黃青隆，羅永峰，曲 揚(yáng)，朱釗辰

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；2.中建五局土木工程有限公司，湖南 長(zhǎng)沙 410004）

柱面網(wǎng)殼作為廣泛應(yīng)用的典型空間結(jié)構(gòu)形式之一，其自由度數(shù)多、振型分布密集，結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)較為復(fù)雜。確定柱面網(wǎng)殼的地震需求，是該類(lèi)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)、抗震性能評(píng)估的重要一環(huán)［1］。目前，結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)可用非線性時(shí)程分析法（response history analysis，RHA）準(zhǔn)確計(jì)算，但該方法計(jì)算量大、耗時(shí)較多。推覆分析是另一種常用的地震反應(yīng)分析方法。傳統(tǒng)的推覆方法根據(jù)結(jié)構(gòu)的基底剪力-頂點(diǎn)側(cè)移關(guān)系，構(gòu)造等效單自由度體系（equivalent singledegree-of-freedom system，ESDF），并確定其在地震作用下的目標(biāo)位移，將目標(biāo)位移對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)反應(yīng)作為最終結(jié)果［2］。由于推覆分析方法效率高、精度滿足工程要求，在多高層結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的應(yīng)用日趨成熟［3］。而對(duì)于動(dòng)力特性與多高層結(jié)構(gòu)不同的空間結(jié)構(gòu)，如柱面網(wǎng)殼，直接沿用傳統(tǒng)的推覆方法計(jì)算該類(lèi)結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)時(shí)還存在很多問(wèn)題。

首先，空間結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)往往并非結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的特征點(diǎn)，同時(shí)，基底剪力-頂點(diǎn)側(cè)移的關(guān)系曲線不能反映結(jié)構(gòu)的豎向變形貢獻(xiàn)，致使采用傳統(tǒng)方法構(gòu)造的ESDF體系無(wú)法準(zhǔn)確反映空間結(jié)構(gòu)的抗震性能。為改進(jìn)這一不足，多種基于能量的ESDF體系建立方法被提出［4］。Xiang等［5］從能量角度推導(dǎo)建立基于整體剛度參數(shù)的ESDF體系，并將其用于空間結(jié)構(gòu)的推覆分析。算例結(jié)果表明，基于能量的ESDF體系可有效反映空間結(jié)構(gòu)的抗震性能，但該類(lèi)ESDF體系的荷載-位移（F-D）曲線往往需要借助中間參數(shù)或采用增量格式逐步疊加獲得，當(dāng)需要建立多個(gè)ESDF體系時(shí)，此類(lèi)構(gòu)造方法效率有待提高。

其次，在確定ESDF體系的目標(biāo)位移時(shí)，為避免求解復(fù)雜非線性體系的時(shí)程響應(yīng)，一般根據(jù)等能量原則將ESDF體系的F-D曲線等效為雙折線［6］或多折線［7］，再對(duì)簡(jiǎn)化體系進(jìn)行求解。本質(zhì)上，等能量原則已表明由此構(gòu)造的簡(jiǎn)化體系與原體系的耗能僅在某等效點(diǎn)處相等，當(dāng)簡(jiǎn)化體系的目標(biāo)位移與等效點(diǎn)位移不重合時(shí)，二者的耗能不同，這一差別必然造成對(duì)目標(biāo)位移、結(jié)構(gòu)反應(yīng)的預(yù)測(cè)偏差。此外，對(duì)于剛度較大的空間結(jié)構(gòu)，其F-D曲線后屈服段較短［8］，對(duì)于較柔的空間結(jié)構(gòu)，其F-D曲線的屈服過(guò)程較長(zhǎng)，二者的屈服點(diǎn)和雙折線特征不明顯，采用雙折線化的FD曲線預(yù)測(cè)目標(biāo)位移時(shí)該偏差可能進(jìn)一步加大。

最后，目前應(yīng)用于空間結(jié)構(gòu)的推覆分析方法對(duì)單階振型主導(dǎo)的結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)精度較好，當(dāng)結(jié)構(gòu)的高階振型效應(yīng)顯著時(shí)，該方法精度有所降低［5］。而空間結(jié)構(gòu)的振型分布密集、質(zhì)量參與系數(shù)累積較慢［9］，根據(jù)質(zhì)量參與系數(shù)累積值確定參與振型易導(dǎo)致選取的振型數(shù)量過(guò)多、計(jì)算耗時(shí)增加［10］。因此，對(duì)空間結(jié)構(gòu)的推覆分析應(yīng)考慮高階振型影響，同時(shí)，應(yīng)采用振型遴選方法識(shí)別主振型，以兼顧精度和效率。

鑒于此，本文以柱面網(wǎng)殼為研究對(duì)象，從能量等效角度推導(dǎo)建立了全量格式的ESDF體系F-D曲線。根據(jù)等能量原則，提出迭代等效方法用于計(jì)算ESDF體系的目標(biāo)位移。最后，采用振型遴選方法選取主振型，結(jié)合完全二次項(xiàng)平方根方法（CQC）組合各主振型的響應(yīng)，得到總體地震需求。建立兩種典型邊界條件的柱面網(wǎng)殼，驗(yàn)證該方法對(duì)于計(jì)算柱面網(wǎng)殼地震需求的有效性。

1 全量格式的能量等效ESDF體系

采用單調(diào)遞增的模態(tài)荷載模式Mφn對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力非線性分析，其中，M、φn分別為質(zhì)量矩陣和第n階振型向量。第l荷載步的荷載向量Fn，l和對(duì)應(yīng)的位移向量dn，l可寫(xiě)為

式中：χl為第l荷載步的荷載因子；qi，l為第l荷載步的第i階振型位移。

易知，當(dāng)結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)入彈塑性階段，位移向量dn，l將包含多階振型變形。在第l荷載步，荷載做功增量ΔWl為

注意到在以第n階模態(tài)荷載為荷載模式進(jìn)行推覆時(shí)，由于振型的正交性，推覆荷載僅對(duì)第n階振型位移做功，因此式（2）可簡(jiǎn)化為

由于振型位移qn依賴(lài)于振型向量的量綱一化方式，不妨對(duì)qn做如下處理：

式中：Dn，l為不依賴(lài)于振型向量量綱一化方式的振型位移；Γn為在地震激勵(lì)方向上的第n階振型參與系數(shù)。

將式（4）代入式（3），進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得

式中：Fn，l為第l荷載步的等效力。

若將Fn，l和Dn，l視為ESDF體系的等效力和等效位移，則式（5）表明，對(duì)任一荷載步，結(jié)構(gòu)外力做的功與等效力在具有Fn-Dn關(guān)系的ESDF體系上做的功相等。其中，各荷載步的等效力可由式（6）直接求得。

結(jié)合式（6），式（4）可進(jìn)一步改寫(xiě)為

式（7）表明，每一荷載步等效體系的等效位移Dn，l可根據(jù)整體結(jié)構(gòu)在該荷載步的荷載向量、位移向量和等效力求得。至此，該等效體系在各荷載步的等效力Fn和等效位移Dn均可由對(duì)應(yīng)荷載步整體結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果直接求得，該過(guò)程不依賴(lài)中間參數(shù)，亦無(wú)需采用增量表達(dá)式進(jìn)行逐步疊加計(jì)算。

等效體系的等效質(zhì)量meq可按如下方法確定。設(shè)在第l荷載步下等效體系處于線彈性階段，易知，等效體系的頻率與結(jié)構(gòu)第n階頻率相等，則有關(guān)系式

式中：ωn為第n階振型頻率。則等效質(zhì)量meq為

需要說(shuō)明的是，由推導(dǎo)過(guò)程可知，該等效體系的構(gòu)造與地震動(dòng)激勵(lì)方向無(wú)關(guān)，即對(duì)于各向地震動(dòng)輸入，通過(guò)式（6）和式（7）均可構(gòu)造相應(yīng)的模態(tài)ESDF體系。特別地，當(dāng)?shù)卣鸺?lì)為水平x向時(shí)，有

式中：ιx為x向單位方向向量；Vbx為結(jié)構(gòu)x向基底剪力。

此時(shí)等效體系的等效力與結(jié)構(gòu)的基底剪力相等，等效質(zhì)量為結(jié)構(gòu)的第n階有效振型質(zhì)量。而當(dāng)?shù)卣饎?dòng)輸入為其他方向時(shí)，該等效荷載不等于結(jié)構(gòu)基底剪力，等效質(zhì)量也與有效振型質(zhì)量不同。

2 基于迭代等效的目標(biāo)位移計(jì)算方法

理論上，地震作用下各ESDF體系的目標(biāo)位移可采用非線性時(shí)程分析計(jì)算其峰值響應(yīng)并進(jìn)行估計(jì)，在實(shí)際計(jì)算中，為避免復(fù)雜非線性體系的時(shí)程計(jì)算，往往將等效體系中原始的F-D曲線理想化為雙折線或多折線模型，再借助非彈性譜或時(shí)程分析方法計(jì)算該簡(jiǎn)化體系的峰值響應(yīng)。顯然，對(duì)原曲線的理想化處理提高了計(jì)算效率，但其計(jì)算精度將受到影響。

以經(jīng)典的雙折線等效為例，如圖1所示，雙折線等效一般以F-D曲線的荷載極值點(diǎn)P1為終點(diǎn)，根據(jù)雙折線和原曲線所圍面積A1與A2相等的“等能量原則”，按下式確定屈服位移Dy和后屈服剛度系數(shù)α：

式中：K0為曲線初始斜率；Fu為原曲線的荷載峰值；Du為峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)位移。根據(jù)Dy和K0可計(jì)算得到體系的等效屈服荷載Fy。

雙折線模型可由屈服位移Dy和后屈服剛度系數(shù)α確定。易知，由此確定的雙折線和原曲線在曲線終點(diǎn)處保持相同的耗能、位移D和作用外力F等狀態(tài)，但二者在曲線非線性段其余點(diǎn)處的狀態(tài)并不相同，這一差別將造成采用簡(jiǎn)化體系預(yù)測(cè)的結(jié)果存在偏差。當(dāng)原體系的F-D曲線無(wú)明顯的雙折線特點(diǎn)時(shí)，該處理方法可能造成雙折線和原曲線相差較大，即A1與A2之和較大，導(dǎo)致二者在曲線非線性段上各點(diǎn)耗能的差異進(jìn)一步加大。

圖1 ESDF體系F-D曲線的雙折線等效示意圖Fig.1 Bilinear equivalent F-D curve of ESDF system

實(shí)際上，預(yù)測(cè)ESDF體系目標(biāo)位移的合理簡(jiǎn)化模型，應(yīng)具備兩個(gè)特征：一是簡(jiǎn)化折線與原曲線應(yīng)盡可能貼合，以減小各點(diǎn)耗能差異；二是簡(jiǎn)化體系的峰值響應(yīng)點(diǎn)與原體系的峰值響應(yīng)點(diǎn)重合，即保證二者的峰值響應(yīng)點(diǎn)具有相同的耗能、位移和等效外力。

注意到當(dāng)原始體系的峰值響應(yīng)為Dpeak（Dpeak＜Du）時(shí)，實(shí)際上體系的響應(yīng)點(diǎn)僅分布于［0，Dpeak］區(qū)間，因此可僅對(duì)原曲線的［0，Dpeak］段按式（12）～（13）建立雙折線簡(jiǎn)化體系。易知在［0，Dpeak］段，該體系顯然比以Du為終點(diǎn)等效的簡(jiǎn)化體系更貼近原曲線。若簡(jiǎn)化體系的峰值響應(yīng)同樣為Dpeak，則表明該簡(jiǎn)化體系與原始體系的峰值響應(yīng)點(diǎn)相同，可將該簡(jiǎn)化體系作為最終簡(jiǎn)化體系，以該體系的峰值響應(yīng)作為目標(biāo)位移。

由于原始體系的峰值響應(yīng)未知待求，最終簡(jiǎn)化體系可借助迭代等效方法確定。迭代等效方法的示意圖如圖2所示，具體計(jì)算步驟如下：

圖2 ESDF體系F-D曲線的迭代等效示意圖Fig.2 Iterative equivalent F-D curve of ESDF system

首先，假定原F-D曲線的初始峰值響應(yīng)點(diǎn)為荷載峰值點(diǎn)P1，P1處位移為Du，1，以P1為終點(diǎn)進(jìn)行雙折線等效可得雙折線模型L1，設(shè)按此模型計(jì)算得到峰值響應(yīng)點(diǎn)B1處位移為Dpeak，1。若Du，1和Dpeak，1滿足式（14）的容差要求，則認(rèn)為L(zhǎng)1的峰值響應(yīng)點(diǎn)與原體系的峰值響應(yīng)點(diǎn)重合，停止計(jì)算，并將Dpeak，1作為該體系的目標(biāo)位移；否則，以原曲線中位移Dpeak，1對(duì)應(yīng)點(diǎn)P2為等效終點(diǎn)，再次進(jìn)行雙折線等效得到模型L2，并重復(fù)前文步驟，直至雙折線模型的預(yù)測(cè)目標(biāo)位移Dpeak，i與其等效終點(diǎn)的位移Du，i滿足下式要求：

迭代等效方法保證了雙折線模型與原模型在目標(biāo)位移點(diǎn)處具有相同的耗能等狀態(tài)，同時(shí)，以目標(biāo)位移點(diǎn)為終點(diǎn)等效的雙折線與原曲線更加貼合，減小了其余各點(diǎn)的耗能差異，因此，該方法較一次等效法可以得到更為準(zhǔn)確的結(jié)果。式（14）設(shè)定了收斂閾值為0.01，在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)精度要求微調(diào)該閾值以兼顧計(jì)算效率和精度。需要說(shuō)明的是，盡管迭代等效方法增加了理想化模型的計(jì)算次數(shù)，但借助非彈性反應(yīng)譜或時(shí)程分析法，依然可以方便地獲取雙折線模型的峰值響應(yīng)，因此，總體上該方法的計(jì)算效率仍高于直接計(jì)算原始體系的峰值響應(yīng)。

3 總體地震需求計(jì)算

3.1 主振型遴選

結(jié)構(gòu)總體地震需求可由各等效單自由度體系目標(biāo)位移處的響應(yīng)組合而得。對(duì)于自由度數(shù)較多、振型分布密集的大跨度空間結(jié)構(gòu)，如柱面網(wǎng)殼和球面網(wǎng)殼，事先遴選對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)貢獻(xiàn)較大的振型有助于減少工作量，從而提高計(jì)算效率。

本文采用基于位移譜的振型遴選方法［10］遴選空間結(jié)構(gòu)的主導(dǎo)振型。該方法可識(shí)別不同地震動(dòng)激勵(lì)下對(duì)位移反應(yīng)貢獻(xiàn)較大的主導(dǎo)振型。根據(jù)該方法，先將各振型按質(zhì)量矩陣正則化處理，然后由式（15）計(jì)算其位移反應(yīng)相對(duì)貢獻(xiàn)值βn，將滿足閾值βd要求的振型遴選為主振型。

式中：rn=ΓnSd，n，為第n階振型的彈性峰值響應(yīng)；Sd，n為第n階振型的彈性位移譜譜值；βd為遴選閾值，表征主振型相對(duì)貢獻(xiàn)值的下限，該閾值大小可根據(jù)精度要求設(shè)置。一般認(rèn)為振型的相對(duì)貢獻(xiàn)值相差兩個(gè)數(shù)量級(jí)以上時(shí)，即閾值βd取為0.01時(shí)，相對(duì)貢獻(xiàn)值較小的振型貢獻(xiàn)可忽略不計(jì)。

3.2 計(jì)算流程

根據(jù)分析需要確定結(jié)構(gòu)的需求指標(biāo)。對(duì)于柱面網(wǎng)殼，常用需求指標(biāo)為最大節(jié)點(diǎn)位移、總體位移包絡(luò)、桿件軸力和結(jié)構(gòu)損傷因子［1］等。由于位移指標(biāo)宏觀上體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)剛度的變化，表征了結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的強(qiáng)弱。因此，本文以位移指標(biāo)作為柱面網(wǎng)殼的地震需求指標(biāo)。按照振型遴選結(jié)果，依次建立各主振型的等效單自由度體系，將各等效體系目標(biāo)位移處的反應(yīng)加以組合，便可得到對(duì)總體地震需求的預(yù)測(cè)。

綜合前文所述內(nèi)容，基于迭代等效推覆的柱面網(wǎng)殼地震需求計(jì)算方法流程可總結(jié)如下：①模態(tài)分析——結(jié)構(gòu)建模，獲取結(jié)構(gòu)的振型信息。②構(gòu)造ESDF體系——根據(jù)式（15）遴選結(jié)構(gòu)主振型，依次進(jìn)行各主振型的模態(tài)推覆分析。根據(jù)第1節(jié)方法，將各推覆結(jié)果代入式（6）、（7）和（9），構(gòu)造各主振型的ESDF體系。③確定目標(biāo)位移——采用第2節(jié)方法，計(jì)算各主振型ESDF體系在地震作用下的目標(biāo)位移。對(duì)于頻率較大的高階主振型，可預(yù)設(shè)其在地震作用下保持彈性，其峰值響應(yīng)可由彈性反應(yīng)譜直接計(jì)算，方法效率得以進(jìn)一步優(yōu)化。④預(yù)測(cè)總體需求——當(dāng)結(jié)構(gòu)響應(yīng)僅由第n階振型主導(dǎo)時(shí)，可參照傳統(tǒng)的推覆方法，提取目標(biāo)位移對(duì)應(yīng)的荷載因子χn，peak，采用模態(tài)荷載χn，peakMφn推覆結(jié)構(gòu)提取需求指標(biāo)；當(dāng)響應(yīng)由多階振型共同主導(dǎo)時(shí)，可采用CQC規(guī)則組合各主振型目標(biāo)位移處的振型響應(yīng)，進(jìn)而得到總體地震需求。

4 算例分析

4.1 模型信息

分別建立無(wú)山墻和考慮山墻約束的兩個(gè)單層柱面網(wǎng)殼模型。兩個(gè)模型編號(hào)依次為C203A和C203B，結(jié)構(gòu)布置如圖3所示。兩個(gè)柱面網(wǎng)殼幾何形狀相同，橫向跨度均為20 m，矢跨比為1/3，縱向長(zhǎng)度為36 m。如圖3所示，C203A和C203B的縱向柱腳均采用三向鉸接支座，此外，C203B在兩端邊跨桿件節(jié)點(diǎn)處增設(shè)豎向約束以考慮山墻對(duì)結(jié)構(gòu)變形的約束作用。

采用有限元軟件ANSYS進(jìn)行分析，結(jié)構(gòu)桿件采用梁?jiǎn)卧狟eam189模擬。桿件均為圓鋼管，鋼管截面如表1所示。考慮到C203A無(wú)山墻約束，故對(duì)其桿件進(jìn)行加強(qiáng)以保證結(jié)構(gòu)整體剛度滿足承載要求。模型中的鋼材密度為7 850 kg·m－3，材料特性采用文獻(xiàn)［12］中的鋼材試驗(yàn)擬合結(jié)果施加，其中彈性模量為2.06×105MPa，泊松比為0.3，屈服強(qiáng)度為235 MPa。在分析中，將結(jié)構(gòu)承受的均布荷載（120 kg·m－2）等效為集中質(zhì)量作用于結(jié)構(gòu)各桿件交匯節(jié)點(diǎn)處，集中質(zhì)量采用質(zhì)量單元mass21模擬。

圖3 模型結(jié)構(gòu)布置Fig.3 Structural layouts of numerical models

表1 模型桿件截面表Tab.1 Member section information mm

4.2 模態(tài)分析

表2列出了各模型中具有較大x向質(zhì)量參與系數(shù)βmass的前6階振型信息。由表2可知，無(wú)山墻約束的模型C203A整體較柔，結(jié)構(gòu)1階振型周期為1.23 s，其βmass為64.52%。結(jié)構(gòu)βmass較高的振型集中在低階振型中（第1、5階）。考慮山墻約束的模型C203B基本周期為0.55 s，由于該階振型為對(duì)稱(chēng)振型，其x向βmass為0，故未將其列入表2。但由此可以看出，盡管C203B采用了較小的桿件型號(hào)，但其基本周期仍小于C203A，這表明山墻約束對(duì)于結(jié)構(gòu)剛度有明顯的增強(qiáng)作用，考慮山墻約束的網(wǎng)殼采用較少的鋼材用量便可獲取較大的結(jié)構(gòu)剛度?？紤]山墻約束后，βmass最大的振型為第3階振型（60.61%），高階振型中出現(xiàn)了βmass大于10%的振型（第166階振型）。

表2 模態(tài)信息Tab.2 Modal information

4.3 地震波選取

選取中硬場(chǎng)地土和中軟場(chǎng)地土的各16條地震波作為地震動(dòng)激勵(lì)，輸入方向?yàn)閤向。由于C203A周期較長(zhǎng)，考慮地震動(dòng)的不利作用，將中軟場(chǎng)地土的地震波（S1～S16）作為C203A的地震動(dòng)輸入；相應(yīng)地，將中硬場(chǎng)地土的地震波（F1～F16）作為C203B的地震動(dòng)輸入。各地震波的偽加速度as反應(yīng)譜（取阻尼比ξ=0.02）繪于圖4。為保證結(jié)構(gòu)在地震作用下進(jìn)入彈塑性，對(duì)C203A和C203B，將選用的地震波按各結(jié)構(gòu)基本周期對(duì)應(yīng)的偽加速度譜譜值分別調(diào)幅為1.0g和2.0g。

圖4 地震動(dòng)偽加速度反應(yīng)譜Fig.4 Pseudo acceleration spectrums of seismic excitations

4.4 主振型ESDF體系

按第3節(jié)振型遴選方法，將各結(jié)構(gòu)前200階振型中位移響應(yīng)相對(duì)貢獻(xiàn)值βn大于0.01的主振型分布繪于圖5。由圖5可知，無(wú)山墻柱面網(wǎng)殼C203A的位移反應(yīng)主要由基本振型貢獻(xiàn)，存在少量高階振型貢獻(xiàn)值大于0.01，但該部分振型βn均小于0.1。與C203A不同，C203B的高貢獻(xiàn)振型分布較為廣泛。C203B的第2、3階振型在各地震動(dòng)作用下的相對(duì)貢獻(xiàn)值均大于0.4，這表明這兩階振型將共同主導(dǎo)該網(wǎng)殼的位移反應(yīng)。此外，結(jié)構(gòu)的高階振型在某些地震動(dòng)下也將產(chǎn)生大于0.1的相對(duì)貢獻(xiàn)值，這表明對(duì)于考慮山墻約束的柱面網(wǎng)殼，高階振型貢獻(xiàn)不可忽略。

本算例選取各結(jié)構(gòu)中貢獻(xiàn)較大的低階振型建立非線性ESDF體系，即C203A中第1階振型和C203B中第2、3階振型。采用式（6）和式（7）計(jì)算的各ESDF體系F-D曲線及初始雙折線等效曲線如圖6所示。由圖6可知，C203A的第1階、C203B的第2階ESDF體系的F-D曲線與初始等效曲線較為貼合，而在C203B的第3階ESDF體系中，兩條曲線所圍面積較大，采用初始等效曲線預(yù)測(cè)目標(biāo)位移可能產(chǎn)生較大誤差。對(duì)于高于3階的振型，由于其頻率較高，可預(yù)設(shè)其在地震作用下保持彈性，可采用彈性反應(yīng)譜計(jì)算其峰值響應(yīng)。

圖5 結(jié)構(gòu)各振型的位移貢獻(xiàn)相對(duì)值β nnFig.5 Modal relative contribution value of displacement β nn

4.5 計(jì)算結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文提出的迭代等效方法、基于迭代等效的推覆方法的有效性，本節(jié)分別采用一次等效的單模態(tài)推覆（S_MPA）方法、迭代等效的單模態(tài)推覆（SI_MPA）方法和迭代等效的多模態(tài)推覆（MI_MPA）方法計(jì)算各模型的地震需求，并將各方法結(jié)果與RHA結(jié)果比較。需要說(shuō)明的是，單模態(tài)推覆方法均以結(jié)構(gòu)中βmass最大的振型建立ESDF體系，按文獻(xiàn)［5］中的拓展模態(tài)推覆方法計(jì)算結(jié)構(gòu)地震需求；在多模態(tài)推覆中，選取相對(duì)貢獻(xiàn)值大于0.01的振型作為主振型，采用迭代等效方法依次計(jì)算各主振型ESDF體系的目標(biāo)位移，然后，將各目標(biāo)位移對(duì)應(yīng)的總體振型反應(yīng)采用CQC規(guī)則組合得到總體反應(yīng)。以結(jié)構(gòu)的地震位移需求為例，提取各方法計(jì)算結(jié)果中結(jié)構(gòu)的最大節(jié)點(diǎn)位移和結(jié)構(gòu)的整體位移包絡(luò)值作為指標(biāo)，用以比較各方法的預(yù)測(cè)精度。

4.5.1 最大節(jié)點(diǎn)位移

圖7a給出了模型C203A在各地震動(dòng)作用下x向和z向的最大節(jié)點(diǎn)位移，圖中各虛線為誤差標(biāo)準(zhǔn)線，節(jié)點(diǎn)位移的相對(duì)誤差按下式計(jì)算：

式中：dRHA表示采用時(shí)程分析得到的最大節(jié)點(diǎn)位移；dMPA表示采用推覆方法得到的最大節(jié)點(diǎn)位移。

從圖7a中可以看出，各推覆方法對(duì)C203A的各向最大節(jié)點(diǎn)位移預(yù)測(cè)誤差均處于±10%范圍內(nèi)。與S_MPA相比，SI_MPA結(jié)果精度更高，這表明迭代等效方法可有效提高目標(biāo)位移的預(yù)測(cè)精度?？紤]高階振型貢獻(xiàn)的MI_MPA與SI_MPA的x向最大節(jié)點(diǎn)位移結(jié)果相近，而MI_MPA的z向最大節(jié)點(diǎn)位移結(jié)果相對(duì)偏小，但其相對(duì)誤差仍處于±10%范圍內(nèi)。這表明對(duì)于單一振型控制的結(jié)構(gòu)，采用基于迭代等效的單模態(tài)推覆即可得到較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖7b為C203B最大節(jié)點(diǎn)位移結(jié)果對(duì)比。由圖可知，基于一次等效的S_MPA高估了結(jié)構(gòu)x向最大位移，同時(shí)低估了結(jié)構(gòu)z向最大位移。相比S_MPA，SI_MPA對(duì)結(jié)構(gòu)x向最大位移的大部分預(yù)測(cè)誤差均處于±20%范圍內(nèi)，但該方法依然低估了結(jié)構(gòu)z向最大位移。而MI_MPA對(duì)結(jié)構(gòu)的x向、z向最大位移的大部分預(yù)測(cè)誤差均處于±20%的范圍內(nèi)。這表明對(duì)于多振型主導(dǎo)的結(jié)構(gòu)，各主振型的貢獻(xiàn)不可忽略。

圖6 各等效單自由度體系F-D曲線Fig.6 F-D curves of ESDF systems

圖7 結(jié)構(gòu)的x向、z向最大節(jié)點(diǎn)位移對(duì)比Fig.7 Comparison of maximum nodal displacements in x and z direction

表3給出了采用3種方法得到的各結(jié)構(gòu)最大節(jié)點(diǎn)位移的誤差統(tǒng)計(jì)。由表3可知，對(duì)于C203A，SI_MPA在x向、z向最大節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算中均保持較低的平均誤差（1.7%和1.0%），MI_MPA的x向平均誤差較SI_MPA有所降低；其z向平均誤差為-5.8%，盡管稍高于SI_MPA的z向平均誤差，但仍處于合理的精度范圍。相比基于迭代等效的推覆結(jié)果，基于一次等效的推覆結(jié)果在各向最大位移的平均誤差均較大，這表明了迭代等效對(duì)于提高目標(biāo)位移預(yù)測(cè)精度、減小推覆結(jié)果誤差的有效性。對(duì)于地震反應(yīng)由多振型主導(dǎo)的C203B，多模態(tài)推覆方法MI_MPA顯示了其在x向、z向最大節(jié)點(diǎn)位移預(yù)測(cè)的適用性。相較單模態(tài)推覆，多模態(tài)推覆在x向、z向最大位移的平均誤差分別為11.3%和-10.8%。對(duì)于不同邊界條件的柱面網(wǎng)殼，多模態(tài)推覆方法的精度均保持穩(wěn)定。

4.5.2 整體位移包絡(luò)

結(jié)構(gòu)的整體位移包絡(luò)由各節(jié)點(diǎn)x向和z向位移峰值反應(yīng)dx和dz組成，該指標(biāo)反映了結(jié)構(gòu)在地震作用下各點(diǎn)的位移需求。限于篇幅，僅在圖8給出C203A在地震動(dòng)S1輸入下由各方法得到的包絡(luò)結(jié)果，在圖9繪出C203A在所有地震動(dòng)輸入下各點(diǎn)位移包絡(luò)均值。從圖中可以看出，C203A在地震作用下各向位移幅值較大的節(jié)點(diǎn)集中于網(wǎng)殼跨中兩側(cè)1/4跨度區(qū)域。各推覆方法得到的位移包絡(luò)分布模式均與時(shí)程分析結(jié)果較為接近。

表3 結(jié)構(gòu)最大節(jié)點(diǎn)位移誤差εd統(tǒng)計(jì)表Tab.3 Error εdstatistic of maximum nodal displacement %

圖8 模型C203A在S1作用下的各向整體位移包絡(luò)Fig.8 Displacement envelope results of C203A in seismic excitation S1

采用各推覆方法計(jì)算得到的整體位移包絡(luò)結(jié)果的總體偏差εtotal可采用下式計(jì)算：

式中：i為節(jié)點(diǎn)編號(hào)；N為結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

C203A偏差結(jié)果如圖10所示。由圖10可知，大部分情況下，S_MPA高估了C203A的各向位移包絡(luò)，SI_MPA的預(yù)測(cè)精度較高，而MI_MPA對(duì)結(jié)構(gòu)的z向位移包絡(luò)稍有低估。對(duì)于x向位移包絡(luò)，S_MPA、SI_MPA和MI_MPA的總體偏差平均值分別為6.5%、3.3%和3.4%；對(duì)于z向位移包絡(luò)，三者的總體偏差均值依次為1.3%、-1.7%和-5.2%。對(duì)于主導(dǎo)振型單一的結(jié)構(gòu)，3種方法均保持良好的預(yù)測(cè)精度。

圖9 模型C203A的各向整體位移包絡(luò)均值Fig.9 Average displacement envelope results of C203A

圖10 模型C203A各向位移總體偏差Fig.10 Overall error statistics of nodal displacements in x and z direction of C203A

圖11給出了C203B在地震動(dòng)F6作用下各方法計(jì)算得到的位移包絡(luò)結(jié)果。圖12為C203B在所有地震動(dòng)輸入下各點(diǎn)位移包絡(luò)的均值分布。由圖可知，考慮山墻約束的柱面網(wǎng)殼位移分布模式有所改變。網(wǎng)殼的x向位移響應(yīng)較大的節(jié)點(diǎn)集中于靠近縱邊約束的支座附近，而z向位移響應(yīng)較大的節(jié)點(diǎn)分布于網(wǎng)殼跨中兩側(cè)區(qū)域。對(duì)于x向位移包絡(luò)，3種推覆方法得到的位移分布模式較為接近，但S_MPA顯著高估了各點(diǎn)位移需求?；诘刃У耐聘卜椒ㄓ?jì)算結(jié)果與時(shí)程分析結(jié)果較為接近。對(duì)于z向位移包絡(luò)，單模態(tài)推覆方法無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)其位移分布模式，而多模態(tài)推覆方法在位移分布模式以及位移幅值上均可給出較好預(yù)測(cè)。

圖11 模型C203B在F6作用下的整體位移包絡(luò)Fig.11 Displacement envelope results of C203B in seismic excitation F6

圖12 模型C203B的整體位移包絡(luò)均值Fig.12 Average displacement envelope results of C203B

各推覆方法對(duì)C203B的整體位移包絡(luò)的總體偏差統(tǒng)計(jì)如圖13所示。由圖13可知，對(duì)于主導(dǎo)振型并不單一的結(jié)構(gòu)，S_MPA高估了結(jié)構(gòu)的各向位移包絡(luò)；SI_MPA可準(zhǔn)確與結(jié)構(gòu)的x向位移包絡(luò)，而其z向位移包絡(luò)結(jié)果的總體偏差較大；MI_MPA對(duì)C203B的各向位移包絡(luò)均可給出較好預(yù)測(cè)。對(duì)于x向位移包絡(luò)，S_MPA、SI_MPA和MI_MPA的總體偏差平均值分別為10.2%、-3.2%和-4.0%；對(duì)于z向位移包絡(luò)，三者的總體偏差均值依次為-14.6%、-20.3%和-0.9%。

圖13 模型C203B各節(jié)點(diǎn)的各向位移總體偏差Fig.13 Overall error statistics of nodal displacements in x and z direction of C203B

5 結(jié)論

本文以柱面網(wǎng)殼為研究對(duì)象，從能量角度構(gòu)建了全量格式的ESDF體系，提出迭代等效方法計(jì)算ESDF體系的目標(biāo)位移，由此建立迭代等效推覆方法用于計(jì)算結(jié)構(gòu)地震位移需求。根據(jù)數(shù)值算例計(jì)算結(jié)果，可得出以下結(jié)論：

（1）山墻約束對(duì)柱面網(wǎng)殼的動(dòng)力特性影響較大。對(duì)于無(wú)山墻約束的柱面網(wǎng)殼，其地震位移反應(yīng)主要由單階振型主導(dǎo)；而考慮山墻約束后，柱面網(wǎng)殼的地震反應(yīng)將由多階振型共同主導(dǎo)。

（2）相比一次等效方法，迭代等效方法可有效提高ESDF體系目標(biāo)位移的預(yù)測(cè)精度。

（3）當(dāng)結(jié)構(gòu)反應(yīng)由單階振型主導(dǎo)時(shí)，采用基于迭代等效的單模態(tài)推覆方法即可對(duì)地震位移需求做出較好的預(yù)測(cè)；當(dāng)結(jié)構(gòu)反應(yīng)由多階振型共同主導(dǎo)時(shí)，應(yīng)采用基于迭代等效的多模態(tài)推覆方法預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的地震需求。