方舟，趙志峰，馬青

（南京林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，南京 210037）

1 問題的提出

基礎(chǔ)設(shè)計(jì)必須滿足地基承載力要求，即基底壓力不能超過地基土的允許承載力。當(dāng)上部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的基底壓力較大時(shí)，可能面臨地基承載力不足的問題。根據(jù)地基承載力理論，增大基礎(chǔ)埋深可提高地基承載力。但由于淺基礎(chǔ)多為實(shí)體結(jié)構(gòu)，自重較大，埋深增加后基礎(chǔ)和回填土產(chǎn)生的自重壓力也隨之增大。在保證埋深的前提下，減少基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的自重，對(duì)于滿足地基承載力要求具有實(shí)際意義。

裙板式基礎(chǔ)（如圖1 所示）通過在淺基礎(chǔ)下方設(shè)置裙板，起到增大基礎(chǔ)埋深并減輕基礎(chǔ)自重的作用［1-2］。裙板式基礎(chǔ)首先在海洋平臺(tái)建設(shè)領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用，國外學(xué)者研究了不同荷載條件、不同尺寸的裙板式基礎(chǔ)極限承載力，證明了裙板式基礎(chǔ)對(duì)于提高地基承載力具有積極作用［3-5］。但海洋平臺(tái)建設(shè)中使用的主要是圓形或桶形裙板基礎(chǔ)，對(duì)其他形狀裙板式基礎(chǔ)的地基承載力研究成果較少。筆者對(duì)黏性土中裙板式條形基礎(chǔ)的不排水極限承載力開展研究，分析裙板的設(shè)置對(duì)地基承載力的影響，以探討承載力的理論計(jì)算方法。

圖1 裙板基礎(chǔ)與實(shí)體基礎(chǔ)示意圖Fig.1 Schematic diagram of skirted and embedded footings

2 裙板式條形基礎(chǔ)的數(shù)值模擬

2.1 研究方案

2.1.1 基本參數(shù)

地基土為均質(zhì)黏性土，重度取18 kN／m3。采用摩爾庫侖本構(gòu)模型，不排水抗剪強(qiáng)度cu為常數(shù)，內(nèi)摩擦角為零。黏性土的變形模量取不排水強(qiáng)度的500 倍［1，6］，即E／cu=500。基礎(chǔ)材料為C30 混凝土，用線彈性模型模擬，彈性模量取30 GPa，泊松比取0.2?；A(chǔ)板的厚度取0.4 m，裙板的厚度取0.2 m。

2.1.2 參數(shù)變量

根據(jù)已有對(duì)裙板基礎(chǔ)承載力影響因素的研究［7-8］，本次模擬中考慮了3 個(gè)參數(shù)。

1）不排水強(qiáng)度cu：取值20，30，50 kPa ；

2）基礎(chǔ)寬度b：取值1，2，5 m；

3）裙板相對(duì)高度d／b：取值0.2 和0.5。

2.2 數(shù)值模型的建立

使用有限元軟件對(duì)實(shí)體基礎(chǔ)和裙板淺基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)值模擬，裙板基礎(chǔ)和實(shí)體深基礎(chǔ)的幾何模型如圖1 所示?；A(chǔ)寬度為b，裙板高度為d，相對(duì)高度用d／b來表示。土與基礎(chǔ)底面和裙板間均設(shè)置接觸面，基礎(chǔ)底面和裙板與土完全粗糙接觸，土體與基礎(chǔ)不會(huì)脫開。為了避免邊界條件的影響，將地基土水平建模范圍設(shè)置為從基礎(chǔ)中心向兩側(cè)各延伸6b，豎向范圍為從基底向下延伸5b以上。給模型底部施加完全約束，給兩側(cè)豎直邊界施加水平約束［9］。建模時(shí)不考慮地下水。

為提高數(shù)值計(jì)算準(zhǔn)確性，對(duì)裙板基礎(chǔ)深度范圍進(jìn)行了網(wǎng)格的局部加密。計(jì)算時(shí)先生成自重地應(yīng)力場(chǎng)，然后通過在基礎(chǔ)上施加指定位移的方法來確定極限承載力。有研究表明，相較于荷載控制法，位移控制法能更好地給出地基破壞條件下的結(jié)果。為了便于比較不同基礎(chǔ)寬度時(shí)的承載力，施加的位移取相對(duì)值，即制定位移為0.2b。

2.3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

采用有限元計(jì)算軟件建立裙板式條形基礎(chǔ)的數(shù)值模型，然后通過施加指定位移研究地基極限承載力。為了驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算的合理性，建立了無裙板（即d=0）的基礎(chǔ)模型，并計(jì)算得到當(dāng)不排水強(qiáng)度cu=20 kPa 時(shí)，其極限承載力pu為102 kPa，與不排水條件下的理論極限承載力5.14cu（102.8 kPa）非常接近。

施加制定位移后，地基土顯示出明顯的整體剪切變形趨勢(shì)。圖2 為cu=20 kPa、d／b=0.2 時(shí)，不同基礎(chǔ)寬度時(shí)的變形情況。如圖2 所示，裙板下方形成了類似“剛性核”的三角形區(qū)域，該區(qū)域的地基土同基礎(chǔ)一起向下位移、擠壓兩側(cè)土體，使塑性變形區(qū)延伸至地表，達(dá)到整體剪切破壞狀態(tài)。裙板內(nèi)的地基土受到裙板的約束也成為“剛性核”的一部分，這說明裙板式基礎(chǔ)的變形模式與相同埋深的實(shí)體基礎(chǔ)類似，但使用的材料更少。

相比平板式基礎(chǔ)，裙板式基礎(chǔ)的地基承載力有明顯的提高。當(dāng)土體強(qiáng)度不變時(shí)，影響承載力的主要因素是裙板的相對(duì)高度d／b。當(dāng)b=1 m、cu=20 kPa 時(shí)，d／b=0.2 時(shí)的極限承載力pu為126 kPa，比不設(shè)裙板時(shí)（d／b=0）提高了24%；d／b=0.35 時(shí)，pu比不設(shè)裙板時(shí)提高32%；當(dāng)d／b=0.5 時(shí)，pu為143 kPa，pu提高了40%。

3 地基極限承載力的理論分析

3.1 承載力計(jì)算公式的推導(dǎo)

已有關(guān)于不同形狀裙板式基礎(chǔ)承載力的研究多是采用數(shù)值計(jì)算方法，得到統(tǒng)計(jì)性的經(jīng)驗(yàn)公式［10-11］。數(shù)值計(jì)算的結(jié)果表明，裙板基礎(chǔ)的變形破壞模式與相同埋深的實(shí)體基礎(chǔ)近似，因此可以通過理論分析實(shí)體基礎(chǔ)的極限承載力以得到裙板基礎(chǔ)的承載力。

地基承載力作為土力學(xué)的經(jīng)典問題，眾多學(xué)者對(duì)其開展了理論研究，其中普朗德爾和太沙基極限承載力理論應(yīng)用較廣。兩個(gè)理論在推導(dǎo)條形基礎(chǔ)的極限承載力時(shí)，都認(rèn)為滑動(dòng)面沒有延伸至地表，而是將滑動(dòng)面的終點(diǎn)限制在基底平面上，并且不考慮基礎(chǔ)兩側(cè)土的抗剪強(qiáng)度對(duì)承載力的貢獻(xiàn)。這對(duì)于有埋深的基礎(chǔ)并不符合實(shí)際。梅耶霍夫?qū)Υ诉M(jìn)行了修正，認(rèn)為應(yīng)考慮地基土中塑性區(qū)隨基礎(chǔ)埋深的變化，并且應(yīng)計(jì)入基礎(chǔ)兩側(cè)土的強(qiáng)度對(duì)承載力的影響。因此，可以利用梅耶霍夫的求解思路來分析裙板式條形基礎(chǔ)的極限承載力。

圖3 為地基承載力分析示意圖。梅耶霍夫認(rèn)為當(dāng)?shù)鼗l(fā)生整體剪切破壞時(shí)，其滑動(dòng)面一直延伸至地表的E 點(diǎn)，滑動(dòng)面由直線AC、對(duì)數(shù)螺旋曲線CD 和直線DE 組成，其中AC 與水平面的夾角為（45°+φ／2）?；A(chǔ)側(cè)面BF 作用在土上的應(yīng)力σa和τa以及基礎(chǔ)兩側(cè)BEF 土重的影響，可由等代自由面BE 上的應(yīng)力σ0和τ0來代替［12］。BE 面與水平面的夾角為β，BD 面與BE 面的夾角為η?；A(chǔ)寬度為b、埋深為d，地基土的黏聚力為c、摩擦角為φ、重度為γ、靜止側(cè)壓力系數(shù)為K0。

圖3 地基承載力分析示意圖［12］Fig.3 Schematic diagram of bearing capacity analysis

根據(jù)力的平衡條件可求出σ0：

其中，δ為基礎(chǔ)側(cè)面與土之間的摩擦角。

BE 面上的切向應(yīng)力為：

式中，m為抗剪強(qiáng)度動(dòng)用系數(shù)，在0～1 之間取值。在求解式（1）時(shí)需要確定β值，β無法直接計(jì)算求出，需要迭代求解。

根據(jù)推導(dǎo)可求出地基極限承載力pu：

式中，Nc、Nq、Nγ為承載力系數(shù)，可通過下列公式確定［11］：

式中，θ為對(duì)數(shù)螺旋曲線CD 的中心角，θ=3π/4+β -η -φ/2。承載力系數(shù)Nγ需通過試算采用經(jīng)驗(yàn)公式［13］確定：Nγ=(Nq -1) tan 1.4φ。

從上述分析可以看出，梅耶霍夫雖然考慮因素比較全面，但涉及的參數(shù)較多，且承載力系數(shù)與內(nèi)摩擦角相關(guān)［14］，有些無法直接求解需要迭代計(jì)算，計(jì)算比較復(fù)雜。但當(dāng)?shù)鼗翞椴慌潘涴ね習(xí)r，φ=0、黏聚力為cu，靜止側(cè)壓力系數(shù)K0=1，承載力系數(shù)Nγ=0、Nq=1，此時(shí)公式（3）可簡化為：

公式（7）的求解需要確定承載力系數(shù)Nc，根據(jù)公式（4）計(jì)算Nc需要確定出角度θ和η，求解不便。但當(dāng)φ=0 時(shí)，若BE 面上的抗剪強(qiáng)度全部發(fā)揮（即m=1），則η=0（BE 與BD 面重合），此時(shí)θ=3π／4+β。在這種特定情況下，承載力系數(shù)Nc的值可通過羅必塔法則求解，得到：

將式（8）代入式（7），可得到：

當(dāng)φ=0 時(shí)，對(duì)數(shù)螺旋曲線半徑不變，即BG 的長度與BC 相同。此時(shí)β角的數(shù)值由基礎(chǔ)埋深d和寬度b確定。根據(jù)幾何關(guān)系可得：

由式（10）可得到β角，然后根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定出基礎(chǔ)側(cè)面與土之間的摩擦角δ，此時(shí)使用公式（9）可計(jì)算出不排水條件下裙板基礎(chǔ)的極限承載力。

關(guān)于埋深對(duì)地基承載力的影響，有些學(xué)者在進(jìn)行了大量計(jì)算統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上，提出采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。例如Skempton、Salagado 等學(xué)者［15］建議用以下經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算Nc：

根據(jù)式（11）得到的地基土極限承載力為：

3.2 理論解與數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比

為了驗(yàn)證公式（9）、（10）的有效性，將根據(jù)公式得到的理論解與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在應(yīng)用公式（9）、（10）時(shí)，基礎(chǔ)側(cè)面與土之間的摩擦系數(shù)取0.5（數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)此摩擦系數(shù)對(duì)結(jié)果影響很?。?。

圖4 為基礎(chǔ)寬度b=1 m、裙板相對(duì)高度d／b為0.2 和0.5 時(shí)，理論解和數(shù)值計(jì)算的結(jié)果對(duì)比。其中本文公式解指的是用公式（9）、（10）的計(jì)算結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)公式解是使用公式（11）、（12）的解答。從圖4A 可以看出，d／b=0.2 時(shí)，裙板基礎(chǔ)的極限承載力隨著不排水強(qiáng)度cu的增大而提高。當(dāng)不排水強(qiáng)度cu=20 kPa 時(shí)，3 種方法得到的結(jié)果非常接近；cu增大到30 kPa 時(shí)，本文公式的解答同數(shù)值計(jì)算結(jié)果仍很接近，而經(jīng)驗(yàn)公式的結(jié)果略低；當(dāng)cu為50 kPa 時(shí)，經(jīng)驗(yàn)公式的解答偏低更明顯。d／b=0.5時(shí)，不同黏聚力下本文公式計(jì)算出的承載力同數(shù)值計(jì)算解接近，而經(jīng)驗(yàn)公式得到的解答低于前兩種方法。這主要是由于經(jīng)驗(yàn)公式（11）是僅通過承載力系數(shù)Nc來考慮基礎(chǔ)埋深對(duì)承載力的貢獻(xiàn)，計(jì)算公式偏簡單；之前的系數(shù)0.27 是通過對(duì)計(jì)算結(jié)果的統(tǒng)計(jì)得到的，缺乏理論意義，導(dǎo)致計(jì)算出的Nc和極限承載力qu偏低，而且當(dāng)不排水強(qiáng)度cu較大時(shí)，這種偏低的趨勢(shì)會(huì)更加明顯。

圖4 基礎(chǔ)寬度b=1 m 時(shí)幾種方法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison results of different calculating methods when b=1 m

b=2 m 時(shí)，幾種方法的結(jié)果對(duì)比整理見圖5。由圖5 可見，幾種計(jì)算結(jié)果的變化趨勢(shì)同b=1 m時(shí)相似。當(dāng)不排水強(qiáng)度cu=20 kPa 時(shí)，本文公式、經(jīng)驗(yàn)公式的解答同數(shù)值計(jì)算結(jié)果比較接近；當(dāng)cu為30 和50 kPa 時(shí)，本文公式得到的解答同數(shù)值計(jì)算解接近，但經(jīng)驗(yàn)公式的解答明顯偏低?；A(chǔ)寬度b為5 m 時(shí)的結(jié)果也類似，故不再贅述。這表明當(dāng)?shù)鼗翞椴慌潘涴ね習(xí)r，使用本文推導(dǎo)出的公式計(jì)算出的裙板式條形基礎(chǔ)極限承載力同數(shù)值計(jì)算結(jié)果比較接近，而使用經(jīng)驗(yàn)公式或者不考慮埋深影響的太沙基等方法得到的承載力明顯偏小，會(huì)低估基礎(chǔ)的承載力從而造成不必要的浪費(fèi)。

圖5 b=2 m 時(shí)幾種方法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison results of different calculating methods when b=2 m

4 結(jié)論

1）建立了黏性土中裙板式條形基礎(chǔ)的數(shù)值模型，通過數(shù)值模擬的方法確定極限承載力。地基土的變形特征表明，裙板基礎(chǔ)下方土體在裙板的約束下形成剛性核，并隨基礎(chǔ)向下運(yùn)動(dòng)擠壓兩側(cè)土體直至整體破壞。裙板式條形基礎(chǔ)的破壞模式類似于相同埋深的實(shí)體基礎(chǔ)。

2）相比平板式基礎(chǔ)，裙板式條形基礎(chǔ)通過約束基底土的剪切位移可提高地基極限承載力。數(shù)值計(jì)算表明，當(dāng)基礎(chǔ)寬度和黏性土不排水抗剪強(qiáng)度不變時(shí)，地基土極限承載力隨著裙板相對(duì)高度d／b增大而提高。

3）通過理論推導(dǎo)得到黏性土中裙板式基礎(chǔ)地基承載力的計(jì)算公式。參考梅耶霍夫承載力理論，推導(dǎo)出考慮基礎(chǔ)側(cè)面土抗剪強(qiáng)度的極限承載力計(jì)算公式。將本文公式計(jì)算結(jié)果和數(shù)值計(jì)算解與經(jīng)驗(yàn)公式解進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明本文公式的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算解比較接近，而且計(jì)算簡便。