■夏乾冬

【教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)】

1.了解直線與圓的三種位置關(guān)系；

2.學(xué)會通過圓心到直線的距離d與半徑r之間的數(shù)量關(guān)系判定直線與圓的位置關(guān)系；

3.用運(yùn)動的觀點(diǎn)研究問題，體會數(shù)形結(jié)合的思維方法。

【教學(xué)過程】

一、環(huán)節(jié)一:回顧舊知識點(diǎn)，為類比探究做鋪墊

問題1：點(diǎn)與圓有幾種位置關(guān)系？

師：前面我們學(xué)過點(diǎn)與圓的關(guān)系，請問點(diǎn)與圓有幾種位置關(guān)系？

生：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外。

師：每種位置關(guān)系對應(yīng)怎樣的數(shù)量關(guān)系？

生：點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，d＜r；點(diǎn)在圓上時(shí)，d=r；點(diǎn)在圓外時(shí)，d＞r。

師：這里的d與r指什么？

生：d是點(diǎn)到圓心的距離，r是圓的半徑。

師：很好，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，我們可以得到d與r的關(guān)系。那么，由d與r能否推出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系呢？

生：可以，因?yàn)閳A的內(nèi)部是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合，所以當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；圓上是到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)的集合，所以當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；圓外是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合，所以當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外。

師：非常好！這樣一來，我們就建立了形與數(shù)的關(guān)系。

二、環(huán)節(jié)二:建構(gòu)問題體系，為類比探究搭梯子

問題2：直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？請嘗試畫出示意圖。

（學(xué)生在練習(xí)紙上畫圖。兩分鐘后，教師請幾名學(xué)生到黑板上先后畫出幾幅直線與圓的關(guān)系示意圖。）

師：大家能將這幾種位置關(guān)系進(jìn)行分類，并說說分類的依據(jù)嗎？

生：我認(rèn)為可以分為三類，即直線與圓沒有交點(diǎn)，直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)。

師：我們給這三種關(guān)系起個(gè)名字——直線與圓沒有交點(diǎn)，叫作直線與圓相離；直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，叫作直線與圓相切；直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，叫作直線與圓相交。

問題3：這三種位置關(guān)系中，有沒有對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系呢？

師：大家能否類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，來描述其對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系呢？

（學(xué)生思考，并在學(xué)習(xí)單上推演。）

生：我覺得跟圓心與直線的距離存在數(shù)量關(guān)系。如果把圓心與直線的距離看成d，圓的半徑看成r，那么，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，d＜r；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，d=r；當(dāng)直線與圓相離時(shí)，d＞r。

師：你是如何發(fā)現(xiàn)的？

生：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即點(diǎn)與圓心之間的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系；直線與圓的位置關(guān)系，即直線與圓心之間的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系。通過類比，我們就得到了相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。

師：太棒了！

（教師在圖上演示，過O點(diǎn)做OD⊥l，找到了d，然后對比此時(shí)的d與r的關(guān)系，在板書2的基礎(chǔ)上形成板書3。）

問題4：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系同直線與圓的位置關(guān)系有何區(qū)別及聯(lián)系呢？

（教師投影問題4，請學(xué)生思考。學(xué)生小組交流后，派代表進(jìn)行展示。）

生：在點(diǎn)與圓的位置關(guān)系中，d是指點(diǎn)與圓心之間的距離，是線段；在直線與圓的位置關(guān)系中，d是指直線與圓心之間的距離，是垂線段。

生：直線l與⊙O的三種位置關(guān)系也可以看成點(diǎn)D（垂足）與⊙O的三種位置關(guān)系。如果點(diǎn)D在圓內(nèi)，那么直線與圓相交；如果點(diǎn)D在圓上，那么直線與圓相切；如果點(diǎn)D在圓外，那么直線與圓相離。

師：很好！還有嗎？

（學(xué)生一片沉默。）

師：如果把直線看成是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的呢？

（有的學(xué)生頓悟，發(fā)出“哦”的聲音。）

生：直線與圓相交時(shí)，直線上的點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上和圓外；直線與圓相切時(shí)，直線上的點(diǎn)在圓上和圓外，不在圓內(nèi)；直線與圓相離時(shí)，直線上的所有點(diǎn)都在圓外。

師：太厲害了！這位同學(xué)說出了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系同直線與圓的位置關(guān)系的內(nèi)在區(qū)別和聯(lián)系。

（此時(shí)，學(xué)生自發(fā)地響起掌聲。）

問題5：在這三種位置關(guān)系中，你認(rèn)為哪一種最特殊？

生：我認(rèn)為直線與圓相切時(shí)的位置關(guān)系最特殊。

師：為什么？

生：因?yàn)榇藭r(shí)直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)，而且圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系是d=r。

師：是的，此時(shí)，這條直線叫作圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)。說到這里，哪位同學(xué)能推測一下，后面我們會學(xué)習(xí)什么？

生：既然切線比較特殊，我覺得后面應(yīng)該會學(xué)習(xí)切線的性質(zhì)。

師：非常好！后面我們還會研究切線的性質(zhì)和判定。那么，今天這節(jié)課我們就上到這里，下課！

【教學(xué)反思】

在本節(jié)課上，基于點(diǎn)與圓的位置關(guān)系這一“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，筆者首先創(chuàng)設(shè)情境，提出“點(diǎn)與圓有幾種位置關(guān)系”的問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧，并通過追問“每種位置關(guān)系對應(yīng)怎樣的數(shù)量關(guān)系”，為類比探究直線與圓的關(guān)系做好鋪墊。接著，筆者繼續(xù)提出問題，引導(dǎo)學(xué)生通過類比，探究直線與圓的位置關(guān)系，及其對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。最后，筆者通過追問，使學(xué)生對直線與圓最特殊的位置關(guān)系產(chǎn)生關(guān)注，并拋出切線、切點(diǎn)的概念，為下節(jié)課的內(nèi)容做鋪墊。

除了進(jìn)行問題引導(dǎo)教學(xué)外，筆者在本節(jié)課中還特意通過“雕塑式板書”，來記錄學(xué)生思維的生長過程。所謂“雕塑式板書”，就是教師根據(jù)教學(xué)活動的進(jìn)程，有意識地選擇對學(xué)生思維有幫助的精髓內(nèi)容進(jìn)行板書。在一開始，板書可能只表達(dá)了一些零散的信息，但是，隨著教學(xué)內(nèi)容的推進(jìn)和數(shù)學(xué)思維的深入，板書最終會呈現(xiàn)出一個(gè)完整的知識結(jié)構(gòu)?！暗袼苁桨鍟钡臅r(shí)間節(jié)點(diǎn)能夠與學(xué)生思維成長的過程同步，這是PPT所無法實(shí)現(xiàn)的。

總之，一堂數(shù)學(xué)課的結(jié)束，并不意味著教學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)思維的戛然而止。數(shù)學(xué)課應(yīng)當(dāng)“收”中有“放”，通過及時(shí)的回顧總結(jié)和類比探究，使前后知識形成一個(gè)完整的體系。正如章建躍老師所言：“研究的對象在變，研究套路不變，思想方法不變，這就是數(shù)學(xué)基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)的力量。”