程怡豪，王明洋，王德榮，宋春明，岳松林，譚儀忠

（1. 陸軍工程大學(xué)國防工程學(xué)院，江蘇 南京 210007；2. 陸軍工程大學(xué)野戰(zhàn)工程學(xué)院，江蘇 南京 210007；3. 南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094）

數(shù)十年來，國內(nèi)外學(xué)者采用空腔膨脹理論開展了針對金屬、混凝土、巖石和陶瓷等多種靶體材料侵徹阻力的研究，并根據(jù)研究的需要將侵徹阻力顯式地表達為速度相關(guān)的多項式函數(shù)[1-16]，其中常數(shù)項阻力被理解為靶體的靜阻力項，常以符號Rt表示。關(guān)于Rt的本質(zhì)的認識目前比較模糊，其中：Anderson[1]認為Rt是與材料基本力學(xué)行為密切相關(guān)的半經(jīng)驗參數(shù)而并非材料常數(shù)；Rosenberg 等[16]則根據(jù)數(shù)值計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)Rt與彈體材料和撞擊速度無關(guān)，可以僅通過材料強度準則和彈性常數(shù)確定。此外，金屬的Rt的取值通常超過其Hugoniot 彈性極限（HEL）直至其若干倍[1,17]，巖石和混凝土等材料的Rt的取值通常小于其HEL[18-20]，而陶瓷類材料的Rt則似乎與HEL 相當(dāng)[22]。上述差異應(yīng)該與兩類材料的動力學(xué)行為差異密切相關(guān)，但目前尚缺乏專門針對這一問題的討論。

那么Rt的內(nèi)涵究竟是什么？塑性材料和脆性材料在Rt與HEL 之間的關(guān)系為何具有顯著的差異？本文以空腔膨脹理論和球面應(yīng)力波理論為分析依據(jù)，通過比較侵徹近區(qū)塑性材料和脆性材料動力學(xué)行為的差異，對兩類不同材料Rt的本質(zhì)及其與HEL 的關(guān)系進行探討，并對脆性材料侵徹的若干應(yīng)用問題提出建議。

1 塑性材料

1.1 對靜態(tài)空腔膨脹理論的回顧

在塑性金屬靶體的非變形侵徹問題中，Rt可利用靜態(tài)球形空腔膨脹理論估計。Hill[3]給出了這部分工作的詳細理論推導(dǎo)。

圖1 塑性材料中球形空腔膨脹的響應(yīng)區(qū)域Fig. 1 Response regions of spherical cavity expansion in plastic materials

圖2 脆性材料中球形空腔膨脹的響應(yīng)區(qū)域Fig. 2 Response regions of spherical cavity expansion in brittle materials

如圖1 所示，設(shè)在內(nèi)壓作用下該空腔從半徑為0 發(fā)展為半徑為a 的有限球腔，緊鄰球腔的是半徑為c 的塑性區(qū)域，塑性區(qū)域外是半徑為b 的彈性變形區(qū)，如圖2 所示，對于脆性材料而言，尚需增加半徑為d 的徑向裂紋區(qū)，此時應(yīng)力分布純粹是徑向坐標r 的函數(shù)。已知有限球域條件下a 對c 的導(dǎo)數(shù)為：

式中：ν 是介質(zhì)的泊松比，Yt是介質(zhì)的屈服應(yīng)力，Et是介質(zhì)的彈性模量，b0是球體的外半徑。Tresca 準則下空腔內(nèi)壁壓力p 滿足：

根據(jù)自相似原理，當(dāng)b0→∞時，a/c 為常數(shù)，為此在式（1）中要求：

將式（3）代入式（2），解得：

ps就是理想塑性材料在形成空腔a 所需克服的最小孔壁壓力。但需要強調(diào)的是，ps是在空腔半徑從0 膨脹為a 得到的，這和內(nèi)半徑為a 的空心球腔在內(nèi)壓p 作用下進入塑性狀態(tài)所需臨界應(yīng)力的計算結(jié)果不同。事實上，塑性區(qū)正應(yīng)力的計算公式為：

式中：σr為徑向正應(yīng)力，σθ為環(huán)向正應(yīng)力，r 是球心到考察點的距離。從式（5）的第一個式子可知當(dāng)p=2Yt/3 時空腔內(nèi)壁就開始進入塑性。作為算例，取典型裝甲鋼參數(shù)如下[1]：Yt=1.0 GPa，ν=0.3，Et=200 GPa，代入式（4）可得ps=3.72 GPa，因此：

當(dāng)采用柱形空腔膨脹理論時，式（4）的結(jié)果變?yōu)椋?/p>

將上述裝甲鋼參數(shù)代入計算可得ps=3.18 GPa，因此球形空腔膨脹理論的計算結(jié)果稍大于柱形空腔膨脹理論的計算結(jié)果。同時求解ps與材料的Hugoniot 彈性極限（σHEL）之間的比例關(guān)系。已知σHEL滿足：

因此

可見，ps約為σHEL的2 倍。

1.2 不同條件下Rt 的取值

Forrestal 等[23]將式（4）中得到的ps作為Rt，得到了半球形頭部彈體在無摩擦條件下的侵徹阻力函數(shù)，即：

式中：F 是彈頭所受阻力的合力，r0是彈體半徑，B 是材料力學(xué)性能決定的常數(shù)且B≈1，ρt是靶體密度，v 是瞬時侵徹速度，N 是彈頭形狀系數(shù)。與式（10a）對應(yīng)的侵徹深度計算公式為：

式中：hmax是最終侵徹深度，L 是彈身長度，ρp是彈體密度?？涨慌蛎浝碚摬⒎菦Q定Rt的唯一方法，例如，Rosenberg 等[24]認為非變形侵徹條件下侵徹阻力僅僅包含常數(shù)項Rt，其表達式為：

式中：φ 按照尖卵形頭部、錐形頭部和半球形頭部分別取為1.15、0.93 和0.2。與式（11a）相對應(yīng)的侵徹深度計算公式為：

圖3 給出了對某種鋁合金侵徹的計算結(jié)果和實驗結(jié)果[23]的對比，其中ρp=8 000 kg/m3，ρt=2 710 kg/m3，ν=0.33，Yt=340 MPa，Et=69 GPa，L=71.12 mm，r0=3.55 mm?？梢?，當(dāng)撞擊速度小于1 km/s 時，Rosenberg 模型[24]的預(yù)測效果似乎更佳。但式（10）具有相對嚴格的物理力學(xué)基礎(chǔ)，特別是通過引入空腔膨脹理論使得Rt的確定更加理性，而且在引入一個合適的彈靶間摩擦系數(shù)后，式（10）可以和實驗結(jié)果更加吻合；相比之下，式（11）則是依賴于實驗結(jié)果的半經(jīng)驗參數(shù)。

圖3 鋁靶侵徹的理論計算與實驗結(jié)果[23]對比Fig. 3 Penetration depth intoaluminum targets between results from theoretical calculations and experiments[23]

這里需要指出的是，無論采用空腔膨脹理論還是其他方法，Rt都不能理解為純粹的材料常數(shù)，這是因為Rt不僅與材料的基本物理力學(xué)性質(zhì)相關(guān)，還與具體的侵徹模型的選擇、侵徹速度等因素相關(guān)。例如，超高速侵徹條件下經(jīng)常采用A-T 模型，其在彈靶界面的控制方程滿足[17]：

式中：υj為彈體尾部速度，Yp為彈體特征阻力（取為彈體材料的HEL）。

Tate[25]參照式（4）擬合得到了Rt，即：

式中：λ 是經(jīng)驗參數(shù)，建議λ=0.7。以Yt=1.0 GPa，ν=0.3，Et=200 GPa 的裝甲鋼為例，可得Rt=5.44 GPa，這是式（4）的1.46 倍之多。對這一結(jié)果應(yīng)該從兩方面考慮：一方面，A-T 模型本身尚不完備，因此必須對Rt進行修正以符合實驗結(jié)果；另一方面，球形空腔膨脹理論與真實的侵徹近區(qū)狀態(tài)的差異在超高速侵徹條件下十分明顯，因此Rt有所變化。Rosenberg 等[16]、Walker 等[26]的數(shù)值計算結(jié)果證實了上述推斷，即侵徹近區(qū)塑性區(qū)的大小與形態(tài)隨著侵徹速度、彈體形狀差異而變化，因此采用不變的Rt描述侵徹機理將不可避免的存在與實驗結(jié)果之間的誤差。

盡管空腔膨脹理論并不能圓滿地描述不同條件下侵徹近區(qū)的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，但其仍然是理解Rt本質(zhì)的有效途徑。在綜合以上分析后我們作如下推斷：Rt是靶體介質(zhì)以固體特性抵抗局部擴孔的、具有時間平均特性的彈體橫截面平均應(yīng)力，其具體取值隨著材料的物理力學(xué)特性、侵徹模型、撞擊速度等因素而變化，因此不是材料的固有特性。

2 脆性材料

2.1 脆性材料Rt 值實驗研究

在脆性材料的非變形侵徹問題中Forrestal 阻力模型得到了普遍應(yīng)用，即[5,11-12]：

Rt按照下式擬合：

式中：mp是彈體質(zhì)量。Forrestal 等[5]得到了混凝土的Rt值計算方法，即：

式中：fc為混凝土單軸抗壓強度。此外，張德志等[12]基于式（14）得到了某種花崗巖的Rt=0.95～1.41 GPa。當(dāng)僅考慮阻力的常數(shù)項時，Rosenberg 等[27]曾給出如下形式，即：

與之形成對比的是，35 MPa 普通混凝土的HEL 可達到1.0 GPa 以上[18]，花崗巖的HEL 可達到2.5～4.5 GPa[19-20]。當(dāng)長桿彈侵徹陶瓷等高硬度脆性材料時，彈體通常發(fā)生侵蝕，此時需采用形如式（12）中的擬流體侵徹模型，其中Rosenberg 等[22]曾經(jīng)對HEL 分別為6 GPa 和7 GPa 的AD85 陶瓷和BC90G 陶瓷進行高速侵徹實驗，發(fā)現(xiàn)Rt大體與陶瓷的HEL 相當(dāng)。由此可見，脆性材料Rt通常小于其對應(yīng)的HEL（如混凝土、巖石）或與HEL 相當(dāng)（如陶瓷）。而從1.1 節(jié)的計算可知，塑性金屬靶體的Rt通常約為HEL 的2 倍。

進一步觀察式（15）～（16）中Rt隨fc的變化規(guī)律（圖4）可以發(fā)現(xiàn)，無論是Forrestal 模型還是Rosenberg 模型，Rt都隨fc的增大而單調(diào)增大。直覺上看這似乎是合理的，但注意到Zhang 等[28]曾經(jīng)通過實驗研究超高強混凝土的抗侵徹性能，發(fā)現(xiàn)為了使得混凝土的fc超過150 MPa，必須去除粗骨料，而如果不能相應(yīng)地采取增韌措施，那么即使混凝土的fc達到250 MPa，其侵徹深度也與未去除粗骨料的100 MPa 混凝土相差無幾（圖5 中虛線框部分所示）。Zhang 等[28]認為去除粗骨料的混凝土變的極易開裂，此時其抗侵徹能力反而受到制約，因此單純以fc作為衡量混凝土介質(zhì)侵徹阻力大小是有失偏頗的。

要深入回答脆性材料Rt和HEL 之間的大小關(guān)系問題，以及Rt與fc之間的依賴性問題，尚需深入分析侵徹近區(qū)靶體材料的動力學(xué)行為。

圖4 不同fc 條件下混凝土Rt 的擬合結(jié)果Fig. 4 Fitted Rt values of concrete with different fc values

2.2 脆性材料Rt 值的理論研究

圖5 不同fc 條件下混凝土侵徹深度的實驗結(jié)果[28]Fig. 5 Effect of fc on experimental penetration depth in concrete[28]

完整脆性材料具有極高的HEL。在沖擊波波陣面或短波（即升壓時間遠遠小于正壓時間的壓縮波）峰值附近，材料處于三向受壓狀態(tài)[29]，此時無論是脆性材料還是塑性材料，都會顯示出顯著的塑性行為，HEL 仍然由式（8）計算，但Yt應(yīng)該理解為當(dāng)時當(dāng)?shù)貞?yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變速率下的屈服應(yīng)力。以巖石為例，由Lundborg 關(guān)系[30]可知高壓下巖石具有von-Mises 塑性極限Yd，且對于硬巖而言Yd= 1.0～2.0 GPa，巖石的Poisson 比為0.25～0.35，因此HEL 的估算結(jié)果是：

這里同時給出基于Rosenberg 建議的陶瓷材料HEL 計算公式的計算結(jié)果[31]：

可見，相同參數(shù)下式（17b）遠遠高于式（17a）的計算結(jié)果，而從花崗巖的HEL 看[19-20]，式（17a）更加符合實際情況。但無論是式（17a）還是式（17b）都表明，脆性介質(zhì)之所以具有較高的HEL 是因為其具有極高的Yd。

圖6 基于球面波的腔壁應(yīng)力衰減規(guī)律[32]Fig. 6 Decay of spherical wave stresses on cavity [32]

圖7 完整條件下和損傷條件下脆性材料的強度模型[34]Fig. 7 Model for strength of intact and damaged brittle materials[34]

脆性材料侵徹阻力主要取決于破碎后介質(zhì)。眾所周知，脆性材料的破壞形態(tài)受壓力和應(yīng)變率的影響十分顯著，因此式（17）的HEL 必須在極高應(yīng)變率（104～105s-1）的一維應(yīng)變壓縮條件的下才能體現(xiàn)出來[19]。在球面應(yīng)力波波峰后方，不僅徑向應(yīng)力迅速減小，而且環(huán)向應(yīng)力也迅速減小并轉(zhuǎn)變?yōu)槔瓚?yīng)力，其幅值甚至將超過波陣面環(huán)向壓應(yīng)力的幅值[32]（圖6）。由于脆性材料的動力拉伸強度比HEL 低約一個數(shù)量級，因此在環(huán)向拉應(yīng)力的作用下將會首先出現(xiàn)徑向裂紋并將波陣面后面的材料切割成尺度不等的碎塊。裂紋傳播速率一般在～102m/s 且最高可達Rayleigh 波速（完整巖石的Rayleigh 波速在2.5～3.0 km/s[33]），而一般彈道問題的撞擊速度小于1 km/s，此時彈體將在已經(jīng)破碎的介質(zhì)中侵徹，因此在理論分析中必須考慮強度退化。

Satapathy 等[34]和Bavdekar 等[35]發(fā)現(xiàn)，破碎介質(zhì)的Mohr-Coulomb 準則參數(shù)對準穩(wěn)態(tài)侵徹阻力的影響比完整介質(zhì)的Mohr-Coulomb 準則參數(shù)更加重要（圖7），此時Rt與完整材料的力學(xué)特性參數(shù)（如HEL和fc）關(guān)系不大。因此，具有超高fc的混凝土如果缺乏粗骨料則極可能“一裂即碎”，其殘余強度甚至可能低于較低強度混凝土?；谕瑯拥睦碛?，不能僅憑兩批次混凝土具有相同fc就認為兩者具有相同的Rt。

脆性材料的Rt與侵徹速度有關(guān)。上述研究均是建立在“材料破碎在先，侵徹過程在后”的前提下。若侵徹速度超越破碎陣面的傳播速度時，Rt將急劇上升，甚至超越材料的HEL。表1 給出了不同的陶瓷Rt值，其中Sternberg[36]和Rosenberg 等[22]的結(jié)果比較接近，而Kozhushko 等[37]的建議值是另兩位學(xué)者所提出建議值的4 倍以上，這是因為Kozhushko 等是在5～12 km/s 撞擊速度條件下測得的結(jié)果，侵徹速度很可能已經(jīng)超越陶瓷材料的裂紋前端，測得的是陶瓷的本征阻力值（原蘇聯(lián)學(xué)者稱之為“動力硬度”[38]），遠遠大于侵徹破碎介質(zhì)所需克服的阻力。Vlasova 等[39]認為陶瓷類介質(zhì)的Rt值具有理論極限值Rtmax，即：

式中：cst為陶瓷的剪切波速，Gt為靶體的剪切模量。這一公式的計算結(jié)果與Kozhushko 等給出的建議值相吻合。

表1 不同學(xué)者建議的陶瓷Rt 值 (單位：GPa)Table 1 Rt values of ceramic suggested by different researchers (unit in GPa)

事實上，即便在一般彈道速度條件下，Rt也與撞擊速度之間顯示出相關(guān)性。圖8 根據(jù)式（14）給出了張德志等[12]的花崗巖侵徹實驗和徐建波[40]的混凝土侵徹實驗的不同撞擊速度下的Rt值。可見，隨著撞擊速度從300 m/s 提高到900 m/s，混凝土的Rt從950 MPa 提高到1 400 MPa；撞擊速度從200 m/s 提高到700 m/s，混凝土的Rt從250 MPa 提高到325 MPa。對于此類現(xiàn)象，王明洋等[21]認為，當(dāng)侵徹速度較低時，巖石類介質(zhì)沒有恒定的Rt，而應(yīng)該考慮侵徹速度對侵徹阻力的強化作用，這種作用的本質(zhì)是內(nèi)摩擦，此時侵徹阻力是侵徹速度的一次函數(shù)；當(dāng)侵徹速度足夠高時，材料的內(nèi)摩擦效應(yīng)達到飽和并體現(xiàn)為恒定不變的“動力硬度”（硬巖的動力硬度可達數(shù)個GPa），具體表述為：

式中：σ 是作用在彈頭橫截面的平均應(yīng)力，τs是巖石的黏聚力，Ht為巖石的動力硬度， Ma*為廣義馬赫數(shù)，其定義為侵徹速度v 與特征速度 c*之比， c*取決于巖石動力硬度和密度，κ1、κ2為阻力系數(shù)?；◢弾r侵徹實驗結(jié)果已經(jīng)初步證實了式（19）的合理性（圖9）。

圖8 花崗巖和混凝土靶體Rt 隨撞擊速度的變化規(guī)律Fig. 8 Rt of granite and concrete varying with impact velocity

圖9 花崗巖侵徹深度的實驗結(jié)果與理論計算結(jié)果的預(yù)測效果[21]Fig. 9 Comparison of calculation results with experimental results of penetration depth in granite[21]

2.3 對工程實踐的啟示

由于限制脆性材料侵徹阻力的主要原因是應(yīng)力波峰值后方的環(huán)向拉應(yīng)力造成的材料破碎，因此提高脆性材料的侵徹阻力的關(guān)鍵在于：（1）減小應(yīng)力波峰值后環(huán)向拉應(yīng)力的幅值；（2）抑制材料的破碎速度和程度。為了實現(xiàn)第一點，可以主動或被動地增加外圍壓。這一手段在陶瓷裝甲防護技術(shù)中已經(jīng)得到了廣泛實踐[41]。此外，徐松林等[42]和蒙朝美等[43]的實驗結(jié)果分別證實了主動和被動約束對于提高混凝土的抗侵徹能力具有一定作用，任劼等[44]的數(shù)值計算結(jié)果顯示較高的巖體圍壓會顯著地減小金屬射流的侵徹深度。為了實現(xiàn)第二點，既可以增加外圍壓，也可以通過材料復(fù)合技術(shù)提高材料的韌性，這實際上已經(jīng)在鋼纖維高性能混凝土的抗侵徹研究中得到了應(yīng)用[45]。

3 結(jié) 論

材料的靜阻力Rt是材料抵抗侵徹能力的定量表征，但關(guān)于不同類型材料Rt的本質(zhì)缺乏針對性的討論。本文以空腔膨脹理論和球面應(yīng)力波理論為工具進行分析，對塑性和脆性兩類不同材料Rt的本質(zhì)進行探討，結(jié)論如下：

（1）Rt是靶體介質(zhì)以固體特性抵抗局部擴孔的、具有時間平均特性的彈體橫截面平均應(yīng)力，其具體取值隨著材料的物理力學(xué)特性、侵徹模型、撞擊速度等因素而變化，因此不是材料的固有特性。

（2）對于塑性靶體的非變形侵徹問題，靜態(tài)空腔膨脹理論的結(jié)果能夠?qū)t作出比較合理的預(yù)測。對于擬流體侵徹問題，一般需要對靜態(tài)空腔膨脹理論的結(jié)果加以修正。

（3）脆性材料的Rt主要取決于破碎后介質(zhì)的力學(xué)特性而與完整材料的力學(xué)特性關(guān)系不大，且與fc之間不滿足純粹的單調(diào)關(guān)系。當(dāng)侵徹速度較低時，應(yīng)考慮侵徹速度對侵徹阻力的強化作用，這種強化作用的本質(zhì)是內(nèi)摩擦；當(dāng)侵徹速度足夠高時，脆性材料體現(xiàn)出恒定不變的“動力硬度”，其反映了材料的本征阻力特性。

（4）提高脆性材料的侵徹阻力的關(guān)鍵在于減小應(yīng)力波峰值后環(huán)向拉應(yīng)力的幅值、抑制材料的破碎速度和程度，具體措施包括主動或被動地增加外圍壓、對基質(zhì)中添加增韌增強纖維等。此外，為了實現(xiàn)對脆性材料更高精度的數(shù)值模擬，建議更加重視對破碎介質(zhì)動力學(xué)特性的研究。