◇ 山東 孟凡群

函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定是高考考查的重要內(nèi)容,此類問(wèn)題經(jīng)常在解答題中出現(xiàn),常用的解題思路是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等,據(jù)此判斷函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．有時(shí)也需根據(jù)所給函數(shù)的類型將其分離為兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù),通過(guò)判斷兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)處理．

(1)當(dāng)a<0時(shí),求證:函數(shù)f(x)存在極小值;

(2)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

本文主要研究第(2)問(wèn)，求解中將f(x)=xln (x+1)-ax2變形得f(x)=x[ln (x+1)-ax],易知x=0為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),其他零點(diǎn)可通過(guò)判斷g(x)=ln (x+1)-ax的零點(diǎn)得到,對(duì)于判斷函數(shù)g(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法,本文給出如下三種．

1 直接判斷

通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等,結(jié)合函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷．

同理，a>1時(shí),函數(shù)g(x)存在兩個(gè)零點(diǎn),函數(shù)f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)a≤0或a=1時(shí),f(x)有一個(gè)零點(diǎn);a>0且a≠1時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．

2 分離參數(shù)

對(duì)于含參函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,若能將參數(shù)分離出來(lái),則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為平行于x軸的直線與確定函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．

解法2易知x=0為函數(shù)g(x)=ln (x+1)-ax的零點(diǎn)．

設(shè)t(x)=x-(x+1)ln (x+1),則t′(x)=1-[1+ln (x+1)]=-ln (x+1),在(-1,0)內(nèi),t′(x)>0,t(x)單調(diào)遞增;在(0,+∞)內(nèi),t′(x)<0,t(x)單調(diào)遞減,所以tmin(x)=t(0)=0,所以t(x)≤0,即h′(x)≤0,h(x)單調(diào)遞減．

圖1

綜上所述,當(dāng)a≤0或a=1時(shí),f(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a>0且a≠1時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．

3 分離函數(shù)

解法3由g(x)=ln (x+1)-ax=0，可得ln (x+1)=ax,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷C1:y=ln (x+1)與C2:y=ax的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

圖2

圖3

如圖3,當(dāng)a>1或0

綜上所述，當(dāng)a≤0或a=1時(shí),f(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a>0且a≠1時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．