陳亦令，黃文琳，梁 進(jìn)

（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200092）

近些年，溫室效應(yīng)和氣候變化越來越引起人們關(guān)注。日益惡化的氣候嚴(yán)重危害了生態(tài)系統(tǒng)的平衡，例如造成氣候變暖，海平線上升與極端天氣等，對(duì)人類活動(dòng)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。碳減排已經(jīng)成為世界上日益緊迫和重要的問題。2005年《京都協(xié)議書》與2016 年《巴黎協(xié)定》的推出是全世界對(duì)碳減排采取的行動(dòng)。

我國高能耗工業(yè)面臨著日益嚴(yán)格的減排環(huán)境的巨大挑戰(zhàn)。 因此使用新型能源（風(fēng)能、太陽能、核能）和其他新技術(shù)來減少二氧化碳的排放成為政府和企業(yè)關(guān)注的焦點(diǎn)。例如，解決化石燃料和減排壓力之間關(guān)系的一個(gè)有效辦法是碳捕獲和儲(chǔ)存技術(shù)（CCS）的引進(jìn)。它能夠進(jìn)一步利用豐富的煤炭資源，同時(shí)減少燃燒產(chǎn)生的排放量。然而，新技術(shù)的引進(jìn)或者新清潔能源的使用，在較少二氧化碳排放的同時(shí)，也伴隨著高新減排技術(shù)發(fā)展的不均衡、投資回報(bào)的不確定性、高額的技術(shù)成本投入和持續(xù)的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用。故此，企業(yè)如何選擇投資減排技術(shù)時(shí)間成了迫在眉睫的問題。

企業(yè)碳減排技術(shù)最佳引進(jìn)時(shí)間問題可以借鑒實(shí)物期權(quán)的理論［1］。一個(gè)投資方案其產(chǎn)生的現(xiàn)金流量所創(chuàng)造的利潤，來自于截止到目前所擁有資產(chǎn)的使用，再加上一個(gè)對(duì)未來投資機(jī)會(huì)的選擇。實(shí)物期權(quán)就是處理這樣具有不確定性投資結(jié)果的非金融資產(chǎn)的一種投資決策工具，其理論通過Black-Scholes 期權(quán)理論對(duì)最優(yōu)決策時(shí)間點(diǎn)的選擇。Zhang 等［2］在碳價(jià)與技術(shù)成本不確定性下，假設(shè)碳捕獲技術(shù)的進(jìn)步滿足Poisson 過程，探究了碳捕獲技術(shù)投資優(yōu)化模型。Zhou 等［3］在實(shí)物期權(quán)模型框架下，考慮碳價(jià)與高新技術(shù)發(fā)展不確定性，探究了投資CCS 技術(shù)的最佳策略以及氣候政策對(duì)碳減排技術(shù)投資決策過程的影響。Fuss等［4］建立了一個(gè)具有隨機(jī)技術(shù)變化和隨機(jī)化石燃料價(jià)格的實(shí)物期權(quán)模型，并說明減排技術(shù)的更新?lián)Q代將推遲引進(jìn)時(shí)間。早期有Murto［5］考慮收益和技術(shù)的不確定性下，在實(shí)物期權(quán)模型下探究了最優(yōu)碳減排投資時(shí)刻問題，并通過降維方式得到一個(gè)簡化模型，進(jìn)行了求解。楊曉麗與梁進(jìn)［6-7］，郭華英與梁進(jìn)［8-9］針對(duì)碳減排和碳交易費(fèi)用問題，即控制碳減排率與碳交易等手段來降低碳減排成本，做了大量細(xì)致的研究。郭華英［10］在博士論文中，考慮碳排放率和技術(shù)成本兩個(gè)隨機(jī)過程，建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，探究最優(yōu)投資時(shí)刻問題，并在特殊情況下得到了相關(guān)方程的顯示解。這些研究重心在模型建立和實(shí)證研究，需要對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行更合理的構(gòu)建和更深刻的理論研究。而相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)上可以歸結(jié)為一種變形的HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）微分方程的理論，其研究具有很強(qiáng)的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。

本文在郭［10］模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用隨機(jī)微分方程來描述企業(yè)碳排放率和技術(shù)成本的不確定性，考慮技術(shù)的維護(hù)費(fèi)用，運(yùn)用實(shí)物期權(quán)理論，在碳排放率和技術(shù)成本雙重不確定性因素下，探究了企業(yè)碳減排技術(shù)最佳引進(jìn)時(shí)間問題，并將問題轉(zhuǎn)為求解一個(gè)HJB 方程的變分不等式問題，證明了值函數(shù)是該HJB方程的唯一粘性解。最后進(jìn)行了數(shù)值模擬與結(jié)果分析，給出減排技術(shù)投資意見。

除了引言部分，第1 節(jié)講述具體模型的構(gòu)建與目標(biāo)函數(shù)的探討。第2節(jié)給出了目標(biāo)函數(shù)的基本性質(zhì)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和粘性解的介紹。第3 節(jié)證明了目標(biāo)函數(shù)是對(duì)應(yīng)HJB 方程的唯一粘性解，并給出了一些數(shù)值模擬與結(jié)果分析，以此給出碳減排技術(shù)投資的指導(dǎo)意見。第4節(jié)進(jìn)行全文總結(jié)。

1 模型建立

以發(fā)電廠為代表的高能耗企業(yè)在生產(chǎn)過程中排放二氧化碳，且需繳納碳排放稅。為了減少碳排放稅的支出，企業(yè)需要引進(jìn)碳減排技術(shù)（CCS技術(shù)為代表）來減少碳排放。假設(shè)企業(yè)t時(shí)刻的二氧化碳排放率Qt滿足隨機(jī)過程：

式中：σ 為波動(dòng)率參數(shù)，表示企業(yè)的二氧化碳排放率的不確定性；Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，表示企業(yè)未來碳排放的不確定性，由生產(chǎn)過程、產(chǎn)品需求的不確定性造成，幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述企業(yè)碳排放率見文獻(xiàn)［11］。

式中：τ 為企業(yè)安裝引進(jìn)減排技術(shù)的時(shí)間；μ1和μ2為漂移參數(shù)，即排放率的長期增長率。假設(shè)μ1＞μ2，表示引進(jìn)減排技術(shù)后，公司的排放率增長率將降低，顯示新技術(shù)的減排效果。同時(shí)假設(shè)初始碳排放率Q0=Q，在引進(jìn)減排技術(shù)前后二氧化碳排放率連續(xù)，即Qτ-=Qτ+。

企業(yè)在引進(jìn)減排技術(shù)后，μ*=μ2，因此企業(yè)未來所支付的碳排放稅在t時(shí)刻的價(jià)值可表示為

式中：D(t)=exp(-rt)，表示t 時(shí)刻貼現(xiàn)因子；C ＞0，表示政府規(guī)定的碳稅率；r 為貼現(xiàn)率（市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率），且滿足r ＞μ1＞μ2，即減排后的排放率低于市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率。

企業(yè)引進(jìn)減排技術(shù)后，需要支出維護(hù)減排技術(shù)的管理成本。企業(yè)未來支付的管理費(fèi)在t 時(shí)刻的價(jià)值可表示為

式中：M為設(shè)管理費(fèi)率。

企業(yè)通過投資碳減排技術(shù)來降低自身的二氧化碳排放。通常，技術(shù)進(jìn)步以及新技術(shù)的普及率的提高，將導(dǎo)致碳減排技術(shù)的投資成本降低。假設(shè)企業(yè)在t時(shí)刻碳減排技術(shù)的投資成本It，滿足指數(shù)遞減模型［12］如下：

式中：κ為技術(shù)更新率，隨著技術(shù)的發(fā)展，減排技術(shù)成本降低。I0=I ＞0，表示引進(jìn)減排技術(shù)所需要的成本的初值大于零。進(jìn)一步假設(shè)碳減排技術(shù)投資是一個(gè)不可逆過程，一旦經(jīng)過技術(shù)改造，企業(yè)今后的生產(chǎn)方式不再改變。

企業(yè)考慮自身當(dāng)下的二氧化碳排放水平以及減排技術(shù)投資成本，選擇最佳的碳減排技術(shù)引進(jìn)時(shí)間，使得所支出的總預(yù)期碳減排成本最低。企業(yè)的總期望減排成本V(Q，I)可表示為

式中：Γ 表示在[0，∞]中取值的所有停時(shí)集合。注意到，Γ包含正無窮，公司可能選擇永遠(yuǎn)不引進(jìn)碳減排技術(shù)。式（6）包含4個(gè)部分：

（2）D(τ)Iτ，表示減排技術(shù)在τ 時(shí)刻的投資成本，包括設(shè)備購買的費(fèi)用和安裝的費(fèi)用等；

（3）D(τ)CQτ/(r-μ2)，表示引進(jìn)減排技術(shù)后，企業(yè)從τ時(shí)刻開始所需支付的碳稅；

（4）D(τ)M/r，表示引進(jìn)減排技術(shù)后，對(duì)維護(hù)減排技術(shù)支出的設(shè)備管理和運(yùn)營費(fèi)用。

根 據(jù) 動(dòng) 態(tài) 規(guī) 劃 原 理 ，對(duì) 于 任 意(Q，I)∈R+×R+，V(Q，I)滿足HJB方程：

式中：

狄利克雷邊界條件如下：

當(dāng)Q=0時(shí)，企業(yè)沒有碳排放，故也沒有減排成本。當(dāng)Q 非常大時(shí)，企業(yè)應(yīng)該立即引進(jìn)碳減排技術(shù)來降低成本。故當(dāng)τ=0時(shí)，企業(yè)的碳減排成本期望值為F(Q，I)。當(dāng)I 非常大時(shí)，減排技術(shù)引進(jìn)成本過高，企業(yè)將無限延長引進(jìn)技術(shù)的時(shí)間，此時(shí)碳排放率的漂移項(xiàng)一直為μ1，減排成本為CQ/(r-μ1)。

觀察到，定解問題（7）～（10）在數(shù)學(xué)上稱為自由邊界問題。決定最優(yōu)技術(shù)引進(jìn)時(shí)刻的本質(zhì)是確定自由邊界。自由邊界將引進(jìn)決策分為等候區(qū)域與實(shí)施區(qū)域。數(shù)值結(jié)果部分將做進(jìn)一步探討。

2 預(yù)備知識(shí)

本小節(jié)給出了值函數(shù)（6）的一些基本性質(zhì)，并為了后續(xù)研究，介紹了隨機(jī)控制理論的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和粘性解定義。

命題1值函數(shù)（6）滿足：

V(Q，I)關(guān)于Q和I連續(xù)，且是Q和I的增函數(shù)。

證明：式（11）的第一個(gè)不等號(hào)自然成立。當(dāng)最優(yōu)引進(jìn)時(shí)間τ=0，立即引進(jìn)新技術(shù)，有：

故式（11）成立，由此可知V 關(guān)于Q，I 都是一階線性增長。

對(duì)于任意h ＞0，假設(shè)τh是初始狀態(tài)(Q+h，I)的最優(yōu)引進(jìn)時(shí)刻，有V(Q+h，I)=Vτh(Q+h，I)。對(duì)于初始狀態(tài)(Q，I)，實(shí)施同樣的引進(jìn)時(shí)刻τh，經(jīng)過計(jì)算有：

故V 是Q 的增函數(shù)。同理，對(duì)于任意k ＞0，假設(shè)τk是公司在初始狀態(tài)(Q，I+k)時(shí)的最優(yōu)引進(jìn)時(shí)刻，有V(Q，I+k)=Vτk(Q，I+k)。 對(duì) 于 初 始 狀 態(tài)(Q，I)，實(shí)施同樣的引進(jìn)時(shí)刻τk，經(jīng)過計(jì)算有：

故V 是I 的增函數(shù)。同時(shí)取h，k 任意小，由式（13），（14）容易得到V(Q，I)關(guān)于Q和I連續(xù)。

接下來給出本文優(yōu)化問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理。詳細(xì)證明過程類似于文獻(xiàn)［13］。

命題2假設(shè)最優(yōu)引進(jìn)時(shí)刻為τ*。

當(dāng)τ*= 0，有：

當(dāng)τ*≠0，對(duì)于任意t ＞0，有：

由于HJB 方程（7）是一個(gè)非線性的退化的變分不等方程，目標(biāo)函數(shù)的光滑性很難在經(jīng)典解的意義下滿足HJB方程（7）。因此，介紹一種由Crandall 和Lions［14］提出的一種弱解：粘性解。

定義1連續(xù)函數(shù)-u是HJB方程(7)的粘性下解，當(dāng)且僅當(dāng)任意二次連續(xù)可微函數(shù)φ都有：

3 主要結(jié)果

3.1 理論結(jié)果

命題3 目標(biāo)函數(shù)V(Q,I)是HJB 方程(7)的粘性下解。

證明：對(duì)于任意初始狀態(tài)(Q0，I0)和任意引進(jìn)時(shí)刻τ，令φ 是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，滿足V(Q0，I0)=φ(Q0，I0)，使得V-φ 在(Q0，I0)達(dá)到局部最大值。假設(shè)最優(yōu)引進(jìn)時(shí)刻為τ*，當(dāng)τ=τ*=0，則有：φ(Q0，I0)=V(Q0，I0)=F(Q0，I0)。則對(duì)于任意(Q，I)∈R+×R+，由下確界性質(zhì)有：

當(dāng)τ*≠0，由動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和伊藤公式可以得到：

令t →0，則τ ∧t →0，在(Q0，I0)處，有：

由于算子Λ的上半連續(xù)性，對(duì)于任意τ，式（21）成立。故由式（19）和（21），得到式（17），命題得證。

隨著中國老齡化的加劇,老人的安全監(jiān)管問題已成為社會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)問題之一。據(jù)統(tǒng)計(jì),截至2015年6月,我國65歲以上老年人數(shù)量已接近2個(gè)億,占總?cè)丝诘?4.9%[1],這一比例明顯高于聯(lián)合國傳統(tǒng)老齡化社會(huì)標(biāo)準(zhǔn)。

命題4目標(biāo)函數(shù)V(Q,I)是HJB 方程(7)的粘性上解。

證明：對(duì)于任意初始狀態(tài)(Q0，I0)和任意引進(jìn)時(shí)刻τ，令ψ 是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，滿足V(Q0，I0)=ψ(Q0，I0)，使得V-ψ 在(Q0，I0)達(dá)到局部最小值。當(dāng)τ*=0，有ψ(Q0，I0)=V(Q0，I0)=F(Q0，I0)，則式（18）一定成立。當(dāng)τ*≠0，由式（19）與 局 部 最 小 性 質(zhì)，得 到ψ(Q，I)＜V(Q，I)＜F(Q，I)，故命題成立只需要證明：

式中：Qms是控制τ1（τ1與m有關(guān)）下式（1）的解。由局部最小性V ≥ψ，得到：

由伊藤公式，有：

兩邊乘m，有：

注意到當(dāng)τ*≠0，故當(dāng)m →∞，τ1＞0，則α→0。所以，任意s∈(0，α]，有：

由命題3和命題4可以得到以下定理。

定理1目標(biāo)函數(shù)(6)是HJB方程(7)的粘性解。

下面證明目標(biāo)函數(shù)（6）是HJB方程（7）的唯一粘性解。為了證明解的唯一性，建立以下比較原理。

定理2如果與分別是HJB 方程(7)的粘性下解和上解，且滿足：

則對(duì)任意(Q，I)∈R+×R+，有

證明：反證法。假設(shè)存在Z*=(Q*，I*)∈R+×R+，存在δ ＞0使得：

令Zi=(Qi，Ii)，i=1，2，定義輔助函數(shù)：

由于Φ連續(xù)性和條件（1），有：

式中，(Zk1，Zk2)是Φ的最大值點(diǎn)。這里將ε固定，強(qiáng)調(diào)最大值點(diǎn)(Zk1，Zk2)依賴于k。

由Φ(Zk1，Zk2)≥Φ(Z*，Z*)，取ε足夠小，有：

故有：

從Φ(Zk1，Zk2)≥Φ(Z*，Z*)和增長性條件（1），有：

因 此 有|Zk1|，|Zk2|≤Cε（存 在 常 數(shù)Cε＞0），故 當(dāng)k →∞，存在子序列(Zk1，Zk2)，有Zk1→Zε1，Zk2→Zε2（仍用k指代）。觀察到k|Zk1-Zk2|2≤Cε，有Zε1=Zε2=Zε當(dāng)k →∞。此 時(shí)，Zε=(Qε，Iε)依 賴 于ε。根 據(jù)Φ(Zk1，Zk2)≥Φ(Zε，Zε)，有：

令k →∞，有：

接下來，證明最大值點(diǎn)(Zk1，Zk2)不在邊界取到。

如果Zε在定解問題邊界上，例如Zε=(0，Iε)，從狄利克雷邊界條件（2）和式（30），有：

得到矛盾。同理，當(dāng)Zε=(Qε，∞)，Zε=(∞，Iε)，也能得到類似式（34）的矛盾。

根 據(jù)Ishii's Lemma［14］，經(jīng) 過 計(jì) 算，有：

式中：Y1，Y2屬于二階導(dǎo)數(shù)矩陣集為單位矩陣。D2(u)具體定義見文獻(xiàn)［10］。

其中：

式（37）減去式（38）得到：

令k →∞，運(yùn)用式（30）和式（33），有：

由式（34）及其分析可知，最大值點(diǎn)(Qε，Iε)不可能在無窮遠(yuǎn)處取到，故當(dāng)ε 足夠小，式（44）成立，這與A1-A2≤0矛盾。同理，有：

與B1-B2≤0矛盾。故式（43）不成立，定理得證。

根據(jù)定理2（比較原理），可以得到以下定理：

定理3任意(Q,I)∈R+× R+，目標(biāo)函數(shù)(6)是HJB方程(7)的唯一粘性解。

3.2 數(shù)值結(jié)果

接下來對(duì)HJB方程（7）進(jìn)行差分?jǐn)?shù)值求解，并給出目標(biāo)函數(shù)與企業(yè)最佳減排技術(shù)引進(jìn)邊界的數(shù)值結(jié)果。HJB 方程的差分格式建立參考Forsyth［15］的方法。大致思路如下：將I看作拋物方程的t方向，構(gòu)建隱式差分格式，倒向逐層求解。

基本參數(shù)設(shè)置如下：μ1=0.007，μ2=0.002，σ=0.15，κ=0.02，C=10，M=10。考 慮帶 狀 區(qū)域{Q ∈[0，50]，I ∈[0，3 500]}，構(gòu)建 如 下網(wǎng) 格：hq=0.1，hi=50，

定解問題（7）～（10）的離散形式：

其中：

相應(yīng)的邊界條件（10）的離散形式為

注意到，當(dāng)二氧化碳排放率非常大時(shí)，企業(yè)傾向于立即引進(jìn)技術(shù)，結(jié)合二階導(dǎo)數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零的假設(shè)，令得到VN，j。同時(shí)，當(dāng)碳減排技術(shù)初始成本非常大時(shí)，企業(yè)選擇不引進(jìn)新技術(shù)，故Vi，M為企業(yè)選擇不引進(jìn)新技術(shù)與立即引進(jìn)新技術(shù)的企業(yè)減排總成本中的較小者。

采用高斯消去法求解得到V~i，j。故根據(jù)式（7），得到：

圖1展示了在最優(yōu)時(shí)刻引進(jìn)碳減排技術(shù)下的企業(yè)碳減排成本三維圖?？梢杂^察到，成本V 是碳排放率Q和技術(shù)成本I的增函數(shù)，這與命題1中的理論結(jié)果相符合。

圖1 值函數(shù)三維圖Fig.1 Three dimensional graph of value function

圖2 中的曲線是數(shù)學(xué)問題（7）～（10）的自由邊界，即企業(yè)的最佳減排技術(shù)引進(jìn)邊界。令企業(yè)最佳減排技術(shù)引進(jìn)邊界（最優(yōu)實(shí)施邊界）為ρ：R+→R+，任意Q*都存在I*=ρ(Q*)。它將平面分為兩部分。給定企業(yè)現(xiàn)在碳排放率Q*和技術(shù)成本I，就能決定現(xiàn)在是否引進(jìn)減排技術(shù)。當(dāng)I ≥I*，暫時(shí)不引進(jìn)技術(shù)，等候投資；當(dāng)I ＜I*，立即引進(jìn)技術(shù)。

最佳引進(jìn)邊界數(shù)值求解方法如下：給定I*=Ij，尋找Q*=Qi*滿足V~i*，j=Fi*，j，故I*=ρ(Qi*)。當(dāng)找不 到i*=0，1，…，N 滿 足V~i*，j=Fi*，j時(shí)，i*=N，Q*=QN。數(shù)值結(jié)果顯示，任意I*，存在至多一個(gè)Q*滿足I*=ρ(Q*)，這由函數(shù)V 和F 都是Q 的增函數(shù)保證。

從圖2 可以看出，企業(yè)的最佳實(shí)施邊界將平面分為兩部分，邊界的左側(cè)為等待區(qū)域，當(dāng)企業(yè)的碳排放率和技術(shù)成本落在邊界左側(cè)，企業(yè)不引進(jìn)新技術(shù)。邊界的右側(cè)為立即實(shí)施區(qū)域。當(dāng)企業(yè)的碳排放率和技術(shù)成本落在邊界右側(cè)，企業(yè)立即投資新技術(shù)降低減排成本。同時(shí)最優(yōu)實(shí)施邊界ρ是Q的增函數(shù)。也就是說，當(dāng)其碳排放率非常大時(shí)，企業(yè)將在技術(shù)成本更大的時(shí)候才會(huì)選擇等待，否則立即引進(jìn)。站在企業(yè)的角度，希望等候區(qū)域面積大，此時(shí)不需要引進(jìn)新技術(shù)且減排成本較小。而站在政府的角度，希望實(shí)施面積大，讓大部分企業(yè)都投資新技術(shù)，降低二氧化碳排放。

圖2 企業(yè)最佳碳減排技術(shù)引進(jìn)邊界與碳稅率、貼現(xiàn)利率、技術(shù)更新率和技術(shù)維護(hù)費(fèi)率的關(guān)系Fig.2 The relationship between the introduction boundary of the optimal carbon emission reduction technology for enterprises and the carbon tax rate, discount rate, technology renewal rate as well as technology maintenance rate

圖2 也展示了企業(yè)最佳減排技術(shù)引進(jìn)邊界（最優(yōu)實(shí)施邊界）與碳稅率、貼現(xiàn)利率、技術(shù)更新率和技術(shù)維護(hù)費(fèi)率的關(guān)系。圖2a 展示了企業(yè)等待區(qū)域是政府碳稅率C 的減函數(shù)。即如果碳稅率C 較大，投資新技術(shù)帶來的節(jié)省成本效果更好，企業(yè)將考慮在較低排放率時(shí)引進(jìn)新技術(shù)，則等待區(qū)域變小。故政府可以提高碳稅迫使企業(yè)引進(jìn)新技術(shù)降低碳排放。圖2b說明等待區(qū)域是貼現(xiàn)利率r的增函數(shù)。當(dāng)貼現(xiàn)利率比較大時(shí)候，即無風(fēng)險(xiǎn)利率較大時(shí)，企業(yè)傾向于在碳排放Q 較大時(shí)引進(jìn)技術(shù)，企業(yè)待在等候區(qū)域更久，讓引進(jìn)技術(shù)成本的貼現(xiàn)值更低。故此，政府可以降低利率加快企業(yè)碳減排進(jìn)程，而企業(yè)在利率較高時(shí)推遲投資新技術(shù)。圖2c表明等待區(qū)域是技術(shù)更新率κ 的減函數(shù)。當(dāng)減排技術(shù)發(fā)展較快時(shí)，引進(jìn)成本降低快，企業(yè)選擇等待引進(jìn)時(shí)間更少，更容易碰到自由實(shí)施邊界，選擇引進(jìn)新技術(shù)。圖2d表明等待區(qū)域是技術(shù)維護(hù)費(fèi)率M的增函數(shù)。當(dāng)技術(shù)維護(hù)費(fèi)率較大時(shí)，引進(jìn)技術(shù)后的維護(hù)成本較高，企業(yè)在碳排放率Q較大時(shí)才會(huì)引進(jìn)減排技術(shù)，以此增加等待時(shí)間減少維護(hù)成本。所以，當(dāng)碳排放率高時(shí)，政府與企業(yè)都希望碳減排技術(shù)能快速發(fā)展，降低引進(jìn)成本與維護(hù)成本。

4 結(jié)語

高能耗企業(yè)面臨碳減排政策的壓力日益嚴(yán)峻。運(yùn)用實(shí)物期權(quán)理論，在郭［10］模型的基礎(chǔ)上，考慮碳排放率和技術(shù)成本雙重不確定性因素，建立了企業(yè)碳減排技術(shù)最佳引進(jìn)時(shí)間的數(shù)學(xué)模型。運(yùn)用最優(yōu)隨機(jī)控制理論，將問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)HJB 方程的變分不等式問題。在粘性解的框架下，探究了目標(biāo)函數(shù)的基本性質(zhì)，證明了目標(biāo)函數(shù)是相應(yīng)HJB 方程的唯一粘性解。對(duì)模型進(jìn)行了數(shù)值分析。從數(shù)值結(jié)果可以看出，政府可以通過提高碳稅率和降低利率迫使企業(yè)引進(jìn)碳減排技術(shù)來降低碳排放。而當(dāng)利率較高時(shí)，企業(yè)應(yīng)該推遲引進(jìn)技術(shù)，將資本投資于其他市場(chǎng)。當(dāng)碳減排技術(shù)快速發(fā)展時(shí)，企業(yè)應(yīng)盡早引進(jìn)新技術(shù)，較少碳排放成本。