李 堯，王 偉*，王如賓，朱其志，王 輝，劉志航

(1.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210024；2. 河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院巖土所，江蘇 南京 210024)

巖石流變模型是巖石力學(xué)研究的一大重點(diǎn)，也是進(jìn)行流變數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)。元件模型是巖石流變本構(gòu)關(guān)系研究中不可或缺的一部分，通過對(duì)元件進(jìn)行串并聯(lián)組合，模擬巖石的流變力學(xué)特征。由于元件模型概念直觀、物理意義明確，并可以模擬巖石的多種力學(xué)效應(yīng)，且易編程實(shí)現(xiàn)、應(yīng)用方便，近年來對(duì)巖石元件模型的研究取得了大量成果,獲得的改進(jìn)元件模型可以很好地反映巖石流變非線性特性[1-9]?？紤]滲壓作用的流變損傷本構(gòu)模型研究成果較少，本文通過對(duì)二長(zhǎng)花崗巖流變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)的研究，在廣義Bingham模型的基礎(chǔ)上建立了基于滲透壓力損傷的流變損傷本構(gòu)模型，并進(jìn)行了參數(shù)辨識(shí)，對(duì)所得結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果相比較，本文建立的考慮滲壓損傷的非線性流變本構(gòu)模型與試驗(yàn)曲線擬合效果較好，驗(yàn)證了所建立的非線性流變本構(gòu)模型的合理性。

1 巖石流變損傷本構(gòu)模型及參數(shù)辨識(shí)

1.1 Biot系數(shù)的確定

在多孔介質(zhì)彈性理論框架內(nèi)，一般采用有效應(yīng)力原理分析流固耦合問題，有效應(yīng)力可表示為：

(1)

Terzahi[10]在土力學(xué)中提出有效應(yīng)力原理，其后Biot[11-12]在飽和多孔介質(zhì)的本構(gòu)機(jī)制方面進(jìn)行了開創(chuàng)性的研究?？紤]到有效應(yīng)力系數(shù)對(duì)有效應(yīng)力確定的重要性，國內(nèi)外眾多學(xué)者已開展了不同圍壓和滲壓下巖石的滲透性試驗(yàn)研究，獲得了基于滲透系數(shù)的巖石有效應(yīng)力系數(shù)。

綜合國內(nèi)外有關(guān)滲透系數(shù)與有效應(yīng)力關(guān)系的試驗(yàn)成果，借鑒文獻(xiàn)[13]，滲透系數(shù)k可以表示為有效應(yīng)力的單值函數(shù)：

(2)

Cross-plotting[14]法是由J.B.Walsh提出的，根據(jù)達(dá)西公式計(jì)算得到巖樣在不同壓力狀態(tài)下滲透率的一種方法，基于式(2)并根據(jù)Cross-plotting法確定巖石的有效應(yīng)力系數(shù)，當(dāng)滲透系數(shù)相同時(shí)，有效應(yīng)力亦相同，基于巖石滲透系數(shù)的試驗(yàn)結(jié)果，可獲得恒定圍壓下，滲透系數(shù)隨孔隙壓力變化的演化規(guī)律。再取一系列滲透系數(shù)作為參考值，針對(duì)同一滲透系數(shù)，可以獲得一系列圍壓和孔隙壓力的組合，通過恒定圍壓和孔隙壓力擬合線性關(guān)系的斜率最終得到Biot系數(shù)。不同壓力組合下的平均滲透系數(shù)見表1。圖1和圖2為根據(jù)Cross-plotting方法測(cè)得的有效應(yīng)力系數(shù)。

表1 不同壓力組合下二長(zhǎng)花崗巖的滲透系數(shù)表

圖1 滲透壓力-平均滲透系數(shù)關(guān)系曲線Fig.1 Permeability pressure-average permeability coefficient relation curve

圖2 孔隙壓力-圍壓的關(guān)系曲線Fig.2 Pore pressure-confining pressure relation curve

根據(jù)對(duì)大量的試驗(yàn)結(jié)果的分析，取均值滲透系數(shù)3×10-6Darcy時(shí)Biot系數(shù)，如圖1中所擬合的滲透系數(shù)與恒定圍壓的關(guān)系中，差值得到相同滲透系數(shù)下不同控制壓力作用下的滲透壓力，由Cross-plotting方法，得到孔隙壓力與圍壓的關(guān)系曲線，其斜率即為Biot系數(shù)，由圖2的擬合結(jié)果可知，彈性階段的Biot系數(shù)為0.338 6。

對(duì)各向同性材料而言，Biot系數(shù)是各向同性的。然而在脆性巖石破壞過程中，其中裂紋萌生、擴(kuò)展直至貫通是各向異性的過程，裂紋主要沿主應(yīng)力方向發(fā)展，導(dǎo)致Biot系數(shù)變?yōu)楦飨虍愋?，因此?duì)塑性變形后期由于試樣中裂紋已經(jīng)完全貫通，形成宏觀裂紋，所研究的巖石為裂隙孔隙材料時(shí)，可以采用裂隙內(nèi)的孔隙水壓力代替巖塊內(nèi)部的孔隙水壓力，仍可認(rèn)為此時(shí)的Boit系數(shù)為1。

1.2 考慮滲壓的損傷分析

在不同滲透壓力作用下巖石粘聚力和內(nèi)摩擦角等力學(xué)特性會(huì)發(fā)生不同程度的變化，滲透壓力會(huì)促進(jìn)裂紋的產(chǎn)生和發(fā)展，因此在巖石流變過程中圍壓、偏應(yīng)力和溫度相同的情況下，滲透壓力的變化對(duì)巖石損傷的影響不容忽視。

損傷變量通常用D來表示，材料的損傷使其內(nèi)部承受的凈應(yīng)力σD大于實(shí)際應(yīng)力σ，凈應(yīng)力可表示為：

(3)

損傷變量D可以定義為應(yīng)變的函數(shù)：

(4)

由廣義胡克定律，可以得到：

ε=ε1-(1-2μ)σ3/E

(5)

式中:μ為泊松比，E為彈性模量。

將式(5)代入式(4)中，可以得到：

(6)

根據(jù)有效應(yīng)力原理，在穩(wěn)定滲壓作用下巖石應(yīng)力可用式(1)表示，因此將式(1)代入式(6)中可得有效應(yīng)力作用下的損傷變量D：

(7)

損傷不僅與圍壓和偏應(yīng)力有關(guān)，在不同滲壓作用下亦與滲壓大小有關(guān)，是各個(gè)應(yīng)力共同作用的結(jié)果，因此，需在式(7)中引進(jìn)一個(gè)滲透壓力的函數(shù)。根據(jù)不同滲透壓力條件下，內(nèi)摩擦角和粘聚力的變化規(guī)律可知，隨著滲壓的增加，均成線性變化，因此假設(shè)損傷參數(shù)m與滲壓有如下的關(guān)系：

m=apw+b

(8)

式中：a,b為試驗(yàn)參數(shù)。

將式(8)代入式(7)中可以得到考慮滲透壓力的損傷變量D：

(9)

考慮到有效應(yīng)力系數(shù)在巖石流變過程中不是恒量，做如下假定，在衰減流變階段和穩(wěn)態(tài)流變階段，由于裂紋發(fā)展緩慢，有效應(yīng)力系數(shù)取為0.338 6；而在加速流變階段，有效應(yīng)力系數(shù)取為1，可由應(yīng)變閥值ε0進(jìn)行控制。

1.3 改進(jìn)的廣義Bingham模型的流變損傷模型

線性粘彈性模型可很好地模擬巖石流變的衰減流變階段和穩(wěn)態(tài)流變階段，但當(dāng)巖石偏應(yīng)力到達(dá)某一等級(jí)時(shí)，巖石會(huì)發(fā)生加速流變破壞，因此存在一個(gè)應(yīng)力閥值，當(dāng)偏應(yīng)力等級(jí)小于該值時(shí)，將發(fā)生前兩個(gè)階段的流變；當(dāng)外荷載水平達(dá)到應(yīng)力閥值時(shí)，將發(fā)生三個(gè)階段的流變。本文將裂隙體積應(yīng)變的轉(zhuǎn)折點(diǎn)作為裂隙開裂的起始應(yīng)力閥值，巖石從此時(shí)開始發(fā)生損傷。綜合試驗(yàn)結(jié)果，考慮使用廣義Bingham模型對(duì)巖石的流變進(jìn)行描述(圖3)。

圖3 廣義Bingham模型Fig.3 Generalized Bingham model

典型的廣義Bingham模型的計(jì)算公式如下(本文取軸向應(yīng)變?yōu)橹饕难芯繉?duì)象)：

(10)

根據(jù)文獻(xiàn)[15]的研究成果，對(duì)于廣義Bingham模型，定義一個(gè)描述流變衰減階段和穩(wěn)態(tài)階段的非線性函數(shù)：

f(t)=1-e-nt

(11)

當(dāng)n為某一合適參數(shù)時(shí)，當(dāng)t達(dá)到某一時(shí)刻時(shí)，f(t)=1，可以很好地描述衰減流變和穩(wěn)定流變階段。當(dāng)偏應(yīng)力等級(jí)大于閥值σs時(shí)，巖石發(fā)生加速流變破壞，通過引入損傷，在粘塑性元件中采用凈應(yīng)力代替Cauchy應(yīng)力，可以很好地描述巖樣的加速流變過程。因此改進(jìn)的廣義Bingham模型建立的過程如下：

(1) 在偏應(yīng)力等級(jí)小于巖石的應(yīng)力閥值時(shí)，損傷沒有發(fā)生，因此D=0，巖石的流變方程為廣義Bingham模型。

(12)

(2) 當(dāng)偏應(yīng)力等級(jí)大于巖石的應(yīng)力閥值時(shí)，但未發(fā)生加速流變破壞時(shí)，應(yīng)該考慮損傷對(duì)巖石流變的作用，此時(shí)裂紋并未出現(xiàn)，因此有效應(yīng)力系數(shù)取為0.338 6，則流變損傷方程為：

(13)

凈應(yīng)力可根據(jù)式(1)和式(9)得到：

(14)

(3) 當(dāng)偏應(yīng)力等級(jí)大于巖石的應(yīng)力閥值，且發(fā)生加速流變破壞時(shí)，此時(shí)由于宏觀裂紋逐漸出現(xiàn)，因此有效應(yīng)力系數(shù)取為1，流變方程與式(13)相似，凈應(yīng)力可以表示為：

(15)

根據(jù)式(11)—(13)可以看出，考慮滲壓損傷的流變本構(gòu)模型主要參數(shù)包括彈性模型E、泊松比μ，有效應(yīng)力系數(shù)β和表征滲壓影響的系數(shù)a和b。彈性模量和泊松比可通過加載過程中的瞬時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變確定，有效應(yīng)力系數(shù)按照1.1節(jié)假設(shè)確定，a和b可通過擬合最后一級(jí)偏應(yīng)力試驗(yàn)曲線獲得，應(yīng)力閥值可以通過相同試驗(yàn)條件下瞬時(shí)試驗(yàn)體積應(yīng)變規(guī)律確定，加速流變起始點(diǎn)應(yīng)變可通過最后一級(jí)流變速率曲線獲得，至此所有的流變參數(shù)均已確定。采用以上本構(gòu)關(guān)系得到的材料參數(shù)如表2—表4所示。

表2 圍壓4 MPa、滲壓1 MPa狀態(tài)下模型力學(xué)參數(shù)表

表3 圍壓4 MPa、滲壓2 MPa狀態(tài)下模型力學(xué)參數(shù)表

表4 圍壓4 MPa、滲壓3 MPa狀態(tài)下模型力學(xué)參數(shù)表

2 考慮滲壓的流變損傷本構(gòu)關(guān)系驗(yàn)證

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果分別作出了圍壓為4 MPa時(shí)不同滲壓條件下試驗(yàn)曲線與擬合曲線的對(duì)比圖，其中，滲壓為1 MPa條件下作出了全過程流變擬合曲線圖，為了更加清晰地對(duì)比加速流變階段的擬合效果，在滲壓為2 MPa和滲壓為3 MPa條件下給出了最后一級(jí)荷載作用下(即加速流變階段)的擬合曲線，如圖4所示。

由圖4可見，本文建立的考慮滲壓損傷的非線性流變本構(gòu)模型與試驗(yàn)曲線擬合效果較好，由圖4可以看出模型可以較好地反映巖石流變變形破壞的三階段，試驗(yàn)曲線與模型擬合曲線的變化趨勢(shì)一致，從圖4(b)、(c)可以看出，在加速流變階段，試驗(yàn)曲線與模型擬合曲線的總體變化趨勢(shì)和轉(zhuǎn)折點(diǎn)的數(shù)值大小均相吻合，都表現(xiàn)為應(yīng)變的急劇增大直至巖樣破壞，很好地表現(xiàn)了巖石加速流變階段的非線性，這表明本文所建立的考慮滲壓損傷的流變本構(gòu)模型的合理性和正確性。

3 結(jié)論

1)由考慮滲壓的二長(zhǎng)花崗巖三軸流變?cè)囼?yàn)所得結(jié)果，基于廣義Bingham模型建立了考慮滲透壓力損傷的流變損傷模型，引入損傷變量，考慮了流變過程的非線性建立了損傷演化方程。

2)基于所建立的損傷演化方程建立了改進(jìn)的廣義Bingham模型的流變損傷模型，并對(duì)流變損傷模型的力學(xué)參數(shù)進(jìn)行了辯識(shí)。模型預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相吻合，顯示了該模型的合理性和正確性，該模型可以很好地模擬巖石流變?nèi)A段，且具有參數(shù)少，物理意義明確，確定方法簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

圖4 各試驗(yàn)條件下模型擬合曲線與試驗(yàn)曲線對(duì)比圖Fig.4 model fitting curve and test curve indifferent test condition