劉會衡，張軍

（湖北文理學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖北 襄陽 441053）

數(shù)字信號處理課程是電子信息類和電氣類專業(yè)本科生繼信號與系統(tǒng)課程之后，必須學(xué)習(xí)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程．信號與系統(tǒng)課程主要講解模擬信號的基本概念、模擬系統(tǒng)的時域和變換域分析方法[1-4]．?dāng)?shù)字信號處理課程主要講解數(shù)字信號的基本概念、數(shù)字系統(tǒng)的時域和變換域分析方法，以及濾波器的設(shè)計方法[5-7]．本課程中涉及幾種重要的變換，包括連續(xù)或離散信號的傅里葉變換（FT）、連續(xù)信號的拉普拉斯變換（LT）、離散信號的 Z變換（ZT）、連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)（FS）、離散周期信號的傅里葉級數(shù)（DFS），以及離散信號的離散傅里葉變換（DFT）[8-9]．學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，往往對這幾種變換及其關(guān)系混淆不清，導(dǎo)致學(xué)習(xí)和理解起來非常困難，這也是本課程教學(xué)的難點[10]．本文對數(shù)字信號處理課程中的這幾種重要變換進行了深入的分析，理清其中的關(guān)系，分析各種變換的本質(zhì)，使復(fù)雜的變換理解起來更加通俗易懂．

1 4種傅里葉變換

信號從時域是否連續(xù)、是否周期，將信號分成四大類：連續(xù)非周期信號、連續(xù)周期信號、離散非周期信號和離散周期信號．本科生分別在信號與系統(tǒng)和數(shù)字信號處理課程中學(xué)習(xí)這些內(nèi)容（部分內(nèi)容在有些教材中也有交叉）．對系統(tǒng)進行分析，可以在時域進行，也可以在變換域進行．對于連續(xù)系統(tǒng)，時域分析主要是求解微分方程，變換域分析主要是頻域分析法和S域分析法．對于離散系統(tǒng)，時域分析主要是求解差分方程，變換域分析主要是頻域分析法和Z域分析法．無論是連續(xù)信號還是離散信號，最重要的變換就是傅里葉變換，具體見表1．信號在時域和頻域的周期性和連續(xù)性是交叉一一對應(yīng)的．一個域的周期一定會造成另一個域的離散，一個域的非周期一定會造成另一個域的連續(xù)；一個域的連續(xù)一定會造成另一個域的非周期，一個域的離散一定會造成另一個域的周期．

表1 4種傅里葉變換

1.1 連續(xù)非周期信號的傅里葉變換（FT）

連續(xù)非周期信號x（t）若滿足絕對可積條件

則存在傅立葉變換X(jΩ)，其傅里葉變換

其中：Ω為模擬角頻率，單位rad/s．

以單個方波脈沖為例，假設(shè)脈寬τ=2，即

則其對應(yīng)的傅里葉變換為

方波脈沖的波形和頻譜見圖1．從圖1中可以看出，X(jΩ)為連續(xù)非周期的頻譜．

圖1 矩形脈沖及其頻譜

1.2 連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)（FS）

連續(xù)周期信號不滿足絕對可積的條件，所以它不存在傅里葉變換，但可以展開成傅里葉級數(shù)．以指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為例，周期函數(shù)～x(t)的傅里葉級數(shù)變換對為

以周期矩形脈沖為例，假設(shè)周期T=8，脈沖寬度為τ=2

則其對應(yīng)的傅里葉級數(shù)為

周期矩形脈沖的波形和FS系數(shù)見圖2．從圖2中可以看出，X(jkΩ)為非周期的離散譜．

圖2 周期矩形脈沖及其傅里葉級數(shù)

1.3 離散非周期信號的傅里葉變換（FT）

離散非周期信號x(n)，若滿足絕對可和條件

則存在傅里葉變換，其傅里葉變換對為

其中：ω為數(shù)字頻率，單位rad．

以矩形序列RN(n)為例，假設(shè)N=4，即

其傅里葉變換為

矩形序列的序列圖和頻譜見圖3．從圖3中可以看出，序列的傅里葉變換是周期的，周期是2π．由于X(ejω)的周期性，實際分析過程中，只關(guān)注一個周期[02π]或[-π π]內(nèi)的信號頻譜．由于信號頻譜一般都是關(guān)于ω=0對稱的，所以分析信號往往只需要觀察[0 π]范圍內(nèi)的頻譜特征．

1.4 離散周期信號的離散傅里葉級數(shù)（DFS）

離散周期信號不滿足絕對可和的條件，所以它不存在傅里葉變換，但可以展開成傅里葉級數(shù)．從計算機處理信號的角度來看，計算機只能處理數(shù)字信號，因此要求信號在時域和頻域都是離散的．但是前面3種變換至少在一個域是連續(xù)的，不適合計算機處理，而DFS變換在時域和頻域都是離散的，因此是最適合計算機處理的一種變換方式．周期序列的DFS變換對為

圖3 矩形序列及其頻譜

以周期矩形序列為例

其中：x(n)=R4(n)；周期N=8；m為正數(shù)．周期矩形序列的序列圖和DFS系數(shù)見圖4．從圖4中可以看出，周期序列的頻譜是離散的、周期的．

圖4 周期序列及其離散傅里葉級數(shù)

2 各種變換之間的關(guān)系

信號從時間上是否連續(xù)可以分為兩大類：連續(xù)時間信號和離散時間信號，各種變換及其關(guān)系見圖5．

圖5 信號的各種變換及其關(guān)系

2.1 連續(xù)信號的FT與LT

對于連續(xù)時間信號x（t），如果x（t）滿足絕對可積的條件，則存在傅里葉變換，也就是非周期信號的FT．但是有些信號即使是非周期的，也可能不滿足絕對可積的條件，此時就無法用傅里葉變換來分析．但是如果給此信號乘以一個指數(shù)形式的衰減因子e-σt（σ為實常數(shù)），在σ滿足一定的條件下，x(t)e-σt能夠滿足絕對可積的條件

此時x(t)e-σt的傅里葉變換為

令復(fù)變量s=σ+jω，則可得到Laplace正變換

從分析可知，σ需要滿足一定的條件x(t)e-σt才絕對可積，σ滿足的這一條件即Laplace變換的收斂域．對于 Laplace變換，當(dāng)σ=0時，s=jω，Laplace變換就成了傅里葉變換，即虛軸上的拉普拉斯變換為傅里葉變換．反之，若σ無法取到 0值，則傅里葉的信號變換不存在．由此可見，Laplace變換是傅里葉變換的推廣，但并不是所有函數(shù)的Laplace變換都存在，必須滿足收斂域的要求．

2.2 連續(xù)信號的FT與FS

對于連續(xù)周期信號，可展開成傅里葉級數(shù)，但是不存在傅里葉變換．為了將周期信號和非周期信號的研究統(tǒng)一起來，引入了奇異函數(shù)δ(Ω)，從而使周期信號也可以利用傅里葉變換進行分析，即廣義傅里葉變換．由FS知

為了表述方便，這里將基波角頻率表示為Ω0．對式（17）取傅里葉變換

因此，利用奇異函數(shù)δ(Ω)，周期函數(shù)也可進行傅里葉變換，其頻譜同傅里葉級數(shù)系數(shù)一致，只是用沖激函數(shù)表示頻譜分量而已．

另一方面，從周期函數(shù)的頻譜或者傅里葉級數(shù)系數(shù)可以看出，周期函數(shù)頻譜可以看作是對非周期信號頻譜的頻域抽樣，抽樣間隔為基波角頻率頻域抽樣將造成信號在時域周期延拓，延拓周期為T，故而非周期信號就變成了周期信號，這就是周期信號FS和非周期信號FT的關(guān)系．

2.3 離散信號的FT與ZT

Z變換的定義為

其存在的條件是冪級數(shù)收斂，即

滿足此條件z的取值范圍稱為Z變換的收斂域．z為復(fù)平面變量，若將其表示為模和幅角的形式

代入式（19），得到

顯然，如果r=1，則Z變換就等于傅里葉變換，即

r=|z|=1，在z平面上即單位圓．因此，單位圓上的Z變換即傅里葉變換．如果ZT的收斂域不包含單位圓，則FT不存在．由此可見，Z變換是傅里葉變換的推廣，但并不是所有函數(shù)的Z變換都存在，必須滿足收斂域的要求．

2.4 離散信號的FT與DFS

對于離散周期信號，可展開成傅里葉級數(shù)，但是傅里葉變換不存在．如果引入了奇異函數(shù)δ(ω)，則可將周期序列和非周期序列分析統(tǒng)一起來．由DFS可知

對式（24）取傅里葉變換

另一方面，從周期序列的頻譜或者傅里葉級數(shù)系數(shù)可以看出，周期序列頻譜可以看作是非周期序列的連續(xù)頻譜在頻域抽樣，每個周期（2π）內(nèi)抽樣N個點，抽樣間隔，也即基波角頻率．頻域抽樣將造成信號在時域周期延拓，延拓周期為N，則非周期序列就變成了周期序列，這就是周期序列的DFS和非周期序列FT的關(guān)系．

3 連續(xù)信號的FT和離散信號的FT

要建立連續(xù)信號和離散信號傅里葉變換之間的關(guān)系，就需要從模擬信號的數(shù)字化過程來分析．模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號的第一步就是抽樣，假設(shè)每隔T秒抽樣一次，有

當(dāng)t=nT時，連續(xù)變量t就變成了離散變量n，微分就變成了求和．抽樣信號x(nT)簡記為x(n)，并考慮到數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω的關(guān)系ω=ΩT，可得到

式（28）即離散信號的傅里葉變換DFT．

時域抽樣會造成頻域周期延拓．從時域抽樣定理知道，頻域延拓周期為抽樣角頻率Ωs．因此，從連續(xù)信號的角度來看，離散信號的傅里葉變換是周期的，周期是Ωs．而從離散信號的角度來看，其頻譜周期是2π，其實二者并不矛盾．當(dāng)模擬角頻率為Ωs時，數(shù)字頻率為

因此，從不同角度來看離散信號的周期都是一致的．

4 DFT與DFS，ZT，F(xiàn)T的關(guān)系

4.1 DFT與DFS

DFS并不適合計算機處理，雖然DFS在時域和頻域都是離散的，但都是周期的，計算機無法處理無窮盡的信號．從周期序列的基本性質(zhì)知道，每個周期的信號都是重復(fù)的，因而可以只分析某個周期的信號和頻譜，這就是有限長序列的傅里葉變換，即離散傅里葉變換DFT．有限長序列在時域可以看作周期序列在主值區(qū)間上的主值序列；類似地，其頻譜也可以看作離散傅里葉級數(shù)系數(shù)在主值區(qū)間上的主值序列．從而可以得到DFT變換對

其中：N為序列的長度，也是DFS的周期．從式（30）可以明顯看出，DFT變換就是DFS的主值序列．

這就是DFT和DFS的關(guān)系．

4.2 DFT與ZT

從式（19）和式（30）對比可以得到DFT與ZT的關(guān)系

4.3 DFT與FT

從式（9）和式（30）對比可以得到DFT與FT的關(guān)系

以有限長序列x(n)=R4(n)為例，其8點的DFT為

16點的DFT為

它們對應(yīng)的DFT幅頻特性見圖6，其中虛線為x(n)的FT變換．從圖6中可以明顯看出，DFT變換就是對FT變換在[02π]上等間隔采樣，將連續(xù)頻譜轉(zhuǎn)換為了離散頻譜．

圖6 x（n）的DFT和FT的關(guān)系

5 結(jié)語

從信號的連續(xù)與離散、周期與非周期，可以將傅里葉變換分為4類，即連續(xù)非周期信號的FT，離散非周期信號的FT，連續(xù)周期信號的FS和離散周期信號的DFS．將連續(xù)非周期信號的FT推廣就得到拉普拉斯變換，而虛軸上的LT即FT．將離散信號的FT推廣就得到了Z變換，而單位圓上的ZT即FT．連續(xù)信號x(t)抽樣后就成了離散信號x(n)，對二者分別作傅里葉變換就得到了二者的傅里葉變換（FT）X(jΩ)和X（ejω），時域抽樣造成頻域周期延拓，所以X（ejω）是X(jΩ)以2π為周期的周期延拓信號．離散信號的DFT變換可看作是周期序列傅里葉級數(shù)主值區(qū)間上的系數(shù)值，而離散序列則可看作是周期序列的主值序列．另一方面，DFT變換是Z變換在單位圓上的N點等間隔抽樣，也是FT變換在區(qū)間[02π]內(nèi)的N點等間隔抽樣．通過理清各種變換之間的關(guān)系，學(xué)生可以更好地學(xué)習(xí)和理解數(shù)字信號處理課程中幾種重要的變換，從而更好地掌握數(shù)字信號處理的基本理論和基本方法．