馬琦

[摘要]數(shù)學的悟性是人們在數(shù)學思維活動中，憑借類比、想象等手段，觸發(fā)靈感、引發(fā)領會，繼而解決疑難的一種能力悟是人對事物的分析和理解能力學生領悟能力培養(yǎng)對提高數(shù)學思維能力、提高數(shù)學課堂教學質量作用明顯.

[關鍵詞]悟性;能力;誘思;類比;聯(lián)想

[中圖分類號]

G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）17-0021-03

《現(xiàn)代漢語詞典》將“悟性”解釋為“作為主體的人對事物的分析和理解能力”.在數(shù)學學科，“悟性”包括人對數(shù)理知識的認知、洞察、類比、思辨、理解等能力.其中理解力、分析力為悟性的關鍵核心.因每個學生的成長背景、知識積累、智力發(fā)育不同，其悟性高低也各有不同.悟性高的學生能快速抓住問題的要素和條件，且能舉一反三、觸類旁通，達到事半功倍的效果.悟性低的學生，對數(shù)理的隱含條件、數(shù)理邏輯難以厘清，需要教師去引導、培養(yǎng)和發(fā)掘.事實上，學生出現(xiàn)解題困難關鍵是他們對數(shù)學知識點缺乏“悟性”，即認識偏差、理解不到位等.就初中數(shù)學學科教學而言，悟性是人們在數(shù)學活動中，對研究的對象，憑借類比、遷移、想象等手段，觸發(fā)靈感、引發(fā)領會，繼而解決疑難的一種思維能力，而且這種能力有利于發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維，提高學生的數(shù)學素養(yǎng).下面就怎樣引領學生走進數(shù)學“悟”的世界，提升學生的數(shù)學學習能力談自己一些粗淺的認識.

一、“生活化”誘思啟悟

所謂數(shù)學“生活化”情境，是指在數(shù)學教學中從學生生活背景和生活經(jīng)驗出發(fā)，把教學內容“生活化”，把生活中遇到的問題“數(shù)學化”，實現(xiàn)數(shù)學知識與生活知識的融通.這樣源于生活的數(shù)學教學，避免了抽象的說教，教學能貼近學生生活實際，有利于激發(fā)學生的學習興趣，啟發(fā)學生的“悟性”.孔子曾經(jīng)說過：“小疑小悟，大疑大悟.”可見，“疑”是“悟”的動因和起點.問題是思維的出發(fā)點.在教學中引入“生活化”的情境，創(chuàng)設誘人的疑問、扣人心弦的懸念，能激發(fā)學生的求知欲望，促使他們去積極思考、主動探索，在釋疑過程中，逐步進入“悟”的境界，在新課導入時，可分步設疑，環(huán)環(huán)相扣，由淺入深，讓學生逐漸領悟新知識.

[例1]講解三角形全等判定定理AAS時，提出問題：

（1）調皮的小明用紙板擋住了兩個三角形的餅干一部分（如圖1和圖2），你能畫出這兩個三角形的餅干嗎？每個人面出的三角形餅干都一樣嗎？

（2）粗心的小明不小心將一塊三角形玻璃摸具（如圖3）打碎了，他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具呢？如果可以，帶哪塊去合適？

由生活情境人手，讓學生動手操作，想想有沒有辦法把原來的三角形重新畫出來呢.學生產(chǎn)生了疑問，然后從問題出發(fā)得出判定定理.這樣做，引起了學生的興趣，提高了學生動手、動腦的能力，從而悟出三角形全等判定定理ASA.數(shù)學教學的最終日的就是回到生活，為生活服務.在上面的解析中，教師將數(shù)學通過“餅干”“玻璃摸具”而不是強調“三角形”，讓學生看似在解決餅干和三角形玻璃的生活化問題，實際上是完成三角形全等任務.這樣，“生活化”情境可以把學生學習內容植入到生活中，也可以將學到的知識應用到實際生活問題的解決上來，體現(xiàn)了學習生活“知行合一”.

比如，在《三角形的相似》教學時，教師應該充分利用學生的生活經(jīng)驗，從學生已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學的實際出發(fā)，對教材內容、沒計進行生活化處理.教師可以從學生生活中熟悉的籃球架、紅領巾、自行車車架、橋架等引出三角形，再讓學生通過“推拉”等實踐活動認識三角形的相似性，并對其“放大”或“縮小”來論證其相似和全等.并運用它來解決一些實際生活問題.如用“三角形的穩(wěn)定性”，給椅子加上木檔子形成三角形，從而使椅子穩(wěn)當起來.這樣讓學生感到生活中處處有數(shù)學，體會到了數(shù)學與生活的聯(lián)系.

教師要從多方面“找”生活素材，讓學生到生活中“找數(shù)學”，真切感受“數(shù)學來源于生活”.事實上，所有的學生問題的解決都可以用“生活化”的情境完成，用生活中的實例來進行求證，從而給學生一種更有生活氣息、更有興趣的體驗，使他們的“悟性”建立在自身的體驗和實踐中.

二、“多元化”發(fā)散頓悟

學生在學習過程中，由于對知識的理解掌握不夠，在應用數(shù)學知識的過程中，往往從單一角度觀察問題、解決問題，這時就會發(fā)生一些“漏解”的現(xiàn)象.

[例2]如圖4，已知直線a和直線外一條線段BC，在直線a上確定一點P，使△BCP為以B為底角頂點的等腰三角形.（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

許多學生完成此題時，往往只作出一個點P就結束了，不能很好地理解當△BCP為以B為底角頂點的等腰三角形時，需要分成兩種情況分析.（1）△BCP是以C為頂角頂點的等腰三角形（CB=CP），此時我們需以C為網(wǎng)心，CB長為半徑畫圓弧，網(wǎng)弧與直線a的交點就是P點.（2）△BCP是以P為頂角頂點的等腰三角形（PB=PC），此時我們需畫BC的垂直平分線，垂直平分線與直線a的交點就是P.

這種“漏解”現(xiàn)象，其實就是學生思維單一化的表現(xiàn)，往往會束縛思維的拓展，導致學生數(shù)學悟性受阻，甚至限制學生解題能力的提高.因此，創(chuàng)設“多元化”思維情境，多角度轉換顯得尤為重要.

“多元化”思維既可以跳離原定思維軌跡，挖掘和翻新出更多的數(shù)學信息，也可以接通多方位的釋疑思路，頓悟出題設的實質.在教學中加強一題多解、一問多答的訓練，溝通代數(shù)和幾何，厘清它們之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生多角度、多方位探求問題的習慣，促進思維多層次、全方位發(fā)散，是發(fā)散中頓悟出解題的關鍵.這種以實踐探究為載體，“多元化”情境方式，有利于學生數(shù)學悟性的提高，引領他們的思維走向更廣闊的時空.

[例3]兩邊和任一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等嗎？

學生看到問題后面出了各種圖形，但很少有學生能概括全面.這時我們就需要幫助學生多元化歸納整理出各種情況.

第一種：如圖6、圖7，AB=DE，AC=DF，BC和EH分別是△ABC和△DEF的中線，且BG=EH，求證：△ABC=△DEF.

這種情況討論的是當兩邊和其中一條相等的邊上的中線對應相等的兩個三角形是否全等.完成這種情況，不需要添加任何輔助線，只要先證明△ABG≌△DEH得到∠A=∠B，就可以完成△ABC≌△DEF的證明了.

第二種：如圖8、圖9，AB=DE，AC=DF，AP和DQ分別是△ABC和△DEF的中線，且AP=DQ，求證：△ABC≌△DEF.

這種情況討論的是當兩邊和其中一條不相等的邊上的中線對應相等的兩個三角形是否全等.

我們需要通過倍長中線法構造全等的三角形（△ABM≌△DEN）后，再去證明△ABC≌△DEF.

完成例題后，我們還可以利用變式進行一題多變，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維能力，增強學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，發(fā)展學生邏輯推理的核心素養(yǎng).

變式1：如果把原題中的“任一邊上的中線對應相等”改為“任一個內角的角平分線對應相等”，那么這兩個三角形還全等嗎？

變式2：如果把原題中的“任一邊上的中線對應相等”改為“任一邊上的高對應相等”，那么這兩個三角形還全等嗎？

通過本例題的探究與變式，強化以知識經(jīng)驗為基礎，以問題為載體，啟發(fā)學生判斷、推理、建構等“多元化”思維，并在問題的解決過程中，讓學生更多領略源題的類比、拓展、延伸，還要讓學生在自我反思評價的過程中，加深對錯誤的認識，培養(yǎng)學生思維的批判性和嚴謹性，從而激活思維，發(fā)展素養(yǎng)，實現(xiàn)頓悟.學生由此悟出的結論才理解得透徹，掌握得牢固.

三、類比聯(lián)想促領悟

類比來源于相似，相似的對象在某些方面彼此一致，相互聯(lián)系、相互滲透.類比、聯(lián)想比比皆是，不同的命題、定理之間類比，還有公式、方法之間相似類比，因而在數(shù)學中重視創(chuàng)設類比聯(lián)想的情境，就可以調動學生大腦中貯存的相似問題的解題策略，誘發(fā)悟性，學生獲悟后通過構思設計，最終獲得準確而清晰的解題途徑和方法.類比聯(lián)想過程就是悟性的產(chǎn)生、運作的過程，也是思維逐步深化的過程.這樣不僅可以區(qū)分兩者的不同點，還可以讓學生領悟出知識的真正內涵，體會轉化數(shù)學思想.

[例4]如圖12，已知△ABC，∠BAC=90°. AB=AC.BD⊥l.CE⊥l.問：BD、CE、DE有何數(shù)量關系？

變式1：如圖13，已知△ABC，∠BAC=∠BDA=∠AEC.AB=AC.BD、CE、DE有何數(shù)量關系？

變式2：如圖14，已知△ABC.∠BAC= ∠BDA=∠AEC.AB=AC，BD、CE、DE有何數(shù)量關系？

變式3：如圖15，已知△ABC.∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥I，CE⊥I，BD、CE、DE有何數(shù)量關系？

變式4：如圖16，已知△ABC，∠BAC= ∠BDF=∠DEC.AB=AC，BD、CE、DE有何數(shù)量關系？

變式5：如圖17，已知△ABC，∠BAC=∠BDF=∠DEC.AB=AC.BD、CE、DE有何數(shù)量關系？

此題既有∠BAC度數(shù)的變化，從直角變成銳角再變成鈍角，又有直線l與△ABC的位置變化.我們要培養(yǎng)學生細心觀察每個細節(jié)的習慣，發(fā)現(xiàn)△ABD≌△CAE始終成立，從而研究BD、CE、DE的數(shù)量關系就變得簡單了.通過變式，讓學生歸納類比獲得猜想，弄清本質屬性，提高想象力，促進數(shù)學悟性的發(fā)展.通過上述例題，我們知道平時需引導學生仔細觀察，比較問題的相似性和內在聯(lián)系，由表及里抓本質，實現(xiàn)知識的遷移.這樣利用歸納、類比等手段，引發(fā)學生的猜想，可使學生躍過常規(guī)思維步驟，直接感受和領悟問題的實質，發(fā)展學生的數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學建模等核心素養(yǎng).

在培養(yǎng)學生數(shù)學悟性的過程中，還要教會學生“悟”的方法：善思、觀察、回味、反省.只有這樣，數(shù)學悟性才能穩(wěn)步發(fā)展，形成良好的思維品質.培養(yǎng)數(shù)學悟性，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)，既要潛移默化，又需持之以恒的訓練，更要不斷探索.我們要讓學生在課堂中不僅學習知識，還要學習思想方法，引導學生更好地學.

[參考文獻]

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（責任編輯 黃桂堅）