桂俊林

摘 要：圖形的旋轉(zhuǎn)是初中幾何圖形變換的基本內(nèi)容之一，通過旋轉(zhuǎn)改變位置后重新組合，然后作為全等變換，需要在新舊圖形之間找到其中的變量和不變量，從而在新圖形中分析出有關圖形間的關系，進而揭示條件與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系，找到解題途徑.

關鍵詞：正方形 旋轉(zhuǎn)變換 應用

圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換.所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法則，對給定的圖形（或其中一部分）施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關圖形之間的關系.本文就正方形的旋轉(zhuǎn)舉例分析：

例1.將五個邊長都為2cm的正方形按如圖所示擺放，點AAAA分別是四個正方形的中心，則圖中四塊陰影面積的和為（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

解析：連接AP、AN，點A是正方形的對角線的交點，則AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得△PAF≌△NAE，進而可得四邊形AENF的面積等于△NAP的面積，而△NAP的面積是正方形的面積的四分之一，又知正方形的面積為4，∴四邊形AENF的面積為1cm，四塊陰影面積的和為4cm.故選B.

點評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).旋轉(zhuǎn)變化前后，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等. 要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：定點-旋轉(zhuǎn)中心;旋轉(zhuǎn)方向;旋轉(zhuǎn)角度.

例2.如圖，正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45°，將△DAE繞D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM.

求證：（l）EF=FM .（2）當AE=1時，求EF的長.

解析：（1）容易證得△DAE與△DCM全等，

所以∠ADE=∠MDC，DE=DM .且∠EDF=45°所以，∠ADE+∠CDF=45°，∠CDM+∠CDF=∠EDF=45°，再證得 △EDF全等于△MDF，所以EF=FM .

（2）因為正方形ABCD的邊長為3，且AE=1，所以EB=2，在直角三角形EBF中，設BF=x，則EF=FM=FC+CM=（3-x）+1=4-x，利用勾股定理得2+x=（4-x）求出BF=1.5，所以EF=2.5 .

例3.如圖，點P為正方形ABCD內(nèi)一點，且PA=1，PB=2，PC=3，試求∠APB的度數(shù).

解析：將△ABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得△BQC并連接PQ，則△BQC≌△BPA，∠APB=∠BQC，而∠BQC=∠BQP+∠PQC，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△BQP為等腰直角三角形，從而得到∠BQP=45°，再根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠PQC=90°，從而求出∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=135°.

點評：本題重點考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理逆定理的應用等知識，應當明確旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應關系，清楚旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形全等，即對應邊、對應角相等.

例4.如圖，正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，且BE=BC，連接CE，將△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBF.連接EF，交BC于點G，H為EF的中點，連接CH，則下列說法：①△CDE≌△EBG;②BC平分∠HCF;③S=S;④FG=GH;⑤在不添加其他線段的條件下，圖中有8個等腰三角形，其中正確的說法是（）

A.①②③ B.①②④ C.①②⑤ D.①③⑤

解析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BCF=∠DCE，△CEF是等腰直角三角形，然后求出∠EBG=∠CDE=45°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BCE=∠BEC=67.5°，然后求出∠BEG=∠DCE=22.5°，利用“角邊角”證明△CDE和△EBG全等，判定①正確;再求出∠GCH=22.5°，從而得到∠GCH=∠BCF，判定②正確;連接BH，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BH=EF，CH=EF，CH是△CGF的邊GF的高，BH不是△BGF的邊GF的高，所以，兩個三角形的面積不相等，判定③錯誤;△CFH中CH≠CF，所以角平分線CG不平分FH，判定④錯誤;根據(jù)正方形的性質(zhì)找出等腰直角三角形有：△ABD，△BCD，△CEF，△CEH，△CFH;根據(jù)角度找出等腰三角形有△BCE，△CEG，△BFG.所以判定⑤正確.綜上所述，說法正確的有①②⑤.故正確答案是C.

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定.

例5.如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點M.下列結(jié)論：①AE=CG，②AE⊥CG，③DM∥GE，④OM=OD，⑤∠DME=45°.正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

解析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，然后求出∠ADE=∠CDG，再利用“邊角邊”證明△ADE和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=CG，判定①正確;根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠1=∠2，再求出∠MEG+∠MGE=∠DEG+∠DGE=90°，然后求出∠EMG=90°，判定②正確;根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OM=GE=OD，判定④正確;根據(jù)OM=OD=OG=OE判斷點D、E、G、M四點共圓，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠DME=∠DGE=45°，判定⑤正確;根據(jù)∠DME=45°，又知∠GEM﹤∠GED=45°可得∠DME≠∠GEM，判定DM∥GE錯誤.綜上所述，正確的有①②④⑤共4個.故選C.

點評本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及四點共圓，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關鍵.

例6.如圖，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE.我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系：

（1）猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系;說明理由.

（2）將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2.如圖3情形.請你通過觀察、測量等方法判斷（1）中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷.

解析：在三個圖形中，根據(jù)正方形的旋轉(zhuǎn)都可以得到△CDE≌△CBG，所以三個圖形中都存在BG=DE，直線BG⊥DE.

點評：線段BG和線段DE的長度相等，這個可以通過證明△CDE≌△CBG，由全等三角形對應邊相等得到，這兩條線段所在的直線互相垂直，只需要證明90°角即可.

例7.已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG.

（1）求證：EG=CG;EG⊥CG.

（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG.問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由.

解析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，在Rt△DEF和Rt△DCF中，G是斜邊DF的中點，由此可知EG=DF，CG=DF，所以EG=CG.再根據(jù)三角形外角定理可得∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠GDC，

∴∠EGC=∠EGF+∠CGF=2（∠EDG+∠GDC）=90°，∴EG⊥GC.

（2）作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N交CD于H，證明△GNE≌△GMC.

∴GE=GC，∠NGE=∠MGC，∴∠EGC=∠NGM=90°，∴EG⊥GC.

點評：本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關鍵.

總之：旋轉(zhuǎn)是幾何變換中的基本變換之一，它一般先對給定的圖形或其中一部分，通過旋轉(zhuǎn)，改變位置后重新組合，然后在新的圖形中分析有關圖形之間的關系，進而揭示條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而找到解決問題的途徑.