng)注：本題考查函數(shù)的圖象，考查了特殊值排除法，確實(shí)是一道基礎(chǔ)知識(shí)與思維能力有機(jī)結(jié)合的好題.特殊數(shù)值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊范圍是一舉突破這類問(wèn)題的最佳思路.

3.導(dǎo)數(shù)幾何意義法

結(jié)合圖形，利用函數(shù)與對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定選項(xiàng)

圖3

例3 (2013浙江卷文)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖3所示，則該函數(shù)的圖象是( ).

解析：函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是原函數(shù)圖象的切線斜率.由圖3知，導(dǎo)數(shù)大于0，原函數(shù)遞增，又注意到導(dǎo)數(shù)在(-1,0)上遞增，在(0,1)上遞減，所以原函數(shù)在(-1,0)上切線斜率越來(lái)越大，在(0,1)上切線斜率越來(lái)越小，對(duì)照選項(xiàng)，只有B符合.

評(píng)注：本題利用導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象變化趨勢(shì)以及導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)，得到原函數(shù)圖象的切線斜率的變化大小，可確定原函數(shù)圖象的變化趨勢(shì).

4.圖象變化速度法

對(duì)于較為復(fù)雜的函數(shù)圖象，如果根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)仍無(wú)法判斷出正確的選項(xiàng)，尤其是一些實(shí)際應(yīng)用題中沒(méi)有給出解析式或無(wú)法求出函數(shù)解析式的問(wèn)題，那么就要根據(jù)已知條件研究函數(shù)單調(diào)增或減的快慢，即其導(dǎo)函數(shù)值的大小變化.

圖4

例4 (2012江西卷理)如圖4，已知正四棱錐S-ABCD所有棱長(zhǎng)都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記SE=x(0

評(píng)注：對(duì)于函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題，若函數(shù)y=f(x)的圖象對(duì)應(yīng)的解析式不好求時(shí)，作為選擇題，沒(méi)必要去求解具體的解析式，可結(jié)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等多角度進(jìn)行判斷，尤其要注意函數(shù)圖象增或減的快慢，這可能就是能否準(zhǔn)確判斷函數(shù)圖象的關(guān)鍵.因此，使用圖象變化速度定圖法，不但求解快速，而且準(zhǔn)確無(wú)誤.

5.等效轉(zhuǎn)化法

解題的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化.對(duì)于背景新穎或難度較大的問(wèn)題，可以根據(jù)題意將其轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問(wèn)題，或?qū)⑵浞纸鉃閹讉€(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解決，利用已有的知識(shí)作出正確的選擇.這也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解答選擇題中的具體應(yīng)用與體現(xiàn).

圖5

例5 (2013江西卷文)如圖5，已知l1⊥l2，圓心在l1上、半徑為1m的圓O在t=0時(shí)與l2相切于點(diǎn)A，圓O沿l2以1m/s的速度勻速向上移動(dòng)，圓被直線l2所截上方圓弧長(zhǎng)記為x，令y=cosx，則y與時(shí)間t(0≤t≤1，單位：s)的函數(shù)y=f(t)的圖象大致為( ).

評(píng)注：利用轉(zhuǎn)化法解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化的等效性.本題求解的關(guān)鍵是通過(guò)探索變量x與t的關(guān)系，等效轉(zhuǎn)化出y與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，然后再確定其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象.

6.推理分析法

推理分析法是通過(guò)邏輯推斷過(guò)程，分析四個(gè)選項(xiàng)之間的邏輯關(guān)系，從而否定干擾項(xiàng)，肯定正確選項(xiàng)的方法.

圖6

評(píng)注：通過(guò)觀察題目的特征，利用平面幾何和三角知識(shí)，巧妙運(yùn)用邏輯推理的方法.解答中既有嚴(yán)密的幾何推理，又有清晰的代數(shù)算理，從而確定出正確選項(xiàng).這樣可以有效地縮短解題時(shí)間，達(dá)到快速解題的目的.此類題目的設(shè)置，能有效地考查學(xué)生的邏輯思維能力以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

總之，函數(shù)“依圖選圖”選擇題的解答，不僅要熟練掌握函數(shù)圖象性質(zhì)的靈活運(yùn)用，而且要有較強(qiáng)的思維能力，這樣才能有的放矢地解答此類問(wèn)題.