王洪軍

摘 要：本文以高考試題為載體，闡述在教學過程中微專題的設置，以及如何落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)，并對微專題教學的理解進行了簡要論述.

關鍵詞：微專題;學科核心素養(yǎng);解析幾何

1 引言

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》中指出：“學科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力. 數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的.”數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析，它們既相對獨立又相互交融，是一個有機的整體. 為培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng)，我們需要在日常教學中轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的觀念，在進行教學設計時，并不是對每一節(jié)課或每一個知識點進行教學設計，而是把一些具有邏輯聯(lián)系的知識點放在一起進行整體設計，碎片化的數(shù)學內(nèi)容無法把數(shù)學的本質(zhì)表述清楚，更無法體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng). 課程設計時可以以微專題的形式，把這些內(nèi)容前后照應進行合理建構(gòu)，在關注知識與技能的同時，思考知識與技能所蘊含的數(shù)學本質(zhì)、體現(xiàn)數(shù)學思想，最終實現(xiàn)學生形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的目標. 在教學中如何落實培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)是很多一線教師關注的問題.下面以高三復習時設計的一個解析幾何微專題為例，作進一步的說明.

2 微專題案例分析與說明

案例 （2018年全國Ⅰ卷理科數(shù)學第19題）設橢圓C∶x2 2+y2=1的右焦點為F，過點F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）.

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程;

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

解析 第（1）題較為簡單，這里不作考慮，只對第（2）題進行詳細的探討.

當l與x軸重合時，容易得到∠OMA=∠OMB=0.

視角1 當l與x軸不重合時，如圖1所示，設直線l的方程為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），且x1=my1+1，x2=my2+1，直線AM，BM的斜率之和為

說明 上述解法是論證這類問題的通法，在與學生互動交流中，他們很容易能夠得到上述方法.從簡化計算的層面上看，將直線方程設為x=my+1要比設為y=k（x-1）簡便，如果僅僅是將上述結(jié)果告訴學生，他們的感觸是不深刻的，只有親自操作，才能得到更深刻的認識，這并不是毫無意義的浪費時間，而是積累受益終生的基本活動經(jīng)驗.

視角2 當l與x軸不重合時，待證命題有如下等價形式：

說明 微專題的設計要有全局觀念，要打通知識模塊之間的界限，盡量探尋更多的“工具”，創(chuàng)設關聯(lián)的情境，引導學生由陌生問題向熟悉問題進行合理轉(zhuǎn)化. 視角2更加突出向量作為“工具”在解析幾何中的應用，我們知道，向量中的很多知識與解析幾何是相通的，通過加強知識之間的聯(lián)系，可以讓學生獲得更多的數(shù)學體驗，提升數(shù)學素養(yǎng).

視角3 當l與x軸不重合時，待證命題∠OMA=∠OMB點A關于x軸的對稱點A′（x1，-y1）在直線BM上.

直線BM的方程為y2x-（x2-2）y-2y2=0，要證明點A′（x1，-y1）在直線BM上，等價于證明y2x1+（x2-2）y1-2y2=0，即證明y1（x2-2）+y2（x1-2）=0，由上述論證可知等式成立.

說明 解析幾何中的一個難點就是蘊含繁雜的計算，通過題目確實能訓練學生的運算能力，但是核心素養(yǎng)中所提到的“數(shù)學運算”不僅僅是會繁雜的運算，更重要的是如何簡化運算，這需要我們在教學中培養(yǎng)學生具備更高的運算能力.基于此，相比于前兩種算法，視角3利用對稱原理更加簡潔地轉(zhuǎn)化為待證等式y(tǒng)1（x2-2）+y2（x1-2）=0.

視角4 當l與x軸不重合時，如圖2所示，分別過點A，B作準線x=2的垂線，垂足分別為點C，D.

由AC//FM//BD，可得|AF| |FB|=|CM| |MD|.

由橢圓的第二定義，可得|AF|=e|AC|，|BF|=e|BD|，其中e為橢圓的離心率，因此，|AC| |BD|=|CM| |MD|.

進而得到△ACM∽△BDM.

所以∠CAM=∠DBM.

所以∠OMA=∠OMB.

說明 解析幾何問題本質(zhì)上是幾何問題，把握問題本質(zhì)，逐步引導學生拾級而上. 在用代數(shù)方法研究解析幾何的同時，充分利用圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì)，常常可以得到簡潔而優(yōu)美的解答.實踐證明，這樣不僅會讓學生認清問題本質(zhì)，也使得對數(shù)學的興趣進一步加強.

如果僅僅是“就題論題”總有意猶未盡的感覺，可以進一步引導學生抽象出問題背后所蘊含的一般性結(jié)論，發(fā)現(xiàn)題目中“變中有不變”的特性，這正是數(shù)學中提出新定理、新命題的常用手段，對于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)大有裨益.

結(jié)論1 橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）的右焦點為F（c，0），過點F的直線與橢圓交于A，B兩點，橢圓的右準線x=a2 c與x軸交于點M，則∠OMA=∠OMB.

說明 上面僅給出了一類焦點和相應準線的情況，其他同樣成立，論證方法類似，限于篇幅，證明從略. 學生在論證上述結(jié)論的過程中可以進一步體會方法的通用性，真正做到舉一反三、觸類旁通. 對于程度較好的學生還可以引導其作如下進一步的抽象推廣.

結(jié)論2 過橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）長軸上的一點N（t，0）（-a

說明 通過上面論述，可以更清楚地了解這類題目的來源，也可以總結(jié)出相應模型. 解析幾何模型就是在學習的過程中，通過積累的知識經(jīng)驗經(jīng)過加工所得到的有長久保存價值的典型結(jié)構(gòu)，當遇到新的問題時，我們可以通過題目信息辨識它屬于（或接近于）哪種模型，通過類比，提出有效的解決方案進而解決問題.

可以引導學生作進一步思考：橢圓與雙曲線都是有心圓錐曲線，那么，在雙曲線中是否也有類似的結(jié)論？

首先，可以指導學生從特殊實例入手，將案例問題改編為如下題目并論證.（證明略）

設雙曲線C：x2 2-y2=1的右焦點為F，過點F的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，點M的坐標為（23 3，0），設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

其次，用研究橢圓時類似的想法，讓學生經(jīng)歷由特殊到一般的過程，并進一步啟發(fā)他們以拋物線為背景獨立進行相關的研究學習，通過積累經(jīng)驗和相關方法，逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，而問題解決的過程正是培養(yǎng)學生能力，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的過程.

3 對課堂教學的啟示

數(shù)學教學活動是一個預設與生成相結(jié)合的過程，而預設的主要形式表現(xiàn)為以課時為單位的教學設計，對于合理把握每節(jié)課的數(shù)學教學活動的進程、優(yōu)化數(shù)學教學活動具有重要意義，但其自身的不足之處也是顯而易見的，容易使學生的知識結(jié)構(gòu)割裂，不利于形成完整的知識鏈條和結(jié)構(gòu)體系;也容易使一線教師拘泥于具體的“就課論課”，而忽略對教學整體的把握.微專題的教學設計更加注重知識內(nèi)容的整體性、教學安排的整體性和對學生認知把握的整體性，將精心設計的多個微專題融合成單元主題，可以將教學內(nèi)容置于主題整體內(nèi)容中去把控，更多地關注教學內(nèi)容的本質(zhì)，拓展其教學視野并達到提高教學效率的目的，也會更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).

參考文獻：

[1]史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

（收稿日期：2019-12-26）