蔡雨昕 周輝 雷鈺 王義龍

【摘要】高溫作業(yè)時(shí)，人們往往需要穿著特殊的服裝來避免高溫對(duì)皮膚的灼燒，因此，專用服裝的設(shè)計(jì)是必不可少的.基于2018年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題第一問，通過物理定律和機(jī)理分析法，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行了數(shù)值模擬.

【關(guān)鍵詞】傅立葉熱傳導(dǎo)定律;能量守恒定律;隱式歐拉法

一、引 言

在高溫環(huán)境下，為避免人體受到高溫環(huán)境的傷害，工人們需要穿著專用服裝.已知專用服裝材料的參數(shù)值，對(duì)環(huán)境的溫度為75度、工作時(shí)間為90分鐘的情形展開實(shí)驗(yàn)，測(cè)量得到假人皮膚外側(cè)的溫度（數(shù)據(jù)來源：2018年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題），在此基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算溫度分布，生成溫度分布的結(jié)果.

二、問題分析

在高溫環(huán)境作用時(shí)，人們穿著專用防護(hù)服通常是由三層織物材料構(gòu)成，分別記為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ層，其中Ⅰ層與外界環(huán)境接觸，Ⅲ層與皮膚之間還存在空隙，將此空隙記為Ⅳ層（如圖1所示）.

首先，根據(jù)所給實(shí)驗(yàn)條件，我們假設(shè)熱量是垂直于皮膚的方向進(jìn)行傳播，因此，可將三維問題轉(zhuǎn)化為一維問題.其次，利用熱力學(xué)中的傅立葉熱傳導(dǎo)定律、能量守恒定律、熱量公式，采用機(jī)理分析法對(duì)四層材料可分別建立熱傳導(dǎo)方程.同時(shí)，由于防護(hù)服在接觸面處是溫度相等且通過接觸面的熱量是相等的，則可將這四層對(duì)應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程耦合成一個(gè)熱傳導(dǎo)方程模型.最后，對(duì)該耦合模型的數(shù)值求解，我們采用隱式差分格式進(jìn)行離散，在接觸面根據(jù)通過接觸面的熱量相同進(jìn)行離散得到離散點(diǎn)之間的關(guān)系，最終得到一個(gè)線性方程組.

三、模型建立

首先，由于假設(shè)材料是受熱均勻的，且熱傳導(dǎo)沿垂直于復(fù)合材料外側(cè)方向進(jìn)行，因此，可建立一維模型（如圖2所示），其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分別為四層不同的材料.O點(diǎn)為外界點(diǎn)，即第一層材料的外層;B點(diǎn)為第四層材料的外側(cè).

其次，為分別計(jì)算每一層的溫度分布情況，我們?cè)谝痪S坐標(biāo)軸上隨機(jī)插入兩個(gè)面積為dS的微元（如圖3所示）.

隨后，利用軟件Matlab進(jìn)行隱式向后歐拉差分法求解，并對(duì)溫度分布情況進(jìn)行繪圖.

經(jīng)編程求解結(jié)果如圖5所示.通過圖5不難看出，模型總體溫度在逐步下降，且下降趨勢(shì)呈現(xiàn)先平緩后急劇的現(xiàn)象，尤其是在防護(hù)服第三層之后，溫度下降趨勢(shì)十分明顯.即高溫作業(yè)專用服裝的設(shè)計(jì)中，與人體接近的兩層隔熱設(shè)計(jì)尤為關(guān)鍵.

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