欒天成, 郝景萌

(廣州大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州 510006)

0 引 言

伽馬射線(xiàn)暴(簡(jiǎn)稱(chēng)伽馬暴)是宇宙中最劇烈的能量釋放現(xiàn)象，是一種來(lái)自宇宙中的伽馬射線(xiàn)在短時(shí)間內(nèi)迅速增強(qiáng)隨后又減弱的現(xiàn)象.關(guān)于伽馬暴的起源以及其形成的物理機(jī)制，從20世紀(jì)60年代被發(fā)現(xiàn)至今，一直都是天體物理學(xué)中的熱門(mén)話(huà)題.根據(jù)其持續(xù)的時(shí)間長(zhǎng)短，伽馬暴可以被分為兩種類(lèi)型：長(zhǎng)暴(持續(xù)時(shí)間大于2 s)和短暴(持續(xù)時(shí)間小于2 s).近年來(lái)，有越來(lái)越多的觀(guān)測(cè)證據(jù)表明[1-3]，長(zhǎng)暴是來(lái)源于大質(zhì)量恒星塌縮的產(chǎn)物[4-5]，而短暴是源自于致密雙星系統(tǒng)(雙中子星或一個(gè)中子星一個(gè)黑洞)的合并[6].為了能夠更好地理解伽馬暴的前身星系統(tǒng)以及它的中心引擎，對(duì)于產(chǎn)生伽馬暴的噴流張角和能量結(jié)構(gòu)的限制是至關(guān)重要的[7-8].在之前的研究中，人們更傾向于假設(shè)伽馬暴噴流能量是存在著特殊的角結(jié)構(gòu)的，而并非是最簡(jiǎn)單的各向同性輻射[9-12].特別地，Zhang等[13]考慮了一個(gè)具有高斯分布的能量角結(jié)構(gòu)模型并嘗試去解釋伽馬暴的觀(guān)測(cè)性質(zhì).Pescalli等[14]探討了具有冪律分布結(jié)構(gòu)的伽馬暴噴流對(duì)其光度函數(shù)的影響.Salafia等[15]還在其工作中進(jìn)一步探索了這兩種不同角結(jié)構(gòu)模型的性質(zhì).基于觀(guān)測(cè)值EX/Eγ(各向同性等值的早期X射線(xiàn)余輝能量與伽馬能段能量的比值)，以及長(zhǎng)暴的光度函數(shù)，Beniamini等[16]探討了伽馬暴的各種噴流角結(jié)構(gòu)模型.另外，引力波與伽馬暴的聯(lián)合探測(cè)也被用來(lái)限制不同的噴流角結(jié)構(gòu)模型[17].總的說(shuō)來(lái)，以上提到的高斯、冪律分布的噴流能量結(jié)構(gòu)模型，加上標(biāo)準(zhǔn)均勻分布模型目前正在被廣泛地研究與討論，盡管到目前為止,人們對(duì)于最適合的噴流結(jié)構(gòu)模型及其對(duì)于伽馬暴各種觀(guān)測(cè)特征的潛在影響，仍然沒(méi)有達(dá)成共識(shí).

本文研究了伽馬暴噴流的各種能量角結(jié)構(gòu)模型對(duì)其能量及紅移分布的影響，再利用伽馬暴的可用觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)并結(jié)合蒙特卡洛模擬的方法，來(lái)嘗試限制噴流角結(jié)構(gòu)模型.因?yàn)橄噍^于短暴，長(zhǎng)暴有著更大并且更完備的樣本，本文的討論僅限定于長(zhǎng)暴.本文第一節(jié)中，介紹不同的噴流結(jié)構(gòu)模型和所采用的蒙特卡洛模擬方法；在第二節(jié)中，給出模擬的結(jié)果；在第三節(jié)中，進(jìn)行總結(jié)與討論.本文中所采用的宇宙學(xué)參數(shù)是H0=71 km s-1Mpc-1,ΩM=0.3,ΩΛ=0.7.

1 噴流模型和蒙特卡洛模擬

1.1 噴流模型

在本工作中，將考慮三種之前被廣泛研究和討論的噴流角結(jié)構(gòu)模型.第一種是標(biāo)準(zhǔn)均勻分布噴流模型[9]：該模型假設(shè)單位立體角內(nèi)的能量ε(θ)在噴流錐形張角內(nèi)部是一個(gè)常數(shù)，而在張角的外部則為0.其公式如下：

(1)

其中，θj是噴流的半偏角大小.之前的研究一般將該角度的大小限制在5°～15°之間[18-20].本文中，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只選取3個(gè)固定的角度值進(jìn)行研究，即θj=5°、15°和30°.另兩種模型就是所謂的有結(jié)構(gòu)的噴流模型，這類(lèi)模型中的噴流都具有固有的各向異性特征，而伽馬暴的變化則主要取決于不同的觀(guān)測(cè)角度θv.對(duì)于冪律分布和高斯分布噴流模型，ε(θ)作為隨噴流軸夾角變化的函數(shù)，分別為[21]

(2)

和

ε(θ)=ε0e-(θ/θ0)2

(3)

其中,θ0代表著噴流錐的典型半偏角大小，在本文中θ0取值設(shè)為2°.特別地，對(duì)于冪率分布噴流模型，考慮a=2和4這兩個(gè)不同的值.因此，伽馬暴噴流的總能量Ej可以通過(guò)在所有立體角內(nèi)對(duì)ε(θ)積分得到：

(4)

伽馬暴的各向同性總能量Eiso則可以簡(jiǎn)單地通過(guò)下式的計(jì)算得到：

Eiso=4πε(θv)

(5)

1.2 蒙特卡洛模擬

為了更好地說(shuō)明伽馬暴的噴流結(jié)構(gòu)模型是如何影響其能量與紅移分布的，利用蒙特卡洛模擬方法生成了一個(gè)長(zhǎng)暴的模擬樣本.每一個(gè)通過(guò)模擬產(chǎn)生的長(zhǎng)暴都以一組參數(shù)標(biāo)識(shí)，即紅移z、總能量Ej和觀(guān)測(cè)角度θv.這三個(gè)參數(shù)分別根據(jù)以下假設(shè)通過(guò)隨機(jī)過(guò)程生成：

(1)伽馬暴的紅移由一個(gè)概率分布函數(shù)p(z)給出.該函數(shù)可以通過(guò)對(duì)長(zhǎng)暴的固有爆發(fā)率在紅移z=0～10區(qū)間進(jìn)行歸一化得到，其形式為

(6)

其中,Az是歸一化常數(shù)，dV/dz是在單位紅移內(nèi)的共動(dòng)體積元，而Θ(Zth,z)則表示金屬豐度在閾值Zth以下的恒星質(zhì)量占比[22]，其形式為

(7)

(8)

(2)總能量可以從一個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)得到，其形式為

(9)

其中，AE是歸一化常數(shù).上式中正態(tài)分布的中心值Ec和標(biāo)準(zhǔn)差σEj是自由參數(shù)，它們的值可以通過(guò)與觀(guān)測(cè)之間的比較來(lái)限制.

(3)分配給每一個(gè)事件一個(gè)觀(guān)測(cè)角度，該角度可以通過(guò)概率分布函數(shù)p(θv)dθv=sin(θv)dθv在范圍[0～π/2]內(nèi)得到.對(duì)于均勻分布模型的情況，如果觀(guān)測(cè)角度θv>θj，那么這個(gè)伽馬暴將無(wú)法被探測(cè)到.但是對(duì)于有結(jié)構(gòu)的噴流模型而言，噴流并不存在一個(gè)明確的邊界.

logEpeak=-29.6+0.61logEiso

(10)

(11)

其中,dL是光度距離，k(z)是k改正因子，可以通過(guò)下式計(jì)算：

(12)

其中,N(E)代表觀(guān)測(cè)者參考系中的光子數(shù)能譜.

1.3 一致性檢測(cè)

1.3.1 觀(guān)測(cè)樣本的選取

截至2018年7月底，Swift-BAT共計(jì)探測(cè)到了1 247個(gè)伽馬暴(從GRB041217到GRB180728)[32]，從中選取628個(gè)通量大于閾值F[15-150]≥10-6erg cm-2的長(zhǎng)暴.在這些源中，有271個(gè)長(zhǎng)暴是有紅移探測(cè)的，本文將這271個(gè)長(zhǎng)暴作為對(duì)比與分析的觀(guān)測(cè)樣本.

1.3.2 模型與觀(guān)測(cè)的一致性檢驗(yàn)

模型有兩個(gè)自由參數(shù)，即Ec和σEj，用以表征噴流總能量的對(duì)數(shù)正態(tài)分布.對(duì)于每一對(duì)所選取的自由參數(shù)，運(yùn)行一遍模擬程序以生成由104個(gè)“被探測(cè)到”的伽馬暴所組成的一組模擬樣本.然后，與Kanaan等[33]的方法類(lèi)似，先計(jì)算模擬伽馬暴樣本的通量分布，并通過(guò)與Swift-BAT觀(guān)測(cè)到的真實(shí)樣本進(jìn)行比較來(lái)限制不同噴流模型下的這兩個(gè)自由參數(shù).模擬樣本與觀(guān)測(cè)樣本的通量分布一致性可以通過(guò)2檢驗(yàn)來(lái)判定：

(13)

其中,fi,obs和fi,sim分別代表在第i個(gè)區(qū)間塊中的觀(guān)測(cè)與模擬樣本通量的概率.在不同的自由參數(shù)組合下，通過(guò)不斷重復(fù)上述蒙特卡洛模擬步驟，最終找到2值最小的一對(duì)自由參數(shù)，而這對(duì)參數(shù)值便代表了最優(yōu)的參數(shù)選擇.

2 結(jié) 果

表1給出了與觀(guān)測(cè)樣本的通量分布符合最好的自由參數(shù)組.對(duì)于不同的噴流結(jié)構(gòu)模型，能量中心值Ec的差別并不是很大，基本所有模型都處在50附近，除了a=2的冪律分布模型要偏大約2個(gè)數(shù)量級(jí).這些結(jié)果表明,除了a=2的冪律分布模型，伽馬暴的噴流總能量可能要比直接通過(guò)觀(guān)測(cè)推導(dǎo)出的各向同性能量少2個(gè)數(shù)量級(jí)以上.

表1 卡方最優(yōu)參數(shù)列表

Table 1 Best parameters constrained by 2

表1 卡方最優(yōu)參數(shù)列表

ModellogEcσEj 2Const_5dgre49.791.790.129Const_15dgre50.791.930.127Const_30dgre50.532.540.132Gaussian49.611.930.118PL_2a52.711.550.131PL_4a49.861.870.113

在確定最優(yōu)自由參數(shù)組之后，可以進(jìn)一步得到各種噴流模型下模擬伽馬暴樣本的紅移和各向同性的總能量分布，并與觀(guān)測(cè)進(jìn)行比較.圖1給出了均勻分布模型下伽馬暴各向同性能量Eiso的分布與觀(guān)測(cè)的比較.其中噴流張角分別取值5°、15°和30°，并以實(shí)線(xiàn)、虛線(xiàn)和點(diǎn)虛線(xiàn)表示.然后利用Kolmogorov-Smirnov(K-S)測(cè)試來(lái)檢驗(yàn)?zāi)M與觀(guān)測(cè)樣本之間的一致性.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在3個(gè)角度中，只有當(dāng)θj的取值為30°的時(shí)候，K-S 檢驗(yàn)的結(jié)果給出P>0.05，這意味著Eiso的分布與觀(guān)測(cè)比較一致，而對(duì)于5°和15°的情況，K-S 檢驗(yàn)只給出P<0.05.高斯分布模型和冪律分布模型與觀(guān)測(cè)的比較分別見(jiàn)圖2～圖3.對(duì)所有模型K-S檢驗(yàn)的結(jié)果都小于0.05.

圖3 冪律噴流分布模型模擬的各向同性能量概率密度分布圖

圖2 高斯噴流分布模型模擬的各向同性能量概率密度分布圖

圖1 均勻噴流分布模型模擬的各向同性能量概率密度分布圖

對(duì)于紅移而言，三種噴流張角結(jié)構(gòu)模型(常數(shù)、高斯和冪率)的紅移與觀(guān)測(cè)紅移的累積分布分別見(jiàn)圖4～圖6，其中對(duì)應(yīng)的與觀(guān)測(cè)紅移分布之間的K-S檢驗(yàn)P值已在各自圖中右下角標(biāo)出.無(wú)論是對(duì)于均勻分布模型，還是對(duì)于高斯分布和冪率分布模型，給出的結(jié)果區(qū)別都不大，K-S檢驗(yàn)都得出了一個(gè)相當(dāng)?shù)偷母怕?P<0.05).所有模型都低估了低紅移伽馬暴的數(shù)量.

圖4 均勻噴流分布模型模擬的紅移累積分布圖

圖5 高斯噴流分布模型模擬的紅移累積分布圖

圖6 冪律噴流分布模型模擬的紅移累積分布圖

3 總結(jié)與討論

了解伽馬暴的噴流張角和能量結(jié)構(gòu)對(duì)于進(jìn)一步理解伽馬暴的前身星系統(tǒng)以及它的中心引擎是至關(guān)重要的.本文利用蒙特卡洛模擬的方法，研究了均勻分布、高斯分布及冪律分布三種伽馬暴噴流的能量角結(jié)構(gòu)模型對(duì)其各向同性能量及紅移分布的影響.首先，通過(guò)模擬樣本與觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的通量分布的比較，限制了不同模型下假設(shè)為對(duì)數(shù)正態(tài)分布的伽馬暴噴流總能量分布的特征參數(shù).發(fā)現(xiàn)能量中心值分布在49.790.05).然而對(duì)于紅移分布，所有模型的結(jié)果都比較相似，并且與觀(guān)測(cè)符合得不是很好.模擬與觀(guān)測(cè)的區(qū)別主要來(lái)自于低紅移端，說(shuō)明所有模型都低估了低紅移伽馬暴的數(shù)量.總之，目前的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)可能還不足以區(qū)分三種噴流模型.

模擬結(jié)果與觀(guān)測(cè)的差異可能來(lái)自于以下兩個(gè)方面：①模擬所采用的模型比較簡(jiǎn)單.一方面，模型中很多參數(shù)都被設(shè)為了定值，例如，金屬豐度閾值等；另一方面，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，忽略了噴流的相對(duì)論效應(yīng)、伽馬暴光度函數(shù)和噴流張角等可能存在的紅移演化；②簡(jiǎn)化了Swift-BAT探測(cè)器的探測(cè)標(biāo)準(zhǔn).在本文中，采用了一個(gè)單一的通量閾值作為伽馬暴能否被探測(cè)到的標(biāo)準(zhǔn).而事實(shí)上，Swift-BAT的伽馬暴觸發(fā)機(jī)制非常復(fù)雜.因此，低通量伽馬暴的截?cái)嘤锌赡軙?huì)導(dǎo)致低紅移伽馬暴的低估.

在后續(xù)工作中，筆者會(huì)持續(xù)改進(jìn)工作，例如，考慮一個(gè)更復(fù)雜的模型，采用更好的閾值標(biāo)準(zhǔn)，使用馬爾科夫鏈?zhǔn)厦商乜?MCMC)方法替代蒙特卡洛方法直接從離散觀(guān)測(cè)樣本分布中采樣，還有增加觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)上的限制，進(jìn)一步探究各種因素對(duì)噴流模型的影響，從而能對(duì)模型進(jìn)行更好的限制.