張 恩，路國運(yùn)，楊會(huì)偉，曹瑞東，陳鵬程

（1. 太原理工大學(xué)土木工程學(xué)院，山西 太原 030024；

2. 太原理工大學(xué)材料強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030024；3. 山西大學(xué)土木工程系，山西 太原 030013）

近年來關(guān)于人造具有特殊功能材料的設(shè)計(jì)和制造成為研究熱點(diǎn)，超材料（metamaterials）是人造復(fù)合材料，具有天然材料不具備的非凡的物理性質(zhì)。這些特性源于其特殊設(shè)計(jì)的微觀結(jié)構(gòu)，而不是化學(xué)成分。超材料的出現(xiàn)代表著一種嶄新的材料設(shè)計(jì)理念，即人類可以在利用現(xiàn)有材料的基礎(chǔ)上，按照自己的意志逆向設(shè)計(jì)微結(jié)構(gòu)來獲得新材料。超材料的研究主要集中在電磁超材料[1-2]、熱學(xué)超材料[3-4]、光學(xué)超材料[5-6]和聲學(xué)超材料[7-13]等領(lǐng)域。

Liu 等[10-13]提出了局域共振聲子晶體，使用橡膠包裹鉛球構(gòu)成局域共振單元。在環(huán)氧樹脂基體中周期性地排列上述局域共振單元，可以構(gòu)成人工周期材料。上述周期材料突破Bragg 機(jī)理的限制，使用彈性波的局域共振效應(yīng)實(shí)現(xiàn)了在亞波長頻段對(duì)低頻彈性波的衰減，為聲學(xué)超材料的研究開拓了新思路。Yang 等[14-15]使用局域共振的思想設(shè)計(jì)了薄膜型主動(dòng)聲學(xué)超材料，能夠?qū)?0～1 000 Hz 的低頻聲波進(jìn)行阻隔，并進(jìn)一步探索出有效拓寬局域共振聲學(xué)超材料帶隙的方法。吳健等[16]、張印等[17]使用局域共振的思想設(shè)計(jì)了梁板類聲學(xué)超材料，并對(duì)其帶隙計(jì)算方法進(jìn)行改進(jìn)和完善，最后把該類聲學(xué)超材料應(yīng)用于聲隱身和減振降噪等領(lǐng)域。Br?lé等[18]把局域共振的思想引入到防震工程中，其通過在黏土中打出中心間距為1.73 m、深度為5 m、直徑為0.32 m 的自穩(wěn)定孔，實(shí)現(xiàn)了對(duì)頻率為50 Hz 的彈性波的阻斷。

本文中，借鑒超材料的研究思路，使用局域共振骨料代替混凝土中的普通骨料，設(shè)計(jì)一種具有沖擊波衰減效應(yīng)的超材料混凝土。首先，基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)計(jì)算了超材料混凝土的有效質(zhì)量，并進(jìn)一步建立超材料混凝土帶隙起始頻率、截止頻率的理論模型，討論涂層彈性模量、芯柱密度、基體密度、骨料體積占比和芯柱邊長與軟涂層厚度比等因素對(duì)超材料混凝土帶隙起始頻率、截止頻率及帶隙寬度的影響；其次，采用數(shù)值模擬的方法，對(duì)比超材料混凝土和普通混凝土對(duì)沖擊波的衰減效應(yīng)。以期研究結(jié)果可為超材料混凝土的設(shè)計(jì)及應(yīng)用提供理論支持。

1 超材料混凝土設(shè)計(jì)

本文中提出的超材料混凝土（metaconcrete）如圖1 所示，由局域共振型骨料和砂漿兩部分組成。其中局域共振型骨料由高密度柱體周圍包覆軟涂層形成，把該骨料均勻地排列在砂漿中，形成超材料混凝土。最初，局域共振型結(jié)構(gòu)多被設(shè)計(jì)成球形和圓柱形結(jié)構(gòu)[10-13]，但是在實(shí)際使用中，球形和圓柱形結(jié)構(gòu)存在制作難度大、加工復(fù)雜等問題，為此設(shè)計(jì)了長方體形結(jié)構(gòu)，其具有以下優(yōu)點(diǎn)：芯柱制作過程簡單；軟涂層的工藝更易實(shí)現(xiàn)；便于工程應(yīng)用。當(dāng)沖擊波從一端向另外一端傳播時(shí)，由于軟涂層的存在，芯柱和砂漿可以產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，起到衰減沖擊波的目的[19]。

圖1 本文中提出的超材料混凝土Fig. 1 Metaconcrete designed in this paper

2 有效質(zhì)量及帶隙特征

2.1 有效質(zhì)量理論模型

圖2(a)為超材料混凝土單胞，其中砂漿基體質(zhì)量為m1，芯柱質(zhì)量為m2，軟涂層等效為剛度為k2的彈簧，砂漿和芯柱的位移分別為u1和u2。超材料混凝土可視為圖2(b)所示的一維晶格系統(tǒng)。為了計(jì)算超材料混凝土的有效質(zhì)量，又可以把圖2(b)假設(shè)為如2(c)所示的由剛度為k1(k1→∞)的外部彈簧連接的一維超材料混凝土晶格系統(tǒng)。

對(duì)于圖2(a) 所示的超材料混凝土單胞，假設(shè)涂層為均勻彈性材料，在計(jì)算軟涂層的等效剛度k2時(shí)，只考慮左右兩側(cè)軟涂層的拉伸和壓縮作用，忽略前后兩側(cè)軟涂層的剪切作用，等效剛度k2可以簡化為：

式中：E 為涂層的彈性模量，b 為芯柱的邊長，l 為芯柱的高度，t 為軟涂層厚度。

對(duì)于圖2(c) 所示的一維晶格系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)力學(xué)平衡方程，可以給出第j 個(gè)單胞的運(yùn)動(dòng)方程：

圖2 超材料混凝土單胞及一維晶格系統(tǒng)Fig. 2 A unit cell and one-dimensional lattice systems for metaconcrete

考慮周期系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)簡諧振動(dòng)，可設(shè)位移解[20]為：

式中：A 為波幅，q 為波數(shù)，L 為單胞的邊長，ω 為激振頻率。

從而：

從而式（2）和式（3）可以簡化為：

再次使用下列恒等式：

式（7）和式（8）可以簡化為：

為了得到系統(tǒng)的色散關(guān)系，可以把式（11）和式（12）看成求解矩陣特征值的問題，可以簡化為如下形式：

式中：Kr和Mr分別為系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，ω 為頻率，u 為系統(tǒng)中自由度的位移矢量。從而，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成下列形式：

Kr-ω2Mr=0

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，此特征值問題具有非零解。從而：

結(jié)合式（9）～（10）和（15），可以得到：

對(duì)于圖2（d）中的一維單原子晶格系統(tǒng)，其等效質(zhì)量meff[20-21]可以表示為:

結(jié)合公式（16）和（17），可以得到無量綱的meff表達(dá)式：

根據(jù)式（18），當(dāng)θ=1，可以給出有效質(zhì)量與激振頻率的關(guān)系圖，如圖3 所示。

如圖3 所示，當(dāng)激振頻率接近由彈簧-芯柱組成的內(nèi)部系統(tǒng)的自振頻率時(shí)，有效質(zhì)量曲線變化特別大并且復(fù)雜，當(dāng)ω＞ω2時(shí)，達(dá)到負(fù)值。圖中A、B 兩點(diǎn)之間的區(qū)域，有效質(zhì)量達(dá)到負(fù)值，波在該頻率范圍內(nèi)會(huì)得到衰減，形成帶隙[16-17]。因此，有效質(zhì)量是激振頻率的函數(shù)，正是接近內(nèi)部系統(tǒng)自振頻率的行為導(dǎo)致材料整體性能的變化，從而能夠形成一種具有消波能力的新穎材料。

2.2 帶隙特征分析

圖3 有效質(zhì)量與激振頻率的關(guān)系Fig. 3 Relationship between effective mass and excitation frequency

結(jié)構(gòu)的帶隙是指不能通過該結(jié)構(gòu)的波的頻率范圍，其特征主要包含帶隙起始頻率（band gap start frequency）、帶隙截止頻率（band gap cutoff frequency）和帶隙寬度（band gap width）。對(duì)比圖3，其中A 點(diǎn)對(duì)應(yīng)帶隙起始頻率，其主要由局域共振骨料的平動(dòng)振動(dòng)決定；B 點(diǎn)對(duì)應(yīng)帶隙截止頻率，根據(jù)式（18），求出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率，表明該共振模式下，芯柱與基體在涂層的作用下，形成反相位，達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。

采用圖4 所示模型來進(jìn)一步描述以上兩種共振模式。

圖4 中，M1為單個(gè)局域共振型骨料中芯柱的等效質(zhì)量，M2為單個(gè)周期內(nèi)砂漿的等效質(zhì)量，彈簧k 為骨料涂層的等效剛度。在帶隙起始頻率處，芯柱M1在彈簧k 的作用下發(fā)生共振；而在帶隙截止頻率處，芯柱M1和砂漿M2在彈簧k 的連接下，以相對(duì)振動(dòng)的方式發(fā)生共振，彈簧上黑點(diǎn)所示位置保持相對(duì)靜止。

圖4 帶隙起始頻率及截止頻率的簡化模型[22]Fig. 4 Simplified models for band gap start and cutoff frequencies[22]

對(duì)式（18）進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可以得到帶隙起始頻率f1和帶隙截止頻率f2的函數(shù)表達(dá)式：

由此可知：能夠影響局域共振骨料等效質(zhì)量或等效剛度的材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)，均對(duì)局域共振帶隙的起始頻率產(chǎn)生影響；同時(shí)，能夠影響局域共振骨料等效質(zhì)量、等效剛度或基體等效質(zhì)量的材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)，均對(duì)局域共振帶隙的截止頻率產(chǎn)生影響。

3 帶隙特征影響因素分析

為了更加深入探究局域共振型超材料混凝土的帶隙特征，本文討論不同參數(shù)對(duì)超材料混凝土帶隙特征的影響，以加深對(duì)此共振結(jié)構(gòu)消波機(jī)理的認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)超材料混凝土的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及材料選擇。

3.1 涂層彈性模量對(duì)帶隙的影響

由式（19）和（20）可知，涂層彈性模量會(huì)對(duì)等效剛度產(chǎn)生較大的影響。為研究不同涂層材料對(duì)帶隙特征的影響，在保證其他參數(shù)不變的情況下，僅改變涂層彈性模量?，F(xiàn)選取單胞的邊長L=20 cm，芯柱的邊長b=10 cm，軟涂層厚度t=1 cm，芯柱材料為鉛（Pb，密度為11.6 Mg/m3），基體材料為砂漿（密度為2 Mg/m3）。涂層材料的相關(guān)參數(shù)參考文獻(xiàn)[23]。

圖5 給出了涂層彈性模量對(duì)帶隙特征的影響。從圖中可以看出，隨著涂層彈性模量的增大，帶隙起始頻率、截止頻率及寬度均增大。根據(jù)前文所述，帶隙起始頻率對(duì)應(yīng)骨料自振，帶隙截止頻率對(duì)應(yīng)骨料和基體相對(duì)某平衡位置產(chǎn)生共振，涂層起到彈簧的作用，涂層彈性模量越大，等效剛度越大，頻率越高。當(dāng)涂層的彈性模量為0.2 MPa 時(shí)，其對(duì)應(yīng)的帶隙起始頻率、截止頻率和寬度分別為20.91、36.69 和15.78 Hz；當(dāng)涂層的彈性模量為1.0 MPa時(shí)，其對(duì)應(yīng)的帶隙起始頻率、截止頻率和寬度分別為46.75、82.04 和35.29 Hz?？梢?，柔性的涂層能夠形成低頻帶隙，但是帶隙寬度較窄，而高彈性模量涂層能夠形成較寬的帶隙，但帶隙起始頻率較高。因此，可以根據(jù)所需衰減的波的頻率進(jìn)行涂層材料的選擇。對(duì)于用作防止爆炸等高頻載荷的材料，超材料混凝土必須在高頻下展現(xiàn)共振行為，應(yīng)選擇高彈性模量的涂層材料。對(duì)于用作防止地震等低頻荷載的材料，超材料混凝土必須在低頻下展現(xiàn)共振行為，應(yīng)選擇低彈性模量的涂層材料。

3.2 芯柱密度對(duì)帶隙的影響

由式（19）和（20）可知，芯柱密度會(huì)對(duì)等效質(zhì)量M1產(chǎn)生較大影響，因此，需要進(jìn)一步研究芯柱密度對(duì)帶隙特征的影響。采用3.1 節(jié)的幾何尺寸，涂層材料選擇silicone（彈性模量為1 MPa），芯柱材料選擇鋁、鋼、銅和鉛，其對(duì)應(yīng)的密度分別為2.7、7.9、8.89 和11.6 Mg/m3[22]。

圖6 給出了帶隙特征隨芯柱密度變化的曲線。從圖6 可以看出，隨著芯柱密度的增大，帶隙起始頻率和截止頻率均降低且?guī)镀鹗碱l率降低的速度較快，從而帶隙寬度增大。當(dāng)芯柱材料為Al 時(shí)，帶隙起始頻率、截止頻率和寬度分別為96.91、118.05 和21.14 Hz；當(dāng)芯柱材料為Pb 時(shí)，帶隙起始頻率、截止頻率和寬度分別為46.75、82.04 和35.29 Hz。可見，高密度芯柱材料能夠形成低頻帶隙，且?guī)秾挾容^大，而低密度芯柱材料更容易形成高頻帶隙，且?guī)秾挾容^低。因此，若需要得到低頻、寬帶隙等特征，應(yīng)選擇密度較高的芯柱材料。

3.3 基體密度對(duì)帶隙的影響

由式（19）和（20）可知，基體密度會(huì)對(duì)等效質(zhì)量M2產(chǎn)生影響，因此，需要進(jìn)一步研究基體密度對(duì)帶隙特征的影響。采用3.1 節(jié)的幾何尺寸，涂層材料選擇silicone（彈性模量為1 MPa），芯柱材料選擇Pb（密度為11.6 Mg/m3）。

圖7 給出了帶隙特征隨基體密度變化的曲線。從圖7 可以看出，隨著基體密度的增大，帶隙起始頻率保持不變，帶隙截止頻率和寬度持續(xù)減小。主要原因是：帶隙起始頻率對(duì)應(yīng)芯柱的自振，其主要由芯柱等效質(zhì)量及軟涂層等效剛度決定，基體密度的變化不會(huì)影響芯柱的等效質(zhì)量，從而帶隙起始頻率不會(huì)產(chǎn)生變化；帶隙截止頻率，對(duì)應(yīng)芯柱與基體動(dòng)態(tài)平衡，其主要由芯柱等效質(zhì)量、涂層等效剛度和基體等效質(zhì)量決定，基體密度的增大會(huì)導(dǎo)致基體等效質(zhì)量增加，從而使得帶隙截止頻率持續(xù)減小，又因?yàn)閹镀鹗碱l率保持不變，最終帶隙寬度也會(huì)持續(xù)減小。因此，若需要得到低頻、寬帶隙等特征，應(yīng)選擇密度較低的基體材料。

圖6 芯柱密度對(duì)帶隙特征的影響Fig. 6 Effects of core column density on band gap

圖7 基體密度對(duì)帶隙特征的影響Fig. 7 Effects of matrix density on band gap

3.4 骨料體積占比對(duì)帶隙的影響

為了解骨料體積占比對(duì)帶隙特征的影響，對(duì)于典型的正方形單元，定義骨料體積占比β=R2/a2。其中，R=b+2t，b 為芯柱邊長，t 為涂層厚度，a 為周期常數(shù)。在討論骨料體積占比對(duì)帶隙特征的影響時(shí)，需要保持參數(shù)γ（γ 為芯柱邊長與軟涂層厚度的比值，γ=b/t）不變。涂層材料選擇silicone（彈性模量為1 MPa），芯柱材料選擇Pb（密度為11.6 Mg/m3），基體密度為2 Mg/m3，L=2 cm，γ=10。

圖8 給出了帶隙特征與骨料體積占比（β）的關(guān)系。從圖8 可以看出，帶隙起始頻率隨著β 的增大而持續(xù)降低，且在β 從0.1 到0.4 時(shí)，降低速度較快，之后降低速度減緩；帶隙截止頻率隨β 的增大呈現(xiàn)先降低再升高的趨勢(shì)，其中β 從0.1 到0.4 時(shí)，帶隙截止頻率持續(xù)降低，之后，帶隙截止頻率隨β 的增大而升高，且在β 從0.1 到0.4 時(shí)，帶隙起始頻率的降低速度大于帶隙截止頻率的降低速度，最終帶隙寬度隨著β 的增大而持續(xù)增大。因此，可以通過增大骨料體積占比的方式來實(shí)現(xiàn)擴(kuò)寬帶隙的目的。

3.5 芯柱邊長與軟涂層厚度比對(duì)帶隙的影響

圖8 γ=10 時(shí)，骨料體積占比對(duì)帶隙特征的影響Fig. 8 Effect of volume fraction of aggregate on band gap when γ=10

為了研究參數(shù)γ 對(duì)帶隙特征的影響，需要保證骨料體積占比β 不變。涂層材料選擇silicone（彈性模量為1 MPa），芯柱材料選擇Pb（密度為11.6 Mg/m3），基體密度為2 Mg/m3，L=2 cm，骨料體積占比β=0.36。

圖9 給出了骨料體積占比為36%時(shí)，參數(shù)γ 對(duì)帶隙特征的影響。從圖9 可以看出，帶隙起始頻率及截止頻率均隨著γ 的增大呈現(xiàn)出先減小再增大的變化趨勢(shì)，而帶隙寬度隨著γ 的增大而持續(xù)增大。其中，帶隙起始頻率在γ=2 左右取得極小值；帶隙截止頻率在γ=1 左右取得極小值。因此，若需要得到寬帶隙特征，可以通過增大參數(shù)γ 來實(shí)現(xiàn)。

圖9 當(dāng)β=0.36 時(shí)，γ 對(duì)帶隙特征的影響Fig. 9 Effect of γ on band gap when β=0.36

4 超材料混凝土對(duì)沖擊波的衰減效應(yīng)

4.1 有限元模型

為了說明超材料混凝土對(duì)沖擊波的衰減作用，使用LS-DYNA 建立如圖10（a）所示的超材料混凝土有限元模型，其長度為100 mm，寬度為60 mm，厚度為20 mm。整個(gè)模型包含60 000 個(gè)單元和67 771 個(gè)節(jié)點(diǎn)，砂漿、軟涂層和芯柱均使用八節(jié)點(diǎn)的solid 單元。為了消除邊界效應(yīng)的影響，在上下兩個(gè)側(cè)面設(shè)置對(duì)稱性邊界條件；為保證混凝土板不發(fā)生位移，在前后兩個(gè)側(cè)面設(shè)置固定邊界條件[19]。在模型左側(cè)施加如圖11 所示沖擊波。在保證計(jì)算精度的情況下，對(duì)模型進(jìn)行簡化?；炷粱w、涂層和芯柱均采用線彈性材料模型[23]，3 種材料之間采用共節(jié)點(diǎn)的方式進(jìn)行連接。同時(shí)，為了對(duì)比超材料混凝土的優(yōu)越性能，建立了如圖10（b）所示的同樣條件下的普通混凝土有限元模型。

圖10 有限元模型俯視圖Fig. 10 The top views of finite element models

圖11 沖擊波壓力-時(shí)間曲線Fig. 11 Pressure-time curve of shock wave

4.2 超材料混凝土對(duì)沖擊波的衰減

如圖10 所示，對(duì)于超材料混凝土和普通混凝土，均在距離沖擊端20 mm（截面A-A）、40 mm（B-B 截面）、60 mm（截面C-C）和80 mm（截面D-D）處依次選取4 個(gè)截面，得到各截面的平均應(yīng)力時(shí)程曲線，如圖12 所示。從圖12 可以看出，對(duì)于超材料混凝土和普通混凝土，各截面的平均應(yīng)力均隨著時(shí)間的增加而降低，但超材料混凝土中的平均應(yīng)力降低較快。以1.0 ms 左右為例，超材料混凝土中各截面的平均應(yīng)力在-0.2～0.2 MPa之間，而普通混凝土中各截面的應(yīng)力在-0.4～0.4 MPa 之間。因此，與普通混凝土相比，超材料混凝土對(duì)沖擊波具有更好的衰減作用。

圖12 各截面平均應(yīng)力時(shí)程曲線Fig. 12 Average stress-time curve at each section

5 結(jié) 論

借鑒超材料的研究思路，在混凝土中引入諧振骨料，設(shè)計(jì)出具有消波特性的超材料混凝土，并對(duì)其帶隙特征和沖擊波衰減效應(yīng)進(jìn)行研究，得到以下結(jié)論：

（1）低彈性模量的涂層能夠形成低頻帶隙，但是帶隙寬度較窄，而高彈性模量涂層能夠形成較寬的帶隙，但帶隙起始頻率較高。因此，應(yīng)根據(jù)所需衰減的波的頻率進(jìn)行涂層材料的選擇。

（2）高密度芯柱材料能夠形成低頻帶隙，且?guī)秾挾容^大，而低密度芯柱材料更容易形成高頻帶隙，且?guī)秾挾容^小。因此，若需要得到低頻、寬帶隙等特征，可以選擇密度較高的芯柱材料。

（3）基體密度的變化對(duì)帶隙起始頻率沒有影響，但基體密度的升高使帶隙截止頻率降低和帶隙寬度減小。因此，選擇低密度的基體材料可以擴(kuò)寬帶隙。

（4）通過增大骨料體積占比和芯柱邊長與軟涂層厚度比可以實(shí)現(xiàn)擴(kuò)寬帶隙的目的。

（5）與普通混凝土相比，超材料混凝土對(duì)沖擊波具有更好的衰減作用。