金煒楓

摘要：《土木工程數(shù)值分析方法》是本校土木工程專業(yè)的一門選修課程，主要涉及有限元離散方程的推導(dǎo)和矩陣編程運(yùn)算，本文以桿和彈簧的混合結(jié)構(gòu)計(jì)算為例，介紹課堂上學(xué)生參與進(jìn)行桿和彈簧混合結(jié)構(gòu)的編程計(jì)算，從而理解有限元計(jì)算的實(shí)現(xiàn)過程。

關(guān)鍵詞：數(shù)值分析;參與式

《土木工程數(shù)值分析方法》是本校土木工程專業(yè)的一門選修課程，目的是使學(xué)生理解有限元離散方程的理論基礎(chǔ)、單元?jiǎng)偠染仃囆纬蛇^程、總體剛度矩陣的疊加過程和邊界條件處理，同時(shí)可以編寫有限元程序。參與式教學(xué)在課堂上具有互動(dòng)性的特點(diǎn)，可以啟發(fā)學(xué)生參與理論的推導(dǎo)和編程實(shí)踐，增加學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

參與式教學(xué)法

參與式教學(xué)方法依賴于教師和學(xué)生的互動(dòng)，學(xué)生在互動(dòng)中學(xué)習(xí)并掌握有限元法的基本理論和有限元方程形成過程。通過實(shí)例，展現(xiàn)有限元數(shù)值分析方法在土木工程中的應(yīng)用：例如在二維平面上，對(duì)于桿和彈簧的混合結(jié)構(gòu)，使學(xué)生參與有限元理論推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算的關(guān)鍵步驟，特別是桿和彈簧單元?jiǎng)偠染仃嚨睦碚撏茖?dǎo)過程、一維桿在二維坐標(biāo)系下的變換過程、單元?jiǎng)偠染仃嚺c總體剛度矩陣的關(guān)系、邊界條件的處理等。在學(xué)生參與過程中，教師及時(shí)回答學(xué)生對(duì)于理論推導(dǎo)中的困惑，從而使學(xué)生深刻理解有限元理論及其實(shí)現(xiàn)過程。最終學(xué)生編寫完整的程序分析載荷作用下桿和彈簧的受力及位移，這時(shí)教師還需幫助學(xué)生核查程序中的錯(cuò)誤之處，保證程序通過。為了增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用有限元數(shù)值分析方法解決實(shí)際工程問題的能力，通過參與式教學(xué)，讓學(xué)生基于自己編寫的有限元程序，分析桿和彈簧混合結(jié)構(gòu)中的最大位移節(jié)點(diǎn)，且由計(jì)算得到的節(jié)點(diǎn)位移，繪制變形前后的結(jié)構(gòu)形式。針對(duì)實(shí)際工程中材料強(qiáng)度的選擇問題，由節(jié)點(diǎn)力計(jì)算每個(gè)桿單元上的應(yīng)力，即可由此應(yīng)力最大值分析材料強(qiáng)度的下限，也可以由不同桿件上的不同應(yīng)力確定每個(gè)桿件可以選擇的材料強(qiáng)度。另外針對(duì)實(shí)際工程中變形控制問題，不斷調(diào)整桿件的模量和彈簧剛度，數(shù)值計(jì)算得到不同的位移最大值，這樣基于模擬結(jié)果可以在變形控制約束下選取材料力學(xué)參數(shù)。

參與式教學(xué)實(shí)施過程

如圖中桿和彈簧混合結(jié)構(gòu)為例，說明參與式教學(xué)實(shí)施過程。在理論推導(dǎo)上，首先引導(dǎo)學(xué)生建立一維桿件和彈簧受力的平衡方程，由節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移得到矩陣方程，然后由矩陣形式得到一維桿件和彈簧的單元?jiǎng)偠染仃?，讓學(xué)生評(píng)述一維桿和彈簧單元?jiǎng)偠染仃嚨漠愅c(diǎn)。之后引入坐標(biāo)變換的概念，引導(dǎo)學(xué)生由坐標(biāo)變換推導(dǎo)一維桿和彈簧在二維空間中的單元?jiǎng)偠染仃嚒＝酉聛?lái)對(duì)于桿和彈簧混合結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生組裝整體剛度矩陣，寫出混合結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的形式。最后對(duì)于邊界條件，引導(dǎo)學(xué)生處理零位移邊界條件，并評(píng)述零位移邊界條件對(duì)總體剛度矩陣的影響，觀察剛度矩陣進(jìn)行零邊界條件處理后是否變?yōu)闈M秩矩陣，然后通過對(duì)零邊界條件處理后的剛度矩陣求逆可以得到未知的節(jié)點(diǎn)位移，由總體節(jié)點(diǎn)位移向量和總體剛度矩陣可以得到所有節(jié)點(diǎn)受到的節(jié)點(diǎn)力。

為了加深學(xué)生對(duì)有限元理論的理解和編程實(shí)踐的鍛煉，可以讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)上編寫一維桿和彈簧的單元?jiǎng)偠染仃嚕⑤斎刖唧w材料參數(shù)從而得到單元?jiǎng)偠染仃嚨木唧w數(shù)值形式，在這個(gè)過程中保持與學(xué)生的互動(dòng)，學(xué)生對(duì)單元?jiǎng)偠染仃嚦绦蛴幸蓡柣虺绦驁?bào)錯(cuò)都應(yīng)及時(shí)解決。在上述程序基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生編寫坐標(biāo)變換程序從而得到二維空間中桿和彈簧的單元?jiǎng)偠染仃?，然后編寫總體剛度矩陣程序。對(duì)于總體剛度矩陣程序，應(yīng)讓學(xué)生用程序求矩陣的秩，觀察初始剛度矩陣是否為滿秩矩陣，討論非滿秩矩陣、矩陣階數(shù)和二維平面自由度的關(guān)系;對(duì)于總體剛度矩陣進(jìn)行零位移邊界條件處理，編寫相應(yīng)程序后，觀察縮減后的總體剛度矩陣是否為滿秩矩陣及其對(duì)矩陣求逆的影響。然后由縮減的總體剛度矩陣的逆矩陣和節(jié)點(diǎn)力向量，求解得到未知的節(jié)點(diǎn)位移，最后由未縮減的總體剛度矩陣和總體節(jié)點(diǎn)位移列向量得到所有節(jié)點(diǎn)力，在這個(gè)過程中學(xué)生有任何程序錯(cuò)誤而得不到未知的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力，都應(yīng)協(xié)助學(xué)生找出程序中的錯(cuò)誤，使程序運(yùn)行成功，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。

結(jié)束語(yǔ)

在《土木工程數(shù)值分析方法》課程中講授有限元理論，可以通過參與式教學(xué)，讓學(xué)生在互動(dòng)中提高有限元理論的學(xué)習(xí)效率，在有限元矩陣的編程實(shí)踐中扎實(shí)掌握有限元求解流程，通過成功求解一個(gè)完整的有限元問題，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)

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[2]毛寧.參與式高校教學(xué)改革分析[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2016（9）.

（作者單位：浙江科技學(xué)院土木與建筑工程學(xué)院）