■謝蓓蓓

【教學(xué)目標(biāo)及重難點】

1.構(gòu)建本章的知識結(jié)構(gòu)。

2.經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過程，加深理解相關(guān)數(shù)學(xué)知識。

3.通過思考、交流等活動，體會類比、轉(zhuǎn)化、由特殊到一般等數(shù)學(xué)思維方式。

【教學(xué)過程】

一、環(huán)節(jié)一:創(chuàng)設(shè)問題情境

問題1：將一根100cm的繩子剪成兩段，兩段的長度分別是多少？

師：同學(xué)們，老師手中有一根長為100cm的繩子。如果我將它剪成兩段，你們知道這兩段分別是多長嗎？

生：不知道。

師：為什么？

生：情況太多了，有可能是50cm和50cm，也有可能是40cm和60cm……

生：不一定是整數(shù)，也有可能是10.5cm和89.5cm。

師：嗯，確實情況比較多。大家還有什么想法？

生：我覺得這其實就是一個二元一次方程式。設(shè)兩段繩子的長度分別是xcm和ycm，就可以得到x+y=100，而這個方程的解有無數(shù)組，所以情況也有無數(shù)種。

師：眼光獨到！這位同學(xué)將現(xiàn)實生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的方程模型，這是一個數(shù)學(xué)建模的過程。而二元一次方程的解有無數(shù)個，也正好解釋了繩子兩段的長度有無數(shù)種可能。

問題2：怎樣使兩段繩子的長度只有一種可能？

師：大家能不能想個辦法，使兩段繩子的長度只有一種可能？

生：添加一個條件，就可以再得到一個二元一次方程，將其與前面的方程構(gòu)成二元一次方程組。二元一次方程組的解是唯一的。

師：非常好！下面，就請各位同學(xué)自己添加一個條件，解決這個問題。

（學(xué)生在學(xué)習(xí)單上演算3分鐘后，陸續(xù)舉手。）

生：我添加的條件是兩段繩子的長度相同，也就是x=y，算出兩段繩子的長度都是50cm。

生：我添加的條件是一段繩子比另一段長10cm，列出了方程組然后算出一段繩子的長度為55cm，另一段繩子的長度為45cm。

生：我添加的條件是一段繩子的長度是另一段的4倍，列出了方程組然后算出一段繩子的長度為80cm，另一段繩子的長度為20cm。

二、環(huán)節(jié)二:再解方程組

問題3：如何解方程組？

師：大家剛剛是用什么方法來解方程組的呢？

生：加減法。

生：代入法。

師：這都是我們常用的方法。解二元一次方程組的基本思路是什么？

生（齊）：消元。

師：消元的目的是什么？

生：使其轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

師：所以說，一元一次方程才是我們解題的根本。

（一名學(xué)生板演，其他學(xué)生在學(xué)習(xí)單上書寫。板演的學(xué)生出現(xiàn)錯誤，另一名學(xué)生指出，并在教師允許下，上臺幫助同學(xué)修改錯誤。）

師：剛剛他使用的是什么方法？

生（齊）：加減法。

師：還有其他方法嗎？

生（齊）：代入法。

師：你們?yōu)槭裁床挥么敕ǎ?/p>

生：x和y的系數(shù)都不是1，變形時會出現(xiàn)分數(shù)形式，用代入法比較麻煩。

師：分析得不錯。請大家再仔細觀察一下x和y的系數(shù)，有沒有其他發(fā)現(xiàn)？

生：第2個方程中的x的系數(shù)是第1個方程中的x的系數(shù)的2倍，我們可以將3x看作一個整體，由方程1得3x=8+2y，代入方程2。

師：這位同學(xué)運用了整體思想，非常棒！我們知道，解二元一次方程組的基本思路是消元，只要我們能想出辦法，使二元變成一元，問題就可以迎刃而解。大家再想一想，還有沒有其他方法呢？

（學(xué)生演算后，進行小組展示。略。）

師：剛剛的解法都很精彩，同學(xué)們利用“構(gòu)造”和“換元”等方法實現(xiàn)了“消元”。所以說，解題無定法，只要能將二元轉(zhuǎn)化為一元就可以了。

三、環(huán)節(jié)三:活動探究

問題4：針對這根100cm的繩子，大家還有哪些想法？

（學(xué)生獨立思考，組內(nèi)交流；小組派代表進行匯報。）

生：我們小組想要把這根繩子剪成三段，設(shè)最長的那段為xcm，最短的那段為ycm，剩下的那段為zcm，這樣就可以得到三元一次方程x+y+z=100。

師：由二元到三元，不錯！你們想怎么研究三元一次方程呢？

生：我們參照了二元一次方程的解題過程。因為三元一次方程也有無數(shù)個解，所以我們添加了兩個條件：第一個條件是最長的那段繩子是其余兩段之和，第二個條件是最長的繩子比最短的繩子長30cm，這樣就可以得到三元一次方程組

師：根據(jù)實際問題，列出三元一次方程，再添加條件，列出三元一次方程組，不錯！下面呢？

生：我們可以解三元一次方程組。先將第二個式子分別代入其他兩個式子，消去x，然后解出y和z，最后再求x。我們算出這個方程組的解為

師：厲害了！你們是怎么想到的？

生：這和解二元一次方程組是一樣的，用的還是代入法和加減法，把三元變成二元就行了。

師：非常精彩！說到底還是要用“消元”的方法，將三元轉(zhuǎn)化為二元，二元轉(zhuǎn)化為一元。如果是四元一次方程組，你們能不能解？

生：可以！把四元轉(zhuǎn)化為三元，三元轉(zhuǎn)化為二元，二元轉(zhuǎn)化為一元！

師：非常好！哪怕是多元方程，我們也可以采用轉(zhuǎn)化的方法來解決。

師：大家還有沒有其他的思路？

生：我們小組想將這根繩子圍成一個長方形。

師：不錯的想法。然后怎么研究呢？

生：可以圍成的長方形有無數(shù)個，周長都是100，面積卻不相同。我們在思考，怎么才能圍成最大面積的長方形呢？

師：這個問題問得好！由數(shù)想到形，由確定的數(shù)值想到不確定的數(shù)值，再想到最值，你們組很棒！你們找到最大面積的長方形了嗎？

生：我們感覺圍成正方形的時候，面積最大，然后也舉了一些例子，發(fā)現(xiàn)確實如此。

師：先進行猜想，然后舉些特例，這都是研究數(shù)學(xué)問題的常用方法。不過要驗證這個猜想，我們必須進行證明。你們組可以嗎？

生：我們暫時還沒想到辦法。

師：那么，其他組的同學(xué)能解決這個問題嗎？

生：設(shè)長方形的長和寬分別是xcm和ycm，則x+y=50，面積可以表示為xy，也就是x（50-x）=-x2+50x，可以將-x2+50x進行配方，變成-（x-25）2+625。當(dāng)x=25時，最大面積是625，而x等于25，y也等于25，證明此時的圖形正好是個正方形。

師：你太厲害了！說說你是怎么想的？

生：設(shè)出未知數(shù)，表示出長方形的面積，這樣就把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

師：對，將實際問題通過設(shè)未知數(shù)的方式進行建模。這是方程模型嗎？

生（齊）：不是。

師：這其實是我們后面要學(xué)習(xí)的函數(shù)模型。

生：上一章我們學(xué)習(xí)了完全平方公式，此時就可以利用配方的辦法求出最大值了。

師：非常好！兩位同學(xué)帶領(lǐng)我們經(jīng)歷了從特殊到一般，從猜想到證明，從方程到函數(shù)的學(xué)習(xí)過程。

四、環(huán)節(jié)四:總結(jié)與提升

問題5：本節(jié)課的收獲是什么？

師：學(xué)習(xí)了本節(jié)課之后，大家有什么新的感悟嗎？

生：解二元一次方程組還可以采用構(gòu)造和換元等方法，目的是消元，實質(zhì)是轉(zhuǎn)化。掌握了這些方法后，我還能解三元甚至多元一次方程組。

生：我們可以將實際問題轉(zhuǎn)化為方程模型或者函數(shù)模型來解決。

生：我覺得以后再學(xué)習(xí)新的方程時，都可以按照“實際問題—建立方程模型—解方程—回到實際問題”的步驟去研究。

師：這個想法不錯，我們可以采取一以貫之的數(shù)學(xué)思維去解決新問題！

【教學(xué)反思】

在數(shù)學(xué)課堂上，教師創(chuàng)設(shè)一個一以貫之的問題情境，可以讓學(xué)生不斷進行深入、連貫的思考，感受數(shù)學(xué)思維，掌握數(shù)學(xué)方法。本節(jié)課是“二元一次方程組”的復(fù)習(xí)課，筆者改變以往做題講題的教學(xué)方式，創(chuàng)設(shè)了“一根繩子”的問題情境，使之成為不同知識點之間的紐帶，在不同的教學(xué)內(nèi)容中發(fā)揮價值。

在課堂教學(xué)中，教師的問題直接決定了學(xué)生的思維的方向和深度。問題1、2、3，不僅能夠讓學(xué)生掌握“實際問題—方程問題—解方程—實際問題”這一知識研究的外在路徑，更能讓他們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在路徑。在此基礎(chǔ)上，教師提出問題4，可以促進學(xué)生的思維繼續(xù)生長。有的學(xué)生借助二元一次方程的經(jīng)驗，解決了三元一次方程等方程類問題；有的學(xué)生由數(shù)想到形，提出問題后，建立了新的數(shù)學(xué)模型。整節(jié)課通過問題驅(qū)動，使學(xué)生在思考和探究的過程中，優(yōu)化和完善了數(shù)學(xué)思維。