張永麗， 孫艷芳， 張輝群

(青島大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 山東 青島 266071)

0 引言

由于非線性偏微分方程的精確解，有助于研究者更好地理解方程所描述的物理現(xiàn)象，因此，這方面一直是非線性領(lǐng)域研究的熱點之一。隨著研究的深入，研究人員已經(jīng)建立和發(fā)展了很多有效的方法[1-7]。應(yīng)用這些方法，可以得到各種形式的精確解，例如孤立波解、周期波解、lump解和complexiton解等，用于解釋原方程所表示的具有不同動力學特點的物理現(xiàn)象。

Complexiton解是由指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)組合的一類特殊的精確解。文獻[8]應(yīng)用Wronskian技術(shù)，首次得到了Korteweg-de Vries(KdV)方程的complexiton解。文獻[9]利用擴展變換有理函數(shù)法得到了幾個非線性微分方程的complexiton解。文獻[10]應(yīng)用簡化的Hirota雙線性方法給出了兩個非線性偏微分方程的complexiton解。文獻[11]應(yīng)用線性疊加原則給出了(3+1)維Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(BLMP)方程的complexiton解。值得注意的是，對于(1+1)維可積系統(tǒng)，如KdV系統(tǒng)，大多數(shù)已知的complexiton解都是奇異的。一般地，在物理應(yīng)用方面更需要的是尋找非奇異解[12-14]，因此，正complexiton解的研究具有物理應(yīng)用價值。目前，正complexiton解的求解方法是線性疊加原則和Hirota雙線性[15-16]。本文利用線性疊加原則和Hirota雙線性來研究(2+1)維Sawada-Kotera (SK)方程，獲得了方程的共振多波解、complexiton解和正complexiton解，并且利用圖像展示出解的一些動力學特征。此外，本文給出的解不僅包含文獻[17]中得到的complexiton解，而且更加豐富。

1 (2+1)維SK方程的共振多波解

本文考慮(2+1)維SK方程：

(1)

(2+1)維SK方程(1)是一種B型KP模型[18]，因與B型群有關(guān)，也被稱為BKP方程，被廣泛應(yīng)用于物理學的許多分支中，例如共形場理論和二維量子重力規(guī)范場。當u(x,y,t)=u(x,t)時,(2+1)維SK方程(1)被約化為(1+1)維SK方程[19-20]：

(2+1)維SK方程(1)已被眾多學者研究。例如，文獻[21]利用Painlevé截斷展開法和Hirota雙線性方法，展示了方程(1)的多孤子解；文獻[22]研究了方程(1)的B?cklund變換和Lax對；文獻[23]結(jié)合Hirota雙線性形式和一個一般的黎曼θ函數(shù)理論，設(shè)計了構(gòu)造方程(1)的雙周期波解的直接方法；文獻[24-25]利用正二次函數(shù)法，得到了方程(1)的lump解。

根據(jù)Hirota雙線性方法，在變換u=6(lnf)xx下，(2+1)維SK方程(1)具有Hirota雙線性形式如下：

(2)

其中：Dx、Dy和Dt是Hirota雙線性算子[18]。

(3)

其中：n、m和r為任意非負整數(shù)。P是所示變量的多項式，滿足：

P(0,…,0)=0。

(4)

對于固定的正整數(shù)N,考慮N波變量和指數(shù)波函數(shù)：

(5)

進而得到指數(shù)波函數(shù)的線性疊加形式為：

(6)

在f的雙線性恒等式條件下得到:

(7)

其中：1≤i,j≤N。顯而易見，在式(6)中，指數(shù)波函數(shù)的線性疊加f是雙線性SK方程(2)的解，當且僅當滿足如下條件：

(8)

即

(9)

計算式(9)得到：

b1=-1,b2=-9。

(10)

進一步得到波變量

(11)

最后，通過線性疊加原則得到(2+1)維SK方程(1)的共振多波解[17,26]：

u=6(lnf)xx

(12)

其中：

(13)

2 (2+1)維SK方程的complexiton解

當1≤i≤N1時，有線性疊加解：

(14)

滿足(2+1)維雙線性SK方程(2)。

?i，1+i?i，2，

(15)

其中，?i的共軛形式為

(16)

(17)

再次利用線性疊加原則，得到(2+1)維SK方程(1)的復(fù)值的complexiton解：

u=6(lnf)xx,

(18)

其中：

(19)

為了得到(2+1)維SK方程(1)的實值的complexiton解，取

(20)

將式(20)代入式(18)和式(19),得到(2+1)維SK方程(1)的實值的complexiton解：

u=6(lnf)xx,

(21)

其中：

(22)

μi,νi,1,νi,2∈R,?i,1和?i,2被式(15)所確定。

3 (2+1)維SK方程的正complexiton解

一般地，上述得到的complexiton解(21)具有奇異性。例如，當N1=1,N=2,?>1=0,?>2,1=0,?>2,2=2πk,其中，k1=γ2=0,δ2=2πk,k∈R,ν2,1=-1,u1、ν2,2是任意的實數(shù)，在(x,y,t)=(1,0,0)處，complexiton解(21)具有奇異性。

當1≤i≤n時，有:

-?>i=(-ki)x-(-ki)3y-9(-ki)5t, 1≤i≤n。

(23)

顯然,e?i和e-?i都是雙線性SK方程(2)的解。運用線性疊加原則得到：

(24)

是雙線性SK方程(2)的實值解。

當n+1≤i≤n+m時，得到：

(25)

如前所述,e?i和e-?i也都是雙線性SK方程(2)的復(fù)值解。同樣運用線性疊加原則，

(26)

是雙線性SK方程(2)的實值解。

最后，通過線性疊加原則得到了(2+1)維雙線性SK方程(2)的解:

(27)

在式(27)中，取參數(shù)n=m=1,k1=1,k2=1,μ1=4,μ2=2,得到(2+1)維SK方程的正complexiton解：

(28)

(a) t=0

(b) t=1

(c) t=2

圖1 (2+1)維SK方程的正complexiton解(28)在不同時間的三維圖像

(a) t=0

(b) t=1

(c) t=2

圖2 (2+1)維SK方程的正complexiton解(28)在不同時間的密度圖像

4 結(jié)束語

利用雙線性形式的(2+1)維SK方程的多指數(shù)波解的疊加，得到了(2+1)維SK方程的正complexiton解，并且通過符號計算驗證了所有結(jié)果的正確性。構(gòu)造正complexiton解的關(guān)鍵是采用共軛的復(fù)波變量對。利用雙線性形式方程具有多波解的疊加現(xiàn)象，得到了正complexiton解。經(jīng)過研究，這一方法也可應(yīng)用于(3+1)維potential-Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程等一類非線性偏微分方程。隨著廣義雙線性方程的提出，廣義雙線性方程的complexiton解將成為下一個研究目標。