范如國(guó)，王奕博*，羅 明，張應(yīng)青，朱超平

(1. 武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 武漢 430072；2. 廣西師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 廣西 桂林 541001；3. 貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院 貴陽(yáng) 550025)

新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生后，如何有效應(yīng)對(duì)、疫情何時(shí)出現(xiàn)拐點(diǎn)、何時(shí)能被有效控制等，已成為全中國(guó)乃至全球共同關(guān)注的重大問(wèn)題。

1 問(wèn)題提出與文獻(xiàn)回顧

本次疫情傳播呈現(xiàn)出典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特征，可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)疾病傳播模型進(jìn)行有效分析。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)經(jīng)典的疾病傳播模型包括SI 模型、SIR 模型、SIS 模型、SEIR 模型等[1]，在疾病傳播分析中起到了重要作用。最基礎(chǔ)的SI 模型將人群劃分易感狀態(tài)(S)和感染狀態(tài)(I)兩類(lèi)。易感人群以單位時(shí)間傳染概率 β被感染人群感染，人群規(guī)模為易感人群與感染人群的總和，該模型沒(méi)有考慮疾病被治愈或死亡的情況，在現(xiàn)實(shí)中較少能找到相應(yīng)情景。SIR 模型[2]在SI 模型基礎(chǔ)考慮了移出狀態(tài)(R)，對(duì)應(yīng)疾病被治愈或死亡的狀態(tài)，感染人群以單位時(shí)間傳染概率γ 由感染狀態(tài)轉(zhuǎn)移至移除狀態(tài)。SIS 模型[3]考慮了重復(fù)傳染的情況，經(jīng)歷了完整感染周期后，感染人群以單位時(shí)間傳染概率 σ由感染狀態(tài)轉(zhuǎn)移至易感狀態(tài)。SEIR 模型在SIR 模型基礎(chǔ)考慮了潛伏狀態(tài)(E)，易感狀態(tài)以單位時(shí)間傳染概率β 轉(zhuǎn)移至潛伏狀態(tài)，潛伏狀態(tài)以位時(shí)間傳染概率 γ轉(zhuǎn)移至感染狀態(tài)。在疾病傳播分析領(lǐng)域，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳播模型的應(yīng)用較為廣泛，眾多學(xué)者對(duì)SARS[4-9]、中東呼吸綜合征(MERS)[10-11]、HIV[12-14]等傳染疾病展開(kāi)建模分析。

本文基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，建立了帶有潛伏期的COVID-19 流行病SEIR 傳播動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)新型冠狀病毒的傳播及其拐點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，試圖為疫情防控提供理論支持和實(shí)踐指導(dǎo)。

2 疫情發(fā)展現(xiàn)狀及其特點(diǎn)

從全國(guó)、湖北和武漢市的疫情數(shù)據(jù)來(lái)看[15-17]，新冠肺炎每日新增確診病例雖略有波動(dòng)，但總體呈現(xiàn)明顯的上升趨勢(shì)，且累計(jì)確診病例上升趨勢(shì)均較為明顯(見(jiàn)圖1)。從圖1 可觀測(cè)到2020 年1 月27日每日新增確診病例數(shù)有明顯提高，經(jīng)推測(cè)與病毒檢測(cè)試劑盒的充足供給有關(guān)。2020 年2 月4 日后全國(guó)新增病例數(shù)波動(dòng)幅度明顯減小，推測(cè)疫情已達(dá)到增速拐點(diǎn)附近。

圖1 我國(guó)當(dāng)前新冠肺炎確診人數(shù)發(fā)展趨勢(shì)

進(jìn)一步地，從新增病例的增速來(lái)看(見(jiàn)圖2)，近幾日來(lái)，武漢市新增確診病例增速均超過(guò)湖北省和全國(guó)的增速，表明在各地政府相應(yīng)政策措施下，全國(guó)總體疫情正在得到有效控制，但湖北特別是武漢，其疫情發(fā)展及防控形勢(shì)依然比其他地區(qū)嚴(yán)峻。

圖2 確診病例增速趨勢(shì)

從除湖北省以外全國(guó)新增確診病例的情況來(lái)看(見(jiàn)圖3)，盡管連續(xù)兩日(2020 年1 月31 日和2 月1 日)出現(xiàn)總體下降的趨勢(shì)，但隨著全國(guó)各地復(fù)工和返程乘客的增加，2 月2 日和2 月3 日，湖北省外全國(guó)新增確診病例呈現(xiàn)不降反升的趨勢(shì)，表明隨著人口流動(dòng)和各地人員的聚集，加大了疫情傳播的風(fēng)險(xiǎn)，也增大了各地疫情防控的難度。

圖3 除湖北省外全國(guó)新增確診人數(shù)發(fā)展趨勢(shì)

由此可見(jiàn)，截至2020 年2 月8 日，全國(guó)疫情基本得到穩(wěn)定控制，但是湖北特別是武漢，未來(lái)趨勢(shì)依然嚴(yán)峻，疫情拐點(diǎn)依然不明朗。因此，針對(duì)武漢的特殊情況，結(jié)合本次新冠肺炎的傳播特點(diǎn)，本文采用SEIR 模型對(duì)新冠肺炎的傳播進(jìn)行研究。

3 基于SEIR 模型的武漢市新冠肺炎疫情傳播動(dòng)力學(xué)分析

從目前病例的觀察來(lái)看，此次武漢疫情的特點(diǎn)主要是病毒具有潛伏期。截至目前，國(guó)家衛(wèi)健委專(zhuān)家表示病毒的平均潛伏期大約在7 天左右，最長(zhǎng)14 天，且在潛伏期也有傳染性。而傳統(tǒng)的SIR 疾病傳播模型，缺少對(duì)潛伏期的刻畫(huà)，因此本文選擇包含4 種狀態(tài)(易感狀態(tài)-潛伏狀態(tài)-感染狀態(tài)-移出狀態(tài))的SEIR 模型[4]來(lái)對(duì)此次武漢市疫情的動(dòng)力學(xué)過(guò)程進(jìn)行分析。

SEIR 模型將研究對(duì)象分為S、E、I、R 4 種類(lèi)型：

1) S 為易感狀態(tài)(susceptible)，表示潛在的可感染人群，個(gè)體在感染之前是處于易感狀態(tài)的，即該個(gè)體有可能被鄰居個(gè)體感染。對(duì)應(yīng)本次疫情，S 并不是指城市人口總數(shù)，因?yàn)椴⒉皇撬腥硕加薪佑|到感染者的機(jī)會(huì)，在SEIR 模型中只有患病群體直接接觸到的人才處于易感狀態(tài)。

2) E 為潛伏狀態(tài)(exposed)，表示已經(jīng)被感染但沒(méi)有表現(xiàn)出感染癥狀來(lái)的群體。

3) I 為感染狀態(tài)(infected)，表示表現(xiàn)出感染癥狀的人，該個(gè)體還會(huì)以一定的概率感染其能接觸到的易感個(gè)體。

4) R 為移出狀態(tài)(removed)，表示脫離系統(tǒng)不再受到傳染病影響的人(痊愈、死亡或被有效隔離的人)。

記 S(t)、E(t)、I(t)、R(t)分別為時(shí)刻t 的易感人群數(shù)、潛伏人群數(shù)、感染人群數(shù)、移出人群數(shù)，顯然有 S(t)+E(t)+I(t)+R(t)≡N，其中N 為種群的個(gè)體數(shù)。

假設(shè)一個(gè)易感狀態(tài)在單位時(shí)間 τ里與感染個(gè)體接觸并被傳染的概率為β。由于易感個(gè)體的比例為S/N，時(shí)刻t 網(wǎng)絡(luò)中總共有I(t)個(gè)感染個(gè)體，所以易感個(gè)體的數(shù)目按照如下變化率減?。?/p>

相應(yīng)地，潛伏個(gè)體的數(shù)目按照如下變化率增加，并且整體以單位時(shí)間概率 γ1轉(zhuǎn)化為感染個(gè)體：

感染個(gè)體數(shù)目由潛伏群體提供，個(gè)體同時(shí)以單位時(shí)間概率 γ2轉(zhuǎn)化為移除狀態(tài)：

相應(yīng)地移除個(gè)體以概率 γ2由感染群體往移除個(gè)體轉(zhuǎn)化：

4 武漢市疫情傳播仿真及拐點(diǎn)預(yù)測(cè)分析

SEIR 模型對(duì)于參數(shù)設(shè)置的敏感度較高，參數(shù)設(shè)置不合理將會(huì)使預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。根據(jù)上文構(gòu)建的模型，從2019 年12 月8 日我國(guó)第一個(gè)不明原因肺炎發(fā)現(xiàn)者的報(bào)道時(shí)間作為第一天。國(guó)家衛(wèi)健委專(zhuān)家組成員于2020 年1 月21 號(hào)接受采訪表示新型冠狀病毒肺炎的潛伏期在7 天左右，本次新冠肺炎的潛伏期的均值假定為7 天。根據(jù)文獻(xiàn)[8]的研究表明，可設(shè)定 γ1為 潛伏期的倒數(shù)γ1=1/7 =0.142 9。

對(duì)于參數(shù) β 、 γ2和 N的設(shè)定，本文采用啟發(fā)式算法[18]，由于參數(shù) β表示的是易感個(gè)體單位時(shí)間里與感染個(gè)體接觸并被傳染的概率，參數(shù) γ2表示的是感染個(gè)體單位時(shí)間里轉(zhuǎn)移為移出群體的概率，故β,γ2∈[0,1]，本文對(duì)該范圍進(jìn)行隨機(jī)采樣，粒度為1×10?4。同時(shí)對(duì)N 也進(jìn)行隨機(jī)采樣，粒度為1 000，單位為人。把對(duì) β 、 γ2和 N的采樣過(guò)程進(jìn)行迭代，設(shè)置迭代次數(shù)，不斷對(duì) β 、 γ2和 N進(jìn)行隨機(jī)采樣并代入上一章節(jié)的微分方程求解，并通過(guò)均方根誤差(RMSE)最小的約束原則與真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)，優(yōu)化得到該粒度下的最優(yōu)解參數(shù)。

本文將研究群體總數(shù)定義為 N=S+E+I+R?；诖?，運(yùn)用Python 仿真平臺(tái)進(jìn)行模擬，可得新型冠狀病毒傳播過(guò)程中各群體隨時(shí)間的演化結(jié)果，如圖4 所示。

圖4 基于SEIR 模型的仿真結(jié)果(潛伏期7 天)

從圖4 可以看到，無(wú)論是E 型(暴露者)還是I 型(感染者)，在初期都呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，但增長(zhǎng)相對(duì)緩慢，在第40 天?第50 天(2020 年1 月16 日?1 月26 日)左右開(kāi)始加速增長(zhǎng)，在第75 天?第85 天(2020 年2 月20 日?3 月1 日)達(dá)到高峰，之后開(kāi)始下降直至消失。

本文將武漢的確診人數(shù)變化趨勢(shì)與圖中的I 型人群進(jìn)行擬合。當(dāng)前(2020 年2 月8 號(hào))為新冠肺炎爆發(fā)的第63 天，官方公布的確診人數(shù)為14 982人[2]。

1) 若按照上述給定的潛伏期(即7 天)進(jìn)行仿真，可得到I 型群體(即感染群體)人數(shù)的動(dòng)力學(xué)演化結(jié)果如圖5 所示。從圖5 可知，當(dāng)前武漢的感染群體演變階段處于該曲線的上升部分，且研究對(duì)象的總?cè)藬?shù)N 為189 000 人左右，即武漢市接觸新冠肺炎患者的總?cè)藬?shù)約為189 000 人。根據(jù)I 型曲線的發(fā)展趨勢(shì)可預(yù)測(cè)該群體的近期發(fā)展趨勢(shì)，I 型群體人數(shù)將在一段時(shí)間的上升后達(dá)到高峰，武漢的新冠肺炎感染人數(shù)的峰值可達(dá)到約31 500人，可以看到此次疫情傳播大約在第74 天(即2020 年2 月19 日)出現(xiàn)拐點(diǎn)，即疫情控制效果開(kāi)始顯現(xiàn)。

圖5 基于SEIR 模型的武漢市疫情預(yù)測(cè)結(jié)果(潛伏期7 天)

2) 由于對(duì)于疾病的統(tǒng)計(jì)研究尚處于初期階段，關(guān)于疾病的統(tǒng)計(jì)學(xué)指標(biāo)還沒(méi)有公認(rèn)結(jié)論，根據(jù)文獻(xiàn)[19]的最新研究表明，平均潛伏期為5.2 天。本文假定潛伏期為5 天，經(jīng)過(guò)仿真可得到I 型群體(即感染群體)人數(shù)的動(dòng)力學(xué)演化結(jié)果如圖6 所示。從圖6 可知，當(dāng)前武漢的感染群體演變階段處于該曲線的上升部分，且研究對(duì)象的總?cè)藬?shù)N 為141 000人左右，即武漢市接觸新冠肺炎患者的總?cè)藬?shù)約為141 000 人。根據(jù)I 型曲線的發(fā)展趨勢(shì)可預(yù)測(cè)該群體的近期發(fā)展趨勢(shì)，I 型群體人數(shù)將在一段時(shí)間的上升后達(dá)到高峰，武漢的新冠肺炎感染人數(shù)的峰值可達(dá)到約29 000 人，可以看到此次疫情傳播大約在第71 天(即2020 年2 月16 日)出現(xiàn)拐點(diǎn)，即疫情控制效果開(kāi)始顯現(xiàn)。

3) 若假定潛伏期為10 天，可得到I 型群體(即感染群體)人數(shù)的動(dòng)力學(xué)演化結(jié)果如圖7 所示。從圖7 可知，當(dāng)前武漢的感染群體演變階段處于該曲線的上升部分，且研究對(duì)象的總?cè)藬?shù)N 為215 000人左右，即武漢市接觸新冠肺炎患者的總?cè)藬?shù)約為215 000 人。根據(jù)I 型曲線的發(fā)展趨勢(shì)可預(yù)測(cè)該群體的近期發(fā)展趨勢(shì)，I 型群體人數(shù)將在一段時(shí)間的上升后達(dá)到高峰，武漢的新冠肺炎感染人數(shù)的峰值可達(dá)到約34 100 人，可以看到此次疫情傳播大約在第78 天(即2020 年2 月23 日)出現(xiàn)拐點(diǎn)，即疫情得到有效控制。

圖6 基于SEIR 模型的武漢市疫情預(yù)測(cè)結(jié)果(潛伏期5 天)

圖7 基于SEIR 模型的武漢市疫情預(yù)測(cè)結(jié)果(潛伏期10 天)

圖8 基于SEIR 模型的武漢市疫情預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比(潛伏期7 天)

4) 基于潛伏期為7 天的情景，為檢驗(yàn)易感人群規(guī)模對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響程度，本文將易感人群的初始值N 人工設(shè)置為原參數(shù)的兩倍，可得到同情景不同易感人口設(shè)置的情況下，I 型群體(即感染群體)人數(shù)的動(dòng)力學(xué)演化結(jié)果，如圖8 所示。可以看到，研究對(duì)象的總?cè)藬?shù)設(shè)定至原數(shù)值兩倍時(shí)，新型肺炎感染人數(shù)的新峰值由31 500 人升高至61 700 人，約為原感染人數(shù)的兩倍，響應(yīng)較為敏感。而疫情傳播人數(shù)的拐點(diǎn)由第74 天延后至第78 天，疫情得到有效控制的日期有少許延后，但響應(yīng)度一般。

5 結(jié)論與防控對(duì)策分析

從上述分析可以得出以下結(jié)論：

1) 除湖北之外全國(guó)疫情基本得到有效控制。無(wú)論從全國(guó)、湖北還是武漢來(lái)看，確診人數(shù)雖然依然呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，但除湖北外全國(guó)新增確診人數(shù)開(kāi)始出現(xiàn)拐點(diǎn)，表明全國(guó)疫情控制效果明顯。但湖北特別是武漢，增速仍然比除湖北外其他地區(qū)高，其疫情發(fā)展和防控形勢(shì)依然嚴(yán)峻。

2) 隨著全國(guó)各地復(fù)工和返程乘客的增加，疫情傳播的風(fēng)險(xiǎn)加大，各地疫情防控的難度也增大。從SEIR 模型擬合的結(jié)果來(lái)看，武漢當(dāng)前處于上升的中間階段，并且在未來(lái)一段時(shí)間感染患者的數(shù)量依然保持上升。隨著春節(jié)假期結(jié)束，越來(lái)越多的人返回武漢，在公眾場(chǎng)合暴露的人員(易感人群)增加，人們將有更大概率接觸到感染者，當(dāng)疾病傳播概率等條件不變的條件下，易感人群增加將會(huì)使疫情拐點(diǎn)向后延遲，并使感染總?cè)丝跀?shù)增加。

3) 武漢疫情拐點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)間在2020 年2 月20 日至25 日之間。在保持當(dāng)前的治愈率水平的基礎(chǔ)上，在3 種潛伏期的條件下，I 型群體的演變均呈現(xiàn)先上升后下降的變化趨勢(shì)，且其變化過(guò)程存在拐點(diǎn)。當(dāng)平均潛伏期分別為5 天、7 天與10 天的條件下，武漢市的感染患者數(shù)量達(dá)到的峰值分別為29 000 人、31 500 人與34 100 人，且疫情傳播的拐點(diǎn)分別為第71 天(2020 年2 月16 日)、第74 天(2020 年2 月19 日)與 第78 天(2020 年2 月23日)。武漢感染患者的數(shù)量依然持續(xù)保持上升。武漢當(dāng)前處于上升的中間階段，并且在未來(lái)一段時(shí)間感染患者的數(shù)量依然保持上升。

4) 易感人群數(shù)量增加將會(huì)提升感染人群的峰值，并且使疫情傳播人數(shù)的拐點(diǎn)后移，可能使得疫情的增速出現(xiàn)多個(gè)峰值。春運(yùn)返程將會(huì)向城市輸送數(shù)量龐大的人口，人員聚集在高鐵站、地鐵站、飛機(jī)場(chǎng)等公共場(chǎng)所。當(dāng)人群中存在潛伏病例或感染病例時(shí)，將會(huì)大幅度提高易感人群的數(shù)量。

在此基礎(chǔ)上，本文給出以下防控措施：

1) 建議武漢市大中小學(xué)開(kāi)學(xué)時(shí)間延遲到3 月后，確保學(xué)校安全。此次疫情的萬(wàn)幸之地是高校基本上沒(méi)有被感染。2) 隨著全國(guó)各個(gè)地方復(fù)工和返程乘客的增加，一定要做好返鄉(xiāng)人員的排查、隔離工作，防止疫情反彈。3) 需要盡快對(duì)存在確診或疑似病例患者的樓棟和小區(qū)進(jìn)行全面消毒，斬?cái)噙@些樓棟和小區(qū)的后續(xù)傳染能力。對(duì)主要街道進(jìn)行統(tǒng)一消毒。4) 組織傳染病專(zhuān)家在電視和微信上開(kāi)辟專(zhuān)題或公眾號(hào)，介紹流行病防治的經(jīng)驗(yàn)、故事和防護(hù)知識(shí)，進(jìn)行公共衛(wèi)生知識(shí)、良好衛(wèi)生習(xí)慣的宣傳普及。5) 組織高校心理學(xué)教師和社會(huì)組織心理服務(wù)團(tuán)隊(duì)，通過(guò)電視、微信、網(wǎng)絡(luò)等方式，介紹隔離期間心理疏導(dǎo)的有效方法，舒緩焦慮和恐慌心理。6) 利用中小學(xué)生隔離在家的機(jī)會(huì)，教育部門(mén)統(tǒng)籌布置各個(gè)學(xué)校加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行公共衛(wèi)生知識(shí)、公共衛(wèi)生習(xí)慣的普及教育，而不是著急網(wǎng)絡(luò)課程學(xué)習(xí)。