高坤明 秦志昌 郭宗和 馬馳騁 馬迎坤

(1.山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255000； 2.鄭州宇通重工有限公司， 鄭州 451482)

主動懸架是未來汽車懸架的主要發(fā)展方向， 由于能夠?qū)崟r地產(chǎn)生與路面激勵和車身姿態(tài)相適應(yīng)的力，使車輛處于最佳的減振和行駛狀態(tài)而被廣泛關(guān)注[1].主動懸架是一個不確定性較高的復(fù)雜系統(tǒng)[2-3]，汽車在行駛過程中要面臨復(fù)雜多變的路面情況，懸架系統(tǒng)的剛度和阻尼特性根據(jù)汽車的行駛條件進行動態(tài)調(diào)節(jié)[4]，主動懸架系統(tǒng)是一個與控制器密切相關(guān)的系統(tǒng)，控制策略的優(yōu)劣直接影響主動懸架性能的好壞，因此選擇和設(shè)計與主動懸架系統(tǒng)相匹配的控制策略顯得尤為重要[5].運用在主動懸架系統(tǒng)的控制方法主要有滑模變結(jié)構(gòu)控制、線性最優(yōu)控制、模糊控制、PID、LQR 控制等[6-9].其中滑?？刂朴糜谔幚硐到y(tǒng)的非線性、模型的不確定性和外部擾動，具有較強的魯棒性.近年來，滑?？刂票粡V泛應(yīng)用于非線性不確定性系統(tǒng)問題[10-14].遺傳算法是一種隨機優(yōu)化搜索方法[15]， 對種群進行初始化后，通過選擇、交叉和變異運算等操作，使得整個種群朝著適應(yīng)度值更優(yōu)的方向進化，最終收斂得到最優(yōu)解[16-17].提升車輛乘坐舒適性的主要手段是控制車身垂直加速度，然而車身垂直加速度與懸架動行程以及車輪動載荷存在沖突，為了權(quán)衡多個相互沖突的性能目標(biāo)，多目標(biāo)優(yōu)化控制方法在懸架的設(shè)計優(yōu)化中被深入研究[18]. 為進一步提高車輛主動懸架系統(tǒng)的乘坐舒適性和行駛穩(wěn)定性，本文以建立的二自由度1/4車輛主動懸架系統(tǒng)模型為基礎(chǔ)，結(jié)合滑模控制理論、李雅普諾夫穩(wěn)定條件和赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)建立一種基于二自由度主動懸架的滑模控制策略，利用遺傳算法對滑模控制器參數(shù)進行多目標(biāo)優(yōu)化.

1 車輛主動懸架系統(tǒng)模型

本文參考文獻[19]，建立二自由度1/4車輛非線性主動懸架模型，如圖1所示.

圖1 二自由度1/4汽車模型

圖中輪胎簡化為一個常系數(shù)彈簧k2和一個常系數(shù)阻尼c2，懸架由彈簧k1、阻尼c1和主動控制力u組成，m1和m2分別為簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量，xs、xu和q分別表示懸架彈簧未變形時車身位移、輪胎位移和隨機路面不平度輸入，x1、x2為從平衡位置的懸架位移.

建立懸架系統(tǒng)的運動方程，其中懸架的彈性元件包含非線性特性，懸架系統(tǒng)的動態(tài)模型如下：

式中：k11和k12分別為懸架彈簧的線性剛度和非線性剛度，g是重力加速度，靜態(tài)時輪胎受到的總壓力為(m1+m2)g，產(chǎn)生的位移xur為：

考慮到非簧載質(zhì)量的參考位置xur，此時簧載質(zhì)量的參考位置xsr被定義為：

其中δ0＜0，是彈簧靜態(tài)偏移.將懸架系統(tǒng)模型的狀態(tài)變量定義為：

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

其中：

2 滑模控制器設(shè)計

2.1 滑?？刂?/h3>

定義兩個狀態(tài)的跟蹤誤差為：

式中：x1d(t)和x3d(t)是x1(t)和x3(t)的期望參考軌跡，滑模面的表達式如下：

其中：λ1、λ2、μ1 和μ2 是滑模面參數(shù)，又因為在滑模面上滿足s(t)=0和˙s(t)=0，則

式 中：ρd=λ1˙x1d(t)+μ1¨x1d(t)+λ2˙x3d(t)+μ2¨x3d(t)，根據(jù)公式(12)得到等效控制輸入為：

其中：σ=1/(μ1b1-μ2b2).

等效控制器(13)要求系統(tǒng)具有精確模型并且不存在外界干擾，然而實際系統(tǒng)存在諸多不確定性并且反饋回路往往受到環(huán)境噪聲的干擾，導(dǎo)致實際系統(tǒng)不能單純由等效控制器進行控制.為克服系統(tǒng)不確定性等影響，引入如下切換控制律[20]：

由式(13)和(14)得到可以用于控制實際系統(tǒng)的實時可變的滑?？刂屏θ缦拢?/p>

其中：Fs1=αk11(x1-x3+δ0)3、Fs2=a、Fs3=b分別是f(x)、q和˙q估計的誤差極限.非線性彈簧剛度估計誤差極限的確定是由方程的線性部分系統(tǒng)模型為基礎(chǔ)假設(shè)的，α為非線性剛度控制系數(shù)，隨機路面不

平度輸入的估計誤差極限是由路面函數(shù)假設(shè)的，a、b分別為路面函數(shù)和路面函數(shù)導(dǎo)數(shù)的極值[21].

2.2 滑模控制器穩(wěn)定性證明

為了滿足滑?？刂频牡竭_條件，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論對滑模控制進行穩(wěn)定性驗證，選取Lyapunov候選函數(shù)[11]， 將式(16)進行全微分，可以得到：

當(dāng)上式中K取值如下時，˙V(x)≤-η|s(t)|成立.

由 于 期 望 狀 態(tài) 值 為x1d=0，x3d=0，˙x1d=0，˙x3d=0，可知ρd(t)=0.

在實際的控制中，因為飽和函數(shù)的連續(xù)性可代替符號函數(shù)削弱系統(tǒng)在滑?？刂浦挟a(chǎn)生的抖振，所以在控制器的設(shè)計中通常采用飽和函數(shù)sat(s(t)，φ)替換符號函數(shù)sign(x)來避免高頻振動[12]，飽和函數(shù)如下：

式中：0＜φ＜1是飽和函數(shù)邊界層厚度.

2.3 滑模面穩(wěn)定性條件

為滿足滑?？刂频姆€(wěn)定性條件，在滑模面上s(t)=0，可以求得：

將等效控制ueq代入方程(6)第3行并做微分，

其中：

根據(jù)動力方程的變換可以定義一組新的狀態(tài)變量：

通過新的狀態(tài)變量，可以將方程(24)寫為：

又因為方程(24)的平衡條件為y1=y2=y3=0.因此方程(25)在原點處局部線性化可以得到：

線性化系統(tǒng)(26)的特征方程為：

其中γ是Laplace變量，且

由Hurwitz穩(wěn)定性可得：

進而得出滑模面穩(wěn)定性條件

3 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

3.1 目標(biāo)函數(shù)選擇

在保證行駛穩(wěn)定性的同時，能夠盡可能地滿足駕乘人員對乘坐舒適性的需求是車輛懸架系統(tǒng)優(yōu)化的主要目的.對于車輛主動懸架系統(tǒng)來說，乘坐舒適性主要由車身垂直加速度和懸架動行程體現(xiàn)，行駛穩(wěn)定性的評價指標(biāo)主要由輪胎動載荷目標(biāo)體現(xiàn).目標(biāo)函數(shù)如公式(31)所示：

式中：F=k2(x3(ti)+xur-q(ti))+c2(x4(ti)-˙q(ti))，f1、f2和f3分別為車身垂直加速的均方根、懸架動行程的均方根和輪胎動載荷均方根.

3.2 約束條件

對主動懸架車輛進行多目標(biāo)設(shè)計優(yōu)化時，為了保證汽車行駛的安全性，除了要滿足滑模面穩(wěn)定性條件(32)外，還必須保證懸架動撓度所受碰撞器限制始終在安全范圍內(nèi)，即

式中：xR為允許的最大懸架動撓度.

3.3 多目標(biāo)優(yōu)化問題的提出

主動懸架設(shè)計優(yōu)化的實質(zhì)是具有多個變量及各類約束的優(yōu)化問題，控制性能以及穩(wěn)定性由滑?？刂破髦械?個參數(shù)K=[λ1，μ1，λ2，μ2，η，φ]所決定，通過選擇這些參數(shù)的取值來滿足3個目標(biāo)，因為所有目標(biāo)都是求最小值，因此主動懸架的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題寫成以下函數(shù)：

式中：約束條件g(K)＞0，由不等式組(30)和(32)共同構(gòu)成.

3.4 多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法

在確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件后，結(jié)合遺傳算法可以輸出最優(yōu)個體，通過迭代過程實現(xiàn)選擇、交叉和變異，不斷更新個體和種群，最終獲得滿足優(yōu)化目標(biāo)的染色體，本文結(jié)合遺傳算法對主動懸架的滑?？刂破鲄?shù)進行多目標(biāo)優(yōu)化.基于設(shè)計者經(jīng)驗和多次的仿真實驗，最終選擇參數(shù)K的取值范圍如下：

初始種群數(shù)量設(shè)為200，最大遺傳代數(shù)為500，交叉概率設(shè)為0.8，變異概率設(shè)為0.01，停止代數(shù)為500，在Matlab下建立仿真程序，仿真時間為15s，仿真結(jié)果如圖2～3所示.

圖2 多目標(biāo)優(yōu)化解集

圖2為多目標(biāo)優(yōu)化解集，圖3為在平面坐標(biāo)系下最優(yōu)參數(shù)取值.其中圖3中每個最優(yōu)參數(shù)取值區(qū)間圖都表示了6維坐標(biāo)中的3個維度，顏色的深淺代表某個參數(shù)的大小，4幅最優(yōu)參數(shù)取值分布圖顯示了滑模面的6個參數(shù)的取值范圍.b1，b2，b3，b4分別為多 目標(biāo)優(yōu)化解集中f1、f2和f3的目標(biāo)函數(shù)值分別最小和3個目標(biāo)函數(shù)值折中最優(yōu)時的解的對應(yīng)位置，各代號對應(yīng)的參數(shù)位置見表1.

圖3 最優(yōu)參數(shù)取值

表1 參數(shù)對應(yīng)解

4 仿真結(jié)果分析

根據(jù)已建立的模型和算法，進行實例仿真分析，本文利用文獻[19]所給的轎車懸架系統(tǒng)以及路面條件為例，包括汽車模型參數(shù)以及路面函數(shù)，以此證明本文設(shè)計的基于遺傳算法主動懸架滑?？刂破鞯恼_性與可行性，車輛模型參數(shù)見表2.

在仿真過程中，路面情況由路面函數(shù)(36)決定，模擬的道路輪廓由正弦擾動疊加在凸起和凹下的路面函數(shù)上，道路輪廓是時間t的函數(shù).

式中：d(t)=0.002sin2πt+0.002sin7.5πt.

根據(jù)已經(jīng)得到的多目標(biāo)優(yōu)化解集，在Matlab環(huán)境下建立仿真程序進行仿真驗證.從優(yōu)化結(jié)果中選取4種不同要求下的主動懸架在優(yōu)化前后的控制器參數(shù)，如表3所示.

表3 滑?？刂破鲄?shù)

圖4～8 分別顯示了優(yōu)化前后的主動懸架在4種不同要求下的車身垂直加速度、懸架動行程、輪胎動載荷以及控制器控制力對比曲線，其中圖5和圖7分別為車身垂直加速度和輪胎動載荷的幅頻特性曲線.

圖4 車身垂直加速度對比曲線

圖5 車身垂直加速度幅頻特性曲線

從圖4～5可以看出，對優(yōu)化前后進行對比，采用GAS1控制時，車身垂直加速度得到了最有效的控制，而采用GAS3控制效果最差.但是從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，在滿足懸架動撓度始終保持在所允許的最大限值的同時，采用GAS3控制時，懸架動行程略大于SM控制，GAS1、GAS2和GAS4控制時懸架動行程均優(yōu)于SM 控制.而從圖5和圖6中也可發(fā)現(xiàn)，采用GAS4控制時，車身垂直加速度和懸架動行程都得到了有效控制，而且控制效果都要優(yōu)于SM 控制.

圖6 懸架動行程對比曲線

類似地，從圖7～8可以看出，當(dāng)采用參數(shù)GAS3時對輪胎動載荷控制效果最好，但是對車身加速度和控制力方面提出了更高的要求，尤其是控制力方面，采用GAS3需要的控制力高達2000N，這對于主動懸架來說是非常高的挑戰(zhàn).但是從圖8中可以發(fā)現(xiàn)，采用GAS2和GAS4控制時，控制力在1000N 左右，這是比較容易實現(xiàn)的.

對比圖7和圖8中的曲線，采用多目標(biāo)優(yōu)化控制參數(shù)GAS4時，控制效果較SM 控制策略得到了較大的改善，而且控制要求低，容易實現(xiàn).

圖7 輪胎動載荷幅頻特性曲線

圖8 控制力變化對比曲線

綜合來看，采用多目標(biāo)優(yōu)化控制方法優(yōu)化后的主動懸架車身垂直加速度明顯減小.從表4計算得到，采用GAS4進行控制后的主動懸架車身垂直加速度均方根值較優(yōu)化前減小了18.3%，極大地改善了車輛的乘坐舒適性；同時，優(yōu)化后的主動懸架動行程保持在懸架動撓度范圍內(nèi)且均方根值減少了16.1%，從而有效地提高了汽車的乘坐舒適性；同樣地，優(yōu)化后的輪胎動載荷的均方根值減少了33.2%，有效地改善了汽車輪胎的抓地能力，減少了側(cè)向力的產(chǎn)生，從而提高了汽車的行駛穩(wěn)定性.

表4 仿真結(jié)果