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由“非負(fù)整數(shù)”概念爭(zhēng)議想到的

2020-06-03 04:38錢德春
關(guān)鍵詞:負(fù)數(shù)整數(shù)定義

錢德春

摘要

數(shù)學(xué)教師需要通過(guò)研究,甚至爭(zhēng)論、爭(zhēng)辯,了解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵及其發(fā)展,體現(xiàn)研究與求真的學(xué)術(shù)精神,提升自己的專業(yè)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)概念教學(xué)要將學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育的數(shù)學(xué),理解教材編寫意圖,把握學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu),增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的理性精神。

關(guān)鍵詞

非負(fù)整數(shù) 數(shù)學(xué)概念 爭(zhēng)議 學(xué)術(shù)爭(zhēng)鳴 數(shù)學(xué)教學(xué)

一、問(wèn)題的由來(lái)

筆者發(fā)現(xiàn):一些初中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書和測(cè)試卷中頻頻出現(xiàn)“非負(fù)整數(shù)”這個(gè)名詞。如某測(cè)試卷中有這樣的題:

把下列各數(shù):+5,-7.25,-3/4,0,0.32,-3,-12/5填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)。

非負(fù)整數(shù)集合:(

…)。

教材中本無(wú)“非負(fù)整數(shù)”概念,教師為了應(yīng)對(duì)諸如此類教輔練習(xí)和各種測(cè)試,只能在教學(xué)中補(bǔ)充“非負(fù)整數(shù)”這個(gè)概念,但效果適得其反。如不少學(xué)生將除“-3”外的所有數(shù)都填入了集合,這顯然有違試題本意。此時(shí)教師還需要花大力氣糾正:“非負(fù)整數(shù),非負(fù)——整數(shù),即不是負(fù)數(shù)的整數(shù)”,這給教與學(xué)帶來(lái)了額外的負(fù)擔(dān)。前不久,某QQ群針對(duì)“非負(fù)整數(shù)”概念進(jìn)行了激烈的爭(zhēng)論。

本文擬通過(guò)學(xué)生認(rèn)知錯(cuò)誤和教師爭(zhēng)議原因分析,對(duì)“非負(fù)整數(shù)”概念考證,談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)概念研究及教學(xué)的思考。

二、學(xué)生認(rèn)知錯(cuò)誤的原因探討

研究發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)“非負(fù)整數(shù)”理解產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因主要有兩個(gè):一是生活化語(yǔ)言的影響?!胺秦?fù)整數(shù)”的本意是“非負(fù)的整數(shù)”,強(qiáng)調(diào)“非負(fù)”;而生活化語(yǔ)言的側(cè)重點(diǎn)在“非”字上,將“非負(fù)整數(shù)”理解為“非——負(fù)整數(shù)”。二是教學(xué)負(fù)遷移的影響。有理數(shù)中有“非負(fù)數(shù)”概念,“非負(fù)數(shù)”即“不是負(fù)數(shù)的數(shù)”,進(jìn)而機(jī)械類比得出“非負(fù)整數(shù)”即“不是負(fù)整數(shù)的數(shù)”,出現(xiàn)錯(cuò)誤就不足為奇了。

用集合論來(lái)解釋,問(wèn)題就是將“非負(fù)整數(shù)”作為子集時(shí),它的全集是什么。教師心中約定為“整數(shù)集”,故在整數(shù)“+5,0,-3”中去掉負(fù)整數(shù)“-3”;而學(xué)生所理解的全集是“題目所給的所有數(shù)(即有理數(shù))”,故在所給的數(shù)中去掉負(fù)整數(shù)“-3”??梢?jiàn),“‘非負(fù)整數(shù)的全集是什么”是引起歧義的根源。

三、教師對(duì)“非負(fù)整數(shù)”的爭(zhēng)論

不少教師糾結(jié)于“非負(fù)整數(shù)”概念“要不要補(bǔ)充”“如何向?qū)W生解釋清楚”“規(guī)范的試卷會(huì)不會(huì)出現(xiàn)”等問(wèn)題。筆者在某影響力較大的QQ教研群拋出了這樣的話題:請(qǐng)問(wèn)對(duì)“非負(fù)整數(shù)”如何理解?立即引起了眾多數(shù)學(xué)教師、教研人員的關(guān)注和討論。主要觀點(diǎn)如下:

一種觀點(diǎn)認(rèn)為,“非負(fù)整數(shù)”只在教輔中出現(xiàn),教材上沒(méi)有這個(gè)概念,甚至連“非負(fù)”都未提及。一是該名稱容易引起歧義?!胺秦?fù)整數(shù)”表示不是負(fù)整數(shù)?非負(fù)的整數(shù)?不是負(fù)整數(shù)的整數(shù)?“非負(fù)——整數(shù)”還是“非——負(fù)整數(shù)”?是不是靠語(yǔ)氣停頓來(lái)區(qū)分?如此有爭(zhēng)議的問(wèn)題盡可能回避。二是學(xué)生認(rèn)知未到火候。正如對(duì)江蘇2017年高考應(yīng)用題中“沒(méi)入水中”的理解,命題者意圖為“浸入水中”,但不少考生則理解為“沒(méi)有進(jìn)入水中”。三是數(shù)學(xué)概念一般不用否定性語(yǔ)言來(lái)定義。

另一種觀點(diǎn)認(rèn)為,“非負(fù)整數(shù)”沒(méi)有歧義。一些版本教材有“非負(fù)數(shù)”與“非零數(shù)”的說(shuō)法,如湘教版七年級(jí)上冊(cè)第3頁(yè)在第一章“有理數(shù)”的“相反意義的量”中,引入了“正數(shù)和負(fù)數(shù)”之后有這樣一段文字:“我們也把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)”,說(shuō)明引入“非負(fù)整數(shù)”也無(wú)不妥,學(xué)生能夠接受。誠(chéng)然學(xué)生水平有差異,教育水準(zhǔn)也存有區(qū)域差異,要根據(jù)區(qū)域?qū)嶋H辯證地看待各版本教材,以“對(duì)”與“錯(cuò)”來(lái)評(píng)判會(huì)走向極端。

還有一種觀點(diǎn)認(rèn)為,“非負(fù)整數(shù)”屬于約定俗成,如左宗明教授認(rèn)為“這是一個(gè)約定,指正整數(shù)與0”。作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué),從學(xué)術(shù)上說(shuō)有一種局限性。教學(xué)中要淡化形式、淡化概念,許多概念有時(shí)不必嚴(yán)格定義或不做定義。

由此可見(jiàn):教師對(duì)“非負(fù)整數(shù)”名詞的認(rèn)識(shí)并不統(tǒng)一,存在一定的爭(zhēng)議。

四、“非負(fù)整數(shù)”概念考證

目前,各種版本中小學(xué)數(shù)學(xué)教材及中考數(shù)學(xué)試卷均未涉及“非負(fù)整數(shù)”概念。談到“非負(fù)整數(shù)”必然要聯(lián)系“自然數(shù)”。

事實(shí)上,從教學(xué)大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)再到數(shù)學(xué)教材,“自然數(shù)”概念內(nèi)涵發(fā)生了變化。1998年版《中華萬(wàn)有文庫(kù)教育卷·中學(xué)代數(shù)詞典》對(duì)“整數(shù)”的一種分類方式為:

正整數(shù)(自然數(shù))

整數(shù) 零

負(fù)整數(shù)這說(shuō)明自然數(shù)就是正整數(shù),而不包括0。2002年版《數(shù)學(xué)辭?!分械亩x是“非負(fù)整數(shù)( nonnega-tive integer)即‘自然數(shù)”,“自然數(shù)(natural num-ber)亦稱非負(fù)整數(shù)?!本唧w解釋是:“數(shù)系中最基本的一種數(shù)。即0,1,2,3--表示的數(shù),它是從數(shù)數(shù)過(guò)程中產(chǎn)生的?!薄白匀粩?shù)集(set of naturalnumbers) -種特定的集合,指全體自然數(shù)的集合。”“在數(shù)學(xué)理論的發(fā)展中自然數(shù)集的定義并不包括0?!边@種定義與“自然數(shù)”的產(chǎn)生有關(guān)。在遠(yuǎn)古時(shí)代,人類在狩獵、捕魚、采集果實(shí)時(shí)是用藤條打結(jié)計(jì)數(shù)。比如捕獲1個(gè)獵物就打1個(gè)結(jié),捕獲2個(gè)獵物就打2個(gè)結(jié)……這樣逐漸形成的數(shù)就是原始的“自然數(shù)”。顯然,自然數(shù)由若干個(gè)“1”組成。在他們看來(lái),如果沒(méi)有收獲就“不打結(jié)”,也就“沒(méi)有數(shù)”,因此自然數(shù)就不包括“0”。用群里網(wǎng)友的話說(shuō):《數(shù)學(xué)辭?!返亩x說(shuō)明“名可名,非常名”,“非負(fù)整數(shù)”定義有一定的依據(jù),但并非常用的名稱。

1986年版《全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》明確要求“理解自然數(shù)和整數(shù)的意義”。1983年第一版、1987年再版的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第八冊(cè)對(duì)“自然數(shù)”定義如下:“我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候,用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的1,2,3,4,5,6……叫做自然數(shù)”,并補(bǔ)充:“一個(gè)物體也沒(méi)有,就用0表示。0不是自然數(shù)。自然數(shù)和0都是整數(shù)?!苯滩倪€明確:“在講‘?dāng)?shù)的整除時(shí),我們所說(shuō)的數(shù),一般只指自然數(shù),不包括0?!边@里,“非負(fù)整數(shù)”與“自然數(shù)”有本質(zhì)的區(qū)別。

“1993年開(kāi)始的新國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)定義自然數(shù)集Ⅳ含0。這樣做一方面是為了推行國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)制定的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn),以便與之早日相銜接;另一方面,o還是十進(jìn)位數(shù)字{o,1,2,…,9)中最小的數(shù),有了0,減法運(yùn)算a-a仍屬于Ⅳ,其中a∈N”。

2001年制定的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn)稿)在第二學(xué)段(4~6年級(jí))具體目標(biāo)中只有“知道整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)”,沒(méi)有自然數(shù)的概念。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(201 1年版)》除了上述要求外,明確要求“了解自然數(shù)、整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)(素)數(shù)和合數(shù)”?,F(xiàn)行數(shù)學(xué)教材均將“0”看作自然數(shù)。2018年人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)教材明確規(guī)定:“表示物體個(gè)數(shù)的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11……都是自然數(shù),一個(gè)物體也沒(méi)有,用0表示,0也是自然數(shù)。最小的自然數(shù)是0?!边@樣,0和正整數(shù)統(tǒng)稱“自然數(shù)”,“非負(fù)整數(shù)”與“自然數(shù)”指向相同。

然而,無(wú)論是“教學(xué)大綱”、課程標(biāo)準(zhǔn),還是中小學(xué)數(shù)學(xué)教材均沒(méi)有“非負(fù)整數(shù)”的概念。如蘇科版教材七年級(jí)上冊(cè)第2章“有理數(shù)”的正文和教材練習(xí)的“將數(shù)填入相應(yīng)集合”的問(wèn)題,供填寫的集合只有“正數(shù)集合”“負(fù)數(shù)集合”“有理數(shù)集合”“無(wú)理數(shù)集合”等,沒(méi)有出現(xiàn)“非……”的文字表述。至于湘教版教材七年級(jí)上冊(cè)引入“非負(fù)數(shù)”這一概念,其教學(xué)參考書第5頁(yè)明確說(shuō)明這“是為今后學(xué)習(xí)如何去掉∣a∣中的絕對(duì)值做準(zhǔn)備”,并非要求在“非負(fù)數(shù)”的概念上做文章。

由此可見(jiàn),課程標(biāo)準(zhǔn)的制定和數(shù)學(xué)教材的編寫遵循了數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“非負(fù)整數(shù)”的“模糊認(rèn)識(shí)”,則完全是人為改變教學(xué)內(nèi)容、拔高教學(xué)要求所致。

五、幾點(diǎn)思考

思考對(duì)“非負(fù)整數(shù)”的爭(zhēng)議問(wèn)題,本質(zhì)上是數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)、教師素養(yǎng)與數(shù)學(xué)教育之間關(guān)系的問(wèn)題。一些問(wèn)題教師可以爭(zhēng)鳴,但教學(xué)要適度。數(shù)學(xué)教師必須具有一定的研究能力,提升自身專業(yè)素養(yǎng),這是做好數(shù)學(xué)教學(xué)工作的前提;而數(shù)學(xué)教學(xué)要理解教材編寫意圖、把握學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu),將學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育的數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)教學(xué)不能只關(guān)注知識(shí),更要增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的理性精神。

1.學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué):要研究爭(zhēng)鳴,追本溯源。

從學(xué)術(shù)的角度來(lái)看,教師要潛心研究、相互探討甚至爭(zhēng)鳴。數(shù)學(xué)就是伴隨著爭(zhēng)論、爭(zhēng)議而發(fā)展的。如“無(wú)理數(shù)”之所以稱為“無(wú)理數(shù)”,是因?yàn)橄E了魉拱l(fā)現(xiàn)了這樣的數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的比,挑戰(zhàn)了數(shù)學(xué)家們“任意兩個(gè)量都可以公度”的理論,認(rèn)為這是“毫無(wú)道理”的數(shù),達(dá)·芬奇稱之為“無(wú)理的數(shù)”。但事實(shí)上像這樣的數(shù)是看得見(jiàn)、摸得著的數(shù),最終得到了人們的承認(rèn),從而使數(shù)學(xué)度過(guò)了第一次危機(jī),并讓數(shù)學(xué)有了新的發(fā)展。就“自然數(shù)”而言,傳統(tǒng)教學(xué)大綱和教材指正整數(shù)。因此,為了便于表示“正整數(shù)和0”集合而給出“非負(fù)整數(shù)”概念在情理之中。但當(dāng)將0納入了自然數(shù)后,數(shù)的概念得到了發(fā)展,“非負(fù)整數(shù)”概念的存在價(jià)值就不大了。

作為數(shù)學(xué)教師,有必要了解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵及其發(fā)展,研究概念形成與變化的原因及其背后的數(shù)學(xué)文化。有時(shí)可通過(guò)爭(zhēng)論、爭(zhēng)辯和研討,弄清事物的本來(lái)面貌,直達(dá)問(wèn)題的源頭和本質(zhì),真正體現(xiàn)研究與求真的學(xué)術(shù)精神,提升自己的專業(yè)素養(yǎng),讓自己的數(shù)學(xué)理解更加深刻,只有這樣教學(xué)才能高屋建瓴、居高臨下。

2.教育的數(shù)學(xué):要尊重教材,基于認(rèn)知。

教學(xué)要將學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育的數(shù)學(xué),要尊重教材,基于學(xué)生認(rèn)知,在存在爭(zhēng)議的問(wèn)題處理上要慎重。

一方面,數(shù)學(xué)教學(xué)要理解教材、尊重教材。我們提倡“用教材教而不是教教材”,教學(xué)不拘泥于教材,但前提是守住教學(xué)底線,不突破教學(xué)的邊界。另一方面,數(shù)學(xué)教學(xué)要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,把握學(xué)生的認(rèn)知能力,而不是灌輸機(jī)械的知識(shí)、晦澀難懂的概念甚至是已經(jīng)被取代的內(nèi)容,更不能人為拔高教學(xué)要求、設(shè)置理解的障礙。

以“非負(fù)整數(shù)”為例。重新定義“自然數(shù)”之后,“非負(fù)整數(shù)”就是“自然數(shù)”,這也是教材為什么不出現(xiàn)“非負(fù)整數(shù)”概念的原因所在。因此教學(xué)中不宜隨意補(bǔ)充,在數(shù)學(xué)命題中盡可能回避。還有些數(shù)學(xué)概念在不同階段有不同的表述與定義方式。如函數(shù)概念在初中階段是基于運(yùn)動(dòng)變化的描述性定義,側(cè)重變化與變量,旨在以形象、直觀的方式讓初中學(xué)生理解;而高中階段則是基于映射與對(duì)應(yīng)的定義,側(cè)重對(duì)應(yīng)和符號(hào)化,更加抽象、嚴(yán)謹(jǐn),這適應(yīng)了高中學(xué)生更為抽象的思維能力。教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生認(rèn)知,把握好教學(xué)要求,選擇適合的教學(xué)方法,讓學(xué)生認(rèn)知從“不嚴(yán)格”到“嚴(yán)格”,從“認(rèn)識(shí)”到“理解”,進(jìn)而達(dá)到深度理解。

3.文化的數(shù)學(xué):要激發(fā)情感,體現(xiàn)價(jià)值。

現(xiàn)實(shí)中,許多學(xué)生學(xué)習(xí)了十幾年的數(shù)學(xué),刷題之后,剩下的只有對(duì)數(shù)學(xué)的厭倦。他們感覺(jué)到數(shù)學(xué)只是枯燥的定義、法則、公式、定理的堆砌。事實(shí)上,數(shù)學(xué)的價(jià)值不只是知識(shí),還有文化和精神,漫長(zhǎng)的數(shù)學(xué)發(fā)展史及這個(gè)過(guò)程中的思想方法和精神就是數(shù)學(xué)的文化。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)背后的文化。

特級(jí)教師孫維剛在聽(tīng)“有理數(shù)”一節(jié)課時(shí),有學(xué)生問(wèn):“‘有理是有道理的意思,我不明白,整數(shù)和分?jǐn)?shù)這兩種數(shù)有什么道理呢?”老師回答:“這是數(shù)學(xué)上的規(guī)定,沒(méi)有為什么?!比绱?,學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)除了機(jī)械記憶還有何興趣可言?孫維剛說(shuō):“科學(xué)上的任何規(guī)定都有‘為什么,數(shù)學(xué)尤其如此,一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)為什么這么寫都有它的理由。世界上沒(méi)有‘沒(méi)有為什么的事。”“將整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”是翻譯上的一個(gè)差錯(cuò)。日本人將“rational number”錯(cuò)譯為“有理數(shù)”,我們又進(jìn)行了簡(jiǎn)單移植。“rational number”本意是指“可以表示為兩個(gè)整數(shù)比的數(shù)”。分?jǐn)?shù)是整數(shù)之比,如4/7是4:7,整數(shù)3是3:1,所以整數(shù)和分?jǐn)?shù)總稱為“rational mumber”(有理數(shù))。

如“數(shù)”的教學(xué),可引導(dǎo)學(xué)生了解各種數(shù)如何產(chǎn)生,為何這樣定義,背后有何故事,有些數(shù)的概念為何變化,有理數(shù)為何稱為“有理數(shù)”,“無(wú)理數(shù)”真的“沒(méi)有道理”嗎,不同的數(shù)系之間有何關(guān)系,數(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有何影響等。通過(guò)數(shù)學(xué)文化的熏陶,學(xué)生數(shù)學(xué)的情感必然會(huì)得到激發(fā),對(duì)數(shù)學(xué)探究的興趣自然會(huì)增強(qiáng),對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識(shí)、對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟能力也會(huì)大大增強(qiáng),只有這樣,才能真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)在教育中應(yīng)有的價(jià)值。

(作者單位:江蘇省泰州市教育局教研室)

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