王利民

【摘要】阿基米德三角形的定義：拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形.通過(guò)類比和聯(lián)想，通過(guò)對(duì)賽題1和賽題2進(jìn)行探究，得出了拋物線阿基米德三角形的三個(gè)性質(zhì).

【關(guān)鍵詞】阿基米德;三角形;性質(zhì)

阿基米德三角形的定義：拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形.阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家和力學(xué)家，被后人譽(yù)為數(shù)學(xué)之神，他的著作有《論球與圓柱》《圓的度量》《論劈錐曲面體與橢圓體》《論螺線》《拋物弓形求積》等10部.阿基米德最早在著作《拋物弓形求積》中利用逼近的思想證明了有關(guān)性質(zhì)：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積是阿基米德三角形面積的三分之二.筆者通過(guò)類比和聯(lián)想，通過(guò)對(duì)賽題1和賽題2進(jìn)行探究，得出了拋物線阿基米德三角形的三個(gè)性質(zhì)，現(xiàn)介紹如下.

賽題1 （2014年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題A卷第9題）平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是不在x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足條件：過(guò)P可作拋物線y2=4x的兩條切線，兩切點(diǎn)連線lp與PO垂直，設(shè)直線lp與直線PO，x軸的交點(diǎn)分別為Q，R.

（1）證明R是一個(gè)定點(diǎn);

（2）求|PQ||QR|的最小值.

賽題2 （2013年福建高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽）已知A，B為拋物線C：y2=4x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，l1，l2分別過(guò)點(diǎn)A，B且與拋物線C相切，P為l1與l2的交點(diǎn).

（1）若直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，求證：動(dòng)點(diǎn)P在一條定直線上，并求此直線方程.

（2）設(shè)C，D為直線l1，l2與直線x=4的交點(diǎn)，求△PCD面積的最小值.

以上兩道賽題都是拋物線的定點(diǎn)和最值問題，都以阿基米德三角形為背景，不僅形式優(yōu)美，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，也著力考查了學(xué)生的思維能力和運(yùn)算求解能力，也做到把數(shù)學(xué)史中著名定理和數(shù)學(xué)知識(shí)巧妙結(jié)合.考查了直線與拋物線的位置關(guān)系、基本不等式，也考查了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，旨在考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

賽題1中，記過(guò)點(diǎn)P作的拋物線y2=4x的兩條切線的切點(diǎn)分別為A，B，則△PAB是阿基米德三角形.筆者通過(guò)對(duì)賽題1進(jìn)行探究，得出：

【參考文獻(xiàn)】

[1]方亞斌.阿基米德三角形的性質(zhì)[J].河北理科教學(xué)研究，2018（3）：21-23.