李祖　周佳泉　宋書璐

編前語：教材是教學內(nèi)容的文本載體，讀懂教材是實施有效教學的前提。昆明市盤龍區(qū)周佳泉小學數(shù)學名師工作室歷時三年，對《深度研讀小學數(shù)學教材》課題開展深入研究，提煉出“還原數(shù)學知識的本質原理”“再現(xiàn)數(shù)學知識的形成過程”“豐富數(shù)學知識的表現(xiàn)形式”“探尋數(shù)學知識的實用價值”等四個深度研讀小學數(shù)學教材的策略?，F(xiàn)擷取該工作室在研究過程中的部分優(yōu)秀案例呈現(xiàn)給大家，希望在借鑒交流中引發(fā)大家對深度研讀教材更加深入的思考。

【導讀】

“植樹問題”是人教版五年級數(shù)學上冊第七單元數(shù)學廣角的教學內(nèi)容。數(shù)學廣角的教學目標之一，就是要讓學生感悟重要的思想方法。本課所蘊含的數(shù)學思想是在“一一對應”的基礎上，根據(jù)實際情況進行變化。數(shù)學模型雖然簡單，表現(xiàn)形式卻千變?nèi)f化。如何幫助學生在變化中找到不變的數(shù)學本質原理，是這節(jié)課需要思考的核心問題。

來自昆明市盤龍區(qū)金康園小學的李祖飛老師，巧妙創(chuàng)設活動情境，把“植樹問題”的三種情況全部蘊含在一個問題情境中，既提高了課堂教學的效率，也讓學生對植樹問題的本質理解更加深入。

【案例】

教學實錄：

一、創(chuàng)設植樹情境，初步理解題意

（PPT出示問題）：學校門口有一條60米長的小路，要在小路一邊每隔5米栽一棵樹，一共要栽多少棵？

師：會解決嗎？怎樣解答？

生：60÷5=12（棵）。

……

師：如果按照距離把植樹任務平均分給三個班，每班栽幾棵？

……

二、模擬植樹操作，呈現(xiàn)不同情況

（用磁性黑板貼代表小路，并畫上線段圖，用磁釘?shù)却硇溥M行模擬植樹）

師：下面我們動手“植一植”吧。（請三名學生模擬三個班的“植樹”情況）

……

（老師按3個班的植樹距離，分別剪開，展示每班的勞動成果）

三、暴露認知沖突，初步建立模型

師：仔細觀察上圖，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：每個班植的棵數(shù)都不一樣！

生2：一班植了5棵，二班植了4棵，三班植了3棵，依次少了1棵。

生3：雖然距離相等，但植的棵數(shù)不同。

師追問：明明我們計算的是平均每班植4棵，為什么會不一樣呢？

生：二班左端沒有栽，比一班就少了1棵，三班兩端都沒有栽，所以又比二班少1棵。

師：那么在實際的植樹過程中，會出現(xiàn)幾種不同的情況呢？

生：兩端都栽;一端栽，一端不栽;兩端都不栽。

師小結：原來是由于植樹情況不同，導致每班植樹棵數(shù)不同。

師：這條小路確實共種了12棵樹，每個班植樹的數(shù)量卻不同，那到底我們平均分的是什么？

生：是樹與樹之間的距離。

師肯定：對，我們并不是直接算出樹的棵數(shù)，而是把小路按距離進行了平均分。

師講解：樹與樹的距離，我們一般稱為“間隔”，也是兩個點間的一段，我們也可以簡單地叫它“空”或“段”。

師：20÷5=4，到底求的是什么？

生：求的是每一“段”的長度。

根據(jù)學生的討論交流將單位名稱“棵”改為“段”。

四、引導對比強化，抽象植樹模型

師：哪一種植樹情況最費樹苗？為什么？哪一種植樹最省樹苗？為什么？

……

師再問：根據(jù)不同的植樹情況，“點”和“段”存在怎樣的對應關系？

生：兩端都栽，棵數(shù)比段數(shù)多1;兩端都不栽的話，棵數(shù)就比段數(shù)少1;一端栽，一端不栽，棵數(shù)和段數(shù)相等。

教師根據(jù)學生回答補充完成板書。

師：咱們再回到開頭例題，我們怎么就能直接正確計算出一共植12棵樹呢？

生1：我們算出的是有12“段”。

生2：例題是一端栽一端不栽的情況，段數(shù)和棵數(shù)正好相等。

師小結：思路很清晰。我們用小路的長度除以樹與樹的距離也就是間隔，實際求出的是有幾個這樣的間隔或者說有幾“段”，棵數(shù)和段數(shù)根據(jù)不同的植樹情況有特定的對應關系，所以可以按段數(shù)求出棵數(shù)。

五、嘗試應用模型，解決實際問題

……

1.同學們要在一條500米的小路兩旁植樹，每隔10米植一棵，兩端不植，一共需要多少棵樹苗？

2.一根木料鋸成2米長的小段，一共花了12分鐘，已知每鋸下一段需要3分鐘，這根木料長多少米？

……

師小結：其實“植樹”問題只是這一類問題的代表，類似的還有爬樓梯問題、排隊問題、公交車站臺問題等，都屬于上面三種情況，只要大家掌握其中的規(guī)律，就能根據(jù)“點”“段”的關系正確解答。

……

板書設計：

【評析】

“植樹問題”看似簡單，但要讓學生深入理解問題的本質卻實屬不易。本案例中，李祖飛老師通過巧妙創(chuàng)設問題情境，把“植樹問題”的三種類型同時教學，讓學生在豐富的體驗活動中逐步達到對“植樹問題”本質的理解。具體體現(xiàn)在：

1.巧妙創(chuàng)設情境，回歸問題本質。教材中的“植樹問題”分兩個例題進行編排，例1是教學“兩端都栽”的情況，例2教學“兩端都不栽”和“一端栽，一端不栽”兩種情況。如果把三種情況結合起來教學，最大的優(yōu)點是便于對比，突出矛盾，可以更好地溝通聯(lián)系，更有利于學生植樹模型的建立。在“平均分”的基礎上，看似三個班的植樹任務相同，但通過實際操作卻發(fā)現(xiàn)結果完全出乎預料！在對比中才發(fā)現(xiàn)：原來植樹問題研究的不是數(shù)量，而是兩種量之間的關系！

2.在“變”中找“不變”，構建數(shù)學模型。三種植樹方法看似變化多端，但在“變”中卻有“不變”的地方。它們都是基于把一段距離平均分成若干段以后，在段數(shù)的基礎上進行變化的。老師再用通俗的語言引導學生理解：兩端都栽的時候樹用得最多，如果把樹看成點的話，也就是“點”比“段”多1;兩端都不栽的時候，最節(jié)約樹，“點”比“段”少1;一端栽、一端不栽的時候，情況居中，所以“點”與“段”相等。于是，在學生頭腦中就勾畫出了一個思維輪廓（如左圖）：

3.回歸生活實際，加深理解程度?；貧w生活、學以致用，是數(shù)學學習的重要目標之一?！爸矘鋯栴}”在實際生活中有很多表現(xiàn)形式，如，敲鐘問題、公交站臺問題、鋸木料問題……它們與“植樹問題”如同水與冰，外形各異，本質卻相同。在這些問題中，哪些數(shù)量相當于“段”？哪些數(shù)量相當于“點”？弄清楚了各種數(shù)量所扮演的角色，再按照學生自己歸納的數(shù)學模型加以思考，很多看似復雜的問題就變得非常簡單了?！白寣W生在新的情境中對所學知識進行辨認、再現(xiàn)和應用”的新課標理念，就是這樣具體地扎根于我們的課堂實際教學中。

數(shù)學其實既簡約又豐富。數(shù)學模型的建構就是要高度抽象、簡潔，而數(shù)學模型的表現(xiàn)與應用形式則應盡可能地豐富。這樣，數(shù)學教學就能真正做到源于生活而又高于生活，學生在豐富的體驗活動中，峰回路轉之后復歸于平淡。