陳藝平

(福建省龍海第一中學(xué)龍翔路校區(qū) 363100)

一、原題再現(xiàn)

(1)過橢圓C的右焦點(diǎn)作一條垂直于x軸的垂軸弦MN,求MN的長度.

(2)MN是橢圓C的短軸，若點(diǎn)P是橢圓C上不與M,N重合的任意一點(diǎn)，直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E(xE,0)和點(diǎn)F(xF,0),求xE·xF的值.

二、由特殊到一般

例題1第(3)問可改編成：

解由已知得

三、把結(jié)論推廣到其它圓錐曲線

解如圖2所示,由探究1可得

結(jié)論2 已知圓C:x2+y2=a2(a>0),M(x1,y1),N(x1,-y1)為圓上關(guān)于x軸對稱兩點(diǎn)，P(x0,y0)為圓上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E(xE,0)和點(diǎn)F(xF,0),則xE·xF=a2為定值,即xE·xF恒等于半徑的平方.

解如圖3所示,由探究1可得

探究xE·xF是定值嗎？若xE·xF不是定值,xE+xF是定值嗎?

解如圖4所示,容易證xE·xF不是定值,過程略.

結(jié)論4 拋物線C:y2=2px(p>0),M(x1,y1),N(x1,-y1)為拋物線上關(guān)于x軸對稱兩點(diǎn)，P(x0,y0)為拋物線上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E(xE,0)和點(diǎn)F(xF,0),則xE+xF=0為定值,即xE+xF恒等于0.

四、追根溯源、深入挖掘

通過對本題的探究,啟發(fā)我們進(jìn)一步思考,圓錐曲線的橢圓、雙曲線是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形,拋物線是軸對稱圖形,圓錐曲線上兩個關(guān)于軸或中心對稱的動點(diǎn)與曲線上任意一點(diǎn)構(gòu)成的兩直線斜率之積是否也為定值.如果是定值,這個定值是多少？

試題分析(1)由已知可設(shè)M(x1,y1),N(-xx,-y1),P(x0,y0),

試題分析(1)由已知可設(shè)橢圓長軸兩端點(diǎn)分別為A1(-a,0),A2(a,0).

P1P2為垂直于x軸的動弦,且P1(x0,y0),P2(x0,-y0),則

五、試題鏈接、命題呈現(xiàn)

解析本題顯然是例題2的結(jié)論的一個應(yīng)用,雖然沒有要求學(xué)生記住這些二級結(jié)論,但同學(xué)們?nèi)粽莆樟松鲜鐾评磉^程,就可以通過一般到特殊的解法很自然地得到答案.對于思維好的學(xué)生也可以通過特殊值、特殊點(diǎn)代入的方法得到正確答案.