羅文俊，王德禹*

1 上海交通大學(xué)海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240

2 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海200240

0 引 言

近年來由于船舶的極限承載能力不夠，在高海情下，許多船舶出現(xiàn)了局部失效破損甚至引發(fā)整體斷裂的海損事故。因此，船舶的極限承載能力是船舶設(shè)計(jì)中需要重點(diǎn)考慮的方面。目前，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于船舶的確定性極限強(qiáng)度的研究頗多，卻鮮有考慮諸多不確定因素的船舶極限強(qiáng)度可靠性研究。

蒙特卡羅（MC）法是計(jì)算可靠度最準(zhǔn)確的方法，且適用于極限狀態(tài)函數(shù)為高維度、多峰、強(qiáng)非線性的情況。結(jié)合代理模型采用MC 法計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠度，只需知道功能函數(shù)值的正負(fù)號(hào)即可，因此要求代理模型盡可能準(zhǔn)確擬合極限狀態(tài)邊界。邱志平等[1]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建近似模型獲得近似設(shè)計(jì)點(diǎn)，結(jié)合MC 模擬（MCS）計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度。Rashki等[2]提出以MC 樣本點(diǎn)的概率密度值作為權(quán)重因子，篩選出位于失效區(qū)域的樣本點(diǎn)。張亮等[3]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合極限狀態(tài)函數(shù)，從而根據(jù)函數(shù)映射關(guān)系生成大量極限狀態(tài)函數(shù)值，然后通過MC 概率分析得到結(jié)構(gòu)的可靠度。陳松坤等[4]以樣本點(diǎn)到極限狀態(tài)邊界的距離和權(quán)重因子同時(shí)作為篩選準(zhǔn)則，篩選出極限狀態(tài)邊界附近的點(diǎn)訓(xùn)練BP 模型。Xiao 等[5]開發(fā)了3 種學(xué)習(xí)函數(shù)，確保了大多數(shù)新選擇的訓(xùn)練樣本點(diǎn)遠(yuǎn)離現(xiàn)有樣本點(diǎn)，并且使其盡可能接近極限狀態(tài)函數(shù)，在不考慮初始樣本不確定性的情況下產(chǎn)生確定的結(jié)果。侯國祥等[6]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合應(yīng)力函數(shù)，結(jié)合MCS 計(jì)算內(nèi)燃機(jī)的可靠度指標(biāo)。Lü等[7]提出結(jié)合Kriging模型和線性采樣的主動(dòng)學(xué)習(xí)可靠性分析方法（AK-LS）法，通過構(gòu)建的主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)H 篩選出對(duì)提高Kriging 模型精度最好的樣本點(diǎn)，以較少的樣本點(diǎn)構(gòu)造高精度Kriging 模型。Echard 等[8]提出了結(jié)合Kriging 模型和MCS 的主動(dòng)學(xué)習(xí)可靠性分析方法（AK-MCS），引入了一種學(xué)習(xí)函數(shù)U，通過將失效面附近的點(diǎn)和預(yù)測(cè)誤差較大的點(diǎn)篩選出來，以較少的樣本點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了對(duì)極限狀態(tài)邊界的高度擬合。Zheng 等[9]提出 基 于改進(jìn)AK-MCS 中U 函數(shù)的可靠性分析方法，通過采用U 函數(shù)篩選出初步最佳樣本點(diǎn)，然后再篩選出與初步最佳樣本點(diǎn)預(yù)測(cè)值異號(hào)且距離其最近的樣本點(diǎn)，通過這兩點(diǎn)連線，生成n 個(gè)等分點(diǎn)，再通過U 函數(shù)篩選出這n+2 點(diǎn)中U 函數(shù)值最低的點(diǎn),作為最佳樣本點(diǎn)加入訓(xùn)練集更新Kriging 模型。

AK-LS 方法的優(yōu)點(diǎn)在于采樣點(diǎn)分布在整個(gè)設(shè)計(jì)空間，全局預(yù)測(cè)精度好；不足之處是Kriging 模型的后期更新效率較低，收斂速度較慢。AK-MCS方法的優(yōu)點(diǎn)在于采樣點(diǎn)主要集中在極限狀態(tài)邊界附近，極限狀態(tài)邊界的擬合精度高，且后期收斂較快；不足之處在于Kriging 模型前期全局?jǐn)M合精度較低，導(dǎo)致更新效率較低，收斂速度較慢［11］。

本文將充分利用以上兩種基于主動(dòng)學(xué)習(xí)的可靠性分析方法的優(yōu)勢(shì)，采用新的序列采樣篩選準(zhǔn)則UH，并使用K 折交叉驗(yàn)證（K-fold cross validation）法作為序列采樣停止準(zhǔn)則，提出改進(jìn)的AK-MCS 方法，對(duì)船舶板架的極限強(qiáng)度可靠性進(jìn)行研究。使用該方法評(píng)估船舶實(shí)際航行中局部結(jié)構(gòu)失效破損概率，尤其針對(duì)船舶局部較危險(xiǎn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性研究。本文對(duì)于船舶板架極限強(qiáng)度可靠性的研究具有重大意義。

1 改進(jìn)AK-MCS 方法

1.1 學(xué)習(xí)函數(shù)U

在AK-MCS 方法中，Echard 等［8］引入了一種學(xué)習(xí)函數(shù)U：

式中：G?(X)和σG?(X)分別為Kriging 代理模型預(yù)測(cè)值的均值和方差。通過計(jì)算所有樣本點(diǎn)的U 值，將U 值最小點(diǎn)作為下一個(gè)最佳樣本點(diǎn)加入到實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（DOE），同時(shí)將G?(X)值接近于0 的點(diǎn)（即失效面附件的點(diǎn)）和σG?(X)值較大的點(diǎn)（即預(yù)測(cè)誤差較大的點(diǎn)）篩選出來，以更新Kriging 模型。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于不需要優(yōu)化算法來識(shí)別添加到DOE 的下一個(gè)樣本點(diǎn)，便于使用Matlab 建模軟件中的DACE 工具箱。

1.2 學(xué)習(xí)函數(shù)H

Shannon［10］在1948 年 提 出 了“信 息 熵”的 概念，信息熵是對(duì)信息的量化度量。熵隨著變量不確定性的增大而增大，分析變量所需的信息量也隨之增大。Lü等［7］提出了結(jié)合Kriging 模型和線路抽樣法（LS）的主動(dòng)學(xué)習(xí)可靠性分析（AK-LS）方法，其中引入了基于信息熵的學(xué)習(xí)函數(shù)H：

式中：f(G?(X)) 為G?(X) 的正態(tài)分布概率密度函數(shù)；H(G?(X)) 為G?(X) 的 混 亂 度，可 以 用 來 判 斷G?(X)的不確定性。若某點(diǎn)的信息熵越大，預(yù)測(cè)越不準(zhǔn)確，該樣本點(diǎn)對(duì)提高代理模型精度的作用越大。

1.3 樣本點(diǎn)篩選準(zhǔn)則UH

AK-MCS 方法中，樣本點(diǎn)篩選準(zhǔn)則采用學(xué)習(xí)函數(shù)U，通過計(jì)算所有MC 樣本點(diǎn)的U 值，選擇U值最小點(diǎn)作為最佳樣本點(diǎn)，加入DOE中更新Kriging模型。這種篩選準(zhǔn)則的缺點(diǎn)是Kriging 模型前期更新效率較低，收斂速度較慢；優(yōu)點(diǎn)在于采樣點(diǎn)集中在失效面附近，可有效提高Kriging 模型對(duì)失效面的擬合精度，且后期收斂較快。AK-LS 方法中樣本點(diǎn)篩選準(zhǔn)則采用學(xué)習(xí)函數(shù)H，通過計(jì)算所有MC 樣本點(diǎn)的H 值，選擇H 值最大點(diǎn)作為最佳樣本點(diǎn)，加入DOE 中更新Kriging 模型。這種篩選準(zhǔn)則的缺點(diǎn)是Kriging 模型的后期更新效率較低，收斂速度較慢；優(yōu)點(diǎn)在于采樣點(diǎn)分布在整個(gè)設(shè)計(jì)空間，對(duì)于前期提高Kriging 模型的全局預(yù)測(cè)精度貢獻(xiàn)較大。

本文采用的篩選準(zhǔn)則結(jié)合了這兩種學(xué)習(xí)函數(shù)的優(yōu)勢(shì)。先使用U 函數(shù)篩選出少量分布在失效面附近的候選樣本點(diǎn)，然后采用H 函數(shù)從候選樣本點(diǎn)中篩選出對(duì)提高Kriging 模型精度貢獻(xiàn)最大的點(diǎn)。即結(jié)合兩種學(xué)習(xí)函數(shù)，在每一輪迭代中篩選出對(duì)提高Kriging 模型擬合極限狀態(tài)邊界精度貢獻(xiàn)最大的樣本點(diǎn)。這種新的篩選準(zhǔn)則既能有效保證Kriging 模型的精度，又能提高效率，減少了調(diào)用功能函數(shù)的次數(shù)。

1.4 迭代停止準(zhǔn)則

本文迭代停止準(zhǔn)則采用K 折交叉驗(yàn)證［5］。將原始DOE 數(shù)據(jù)均分成K 組，每個(gè)子集分別做一次驗(yàn)證集，剩下的K-1 組子集作為訓(xùn)練集，生成K 個(gè)代理模型。根據(jù)每個(gè)代理模型計(jì)算失效概率，迭代停止準(zhǔn)則為

1.5 收斂準(zhǔn)則

在MC 方法中，MC 樣本容量應(yīng)足夠大才能確保失效概率的準(zhǔn)確性。尤其是對(duì)于失效概率非常低的情況，需要大量MC 樣本點(diǎn)?？筛鶕?jù)變異系數(shù)評(píng)估樣本點(diǎn)數(shù)量nMC對(duì)失效概率計(jì)算結(jié)果的影響［12］。

每次迭代停止時(shí)，需要對(duì)輸出的變異系數(shù)進(jìn)行校核，以確保樣本容量足夠大。本文取變異系數(shù)C.O.VPf≤0.05。

1.6 改進(jìn)AK-MCS 方法的計(jì)算流程

改進(jìn)AK-MCS 方法（AK-MCS（UH））的建立具體步驟為：

1）在設(shè)計(jì)空間中采用MC 采樣生成樣本集S，所有樣本點(diǎn)均不調(diào)用有限元模型（FEM）。

2）生成訓(xùn)練集。采用拉丁超立方（LHS）采樣生成少量樣本點(diǎn)，生成的樣本點(diǎn)調(diào)用FEM 計(jì)算得出響應(yīng)集，建立初始DOE。

3）根據(jù)初始DOE，使用DACE 工具箱建立Kriging 模型。

4）用Kriging 模型預(yù)測(cè)S 集中樣本點(diǎn)的響應(yīng)值，采用MC 法計(jì)算失效概率P?f。

5）采用樣本篩選準(zhǔn)則UH篩選出最佳樣本點(diǎn)X。

6）開始停止迭代準(zhǔn)則判斷。若滿足停止條件，則進(jìn)入下一步，否則將樣本點(diǎn)X 加入DOE 中，返回步驟3）。重復(fù)上述步驟，直到滿足停止準(zhǔn)則。

7）進(jìn)行收斂準(zhǔn)則判斷。檢查失效概率的變異系數(shù)C.O.VPf，保證該次試驗(yàn)有足夠多的樣本點(diǎn)。若計(jì)算結(jié)果低于設(shè)定值，則輸出失效概率，流程結(jié)束；否則生成新的MC 樣本點(diǎn)，加入到S 集，返回步驟4），重復(fù)上述步驟，直至滿足收斂準(zhǔn)則。

以上步驟的流程圖如圖1 所示。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，訓(xùn)練集中樣本點(diǎn)的響應(yīng)值往往需要通過耗時(shí)的有限元計(jì)算得到，訓(xùn)練集過大意味著計(jì)算成本巨大。而本文方法致力于以最少的樣本點(diǎn)建立具有足夠精度的Kriging 模型，從而盡可能減少調(diào)用有限元模型的次數(shù)，縮減計(jì)算成本。

圖1 改進(jìn)AK-MCS 方法流程圖Fig.1 Flow chart of improved AK-MCS method

1.7 算例展示

為驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)AK-MCS 方法的有效性和適用性，引用了文獻(xiàn)［8］的一個(gè)非線性振蕩器數(shù)學(xué)算例，其物理模型如圖2（a）所示。采用不同可靠性方法計(jì)算對(duì)比。該振蕩系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，如圖2 所示。

圖2 非線性振蕩器Fig.2 Nonlinear oscillator

該模型的功能函數(shù)為［8］

獻(xiàn)［8］。6 個(gè)變量均為各自獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布范圍如表1 所示。

表1 非線性振蕩器設(shè)計(jì)變量特性Table 1 Nonlinear oscillator design variable characteristics

基于MC 抽樣的7×104個(gè)樣本點(diǎn)，分別運(yùn)用MC 法、AK-MCS（U）法、AK-MCS（H）法 以 及AK-MCS（UH）法等對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行求解，所得結(jié)果如表2 所示。

表2 非線性可靠性計(jì)算結(jié)果Table 2 Nonlinear reliability calculation results

表2 中，功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)“24+70”為24 個(gè)初始樣本點(diǎn)加上70 個(gè)篩選樣本點(diǎn)。對(duì)比結(jié)果可以看出：AK-MCS（UH）方法計(jì)算的失效概率與MC法的結(jié)果一致，說明AK-MCS（UH）方法具有良好的計(jì)算精度；AK-MCS（UH）法僅調(diào)用了58 次功能函數(shù)，比AK-MCS（U）少調(diào)用了36次，比AK-MCS（H）少調(diào)用了42 次，顯著減少了功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)；AK-MCS（UH）的 計(jì) 算 時(shí) 間 為14 min，比AK-MCS（U），AK-MCS（H）的計(jì)算時(shí)間各減少了7和16 min，說明AK-MCS（UH）法提高了求解效率。

2 基于改進(jìn)AK-MCS 法的船舶板架極限強(qiáng)度可靠性分析

由縱骨和橫梁組成的板架結(jié)構(gòu)是船舶結(jié)構(gòu)的主要組成部分，因此有必要校核船舶板架的極限強(qiáng)度。在求解船舶板架的極限強(qiáng)度時(shí)，材料特性、板厚及載荷等都具有一定的隨機(jī)性，會(huì)對(duì)船體板架極限承載能力的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響，因此需要對(duì)船舶板架結(jié)構(gòu)極限強(qiáng)度可靠性進(jìn)行研究。本文將基于改進(jìn)的AK-MCS 方法對(duì)文獻(xiàn)中［13］一艘蘇伊士型油船的船底板架進(jìn)行極限強(qiáng)度的可靠性研究，截取船舶中加筋板計(jì)算其在組合載荷下的失效概率。幾何模型如圖3 所示。

圖3 加筋板幾何示意圖Fig.3 Geometric diagram of stiffened plates

加筋板承受中拱彎矩σx，hg作用，底板承受橫向水壓力P。加筋板模型的功能函數(shù)為

G=σU-σx，hg（6）

式中：G＜0 為結(jié)構(gòu)失效；σU為加筋板的極限承載能力，即在橫向壓力、縱向彎矩組合載荷下的極限強(qiáng)度，調(diào)用有限元模型計(jì)算；σx，hg為加筋板在中拱狀態(tài)下的實(shí)際承載壓力，可根據(jù)Shu 等［13］提出的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算。

以上各式中參數(shù)含義如表3 所示。

表3 加筋板模型參數(shù)Table 3 Stiffened plate model parameters

該計(jì)算模型選用了縱向雙跨距的1/2+1+1/2單根加筋板模型，如圖4 所示。本模型同時(shí)考慮了幾何尺寸與外載荷的不確定性，加筋板模型參數(shù)如表3 所示。

圖4 加筋板有限元模型以及焊接初始變形（比例因子為50）Fig.4 Finite element model of stiffened plates and initial deformation of welding（scale factor is 50）

圖5 為尺寸取設(shè)計(jì)值時(shí)加筋板在極限狀態(tài)下的有限元計(jì)算結(jié)果。

從圖5（b），圖5（c），圖5（d）可知，板架的失效模式分別由梁柱屈曲失效、桁材腹板失效和加筋側(cè)傾失效3 種失效模式耦合組成。

圖5 加筋板極限狀態(tài)下有限元模型計(jì)算云圖（變形放大倍數(shù)為8）Fig.5 The finite element calculation cloud chart of stiffened plate under limit state（deformation magnification is 8）

本算例對(duì)比了文獻(xiàn)［4］的改進(jìn)蒙特卡羅法（BP-MC）［4］和文獻(xiàn)［13］采用MCS 以及結(jié)合二階響應(yīng)面的MC 模擬（RS-MC）計(jì)算的加筋板的失效概率。同時(shí)，采用AK-MCS（U）法，AK-MCS（H）法以及AK-MCS（UH）法對(duì)其進(jìn)行求解，計(jì)算結(jié)果如表4 所示。

表4 加筋板可靠度計(jì)算結(jié)果Table 4 Stiffened plate reliability calculation result

由表4可知，改進(jìn)AK-MCS方法（AK-MCS（UH））計(jì)算得到的失效概率最接近MC 方法的計(jì)算值，具有較高的計(jì)算精度。且僅需調(diào)用有限元模型181 次，比AK-MCS（U）法、AK-MCS（H）法 和BP-MC 法各少調(diào)用84，102 和38 次，是6 種方法中調(diào)用有限元模型次數(shù)最少的可靠性方法，有效降低了計(jì)算成本，對(duì)于船舶板架結(jié)構(gòu)極限強(qiáng)度計(jì)算具有較好的適用性。

3 結(jié) 論

在工程實(shí)際應(yīng)用中，通常保留了非常大的安全裕度，因此失效概率非常小。在此情況下，難以進(jìn)行可靠性評(píng)估，尤其是當(dāng)單次有限元模型仿真耗時(shí)較長時(shí)，計(jì)算成本將非常龐大。船舶結(jié)構(gòu)極限強(qiáng)度可靠性分析具備以上特點(diǎn)，為此本文提出了改進(jìn)AK-MCS 法，并將其應(yīng)用于組合載荷作用下的船底板架極限強(qiáng)度可靠性分析，得到如下主要結(jié)論：

1）改進(jìn)AK-MCS 法具有較高的求解精度和效率。以非線性振蕩器數(shù)學(xué)模型為例，驗(yàn)證了該方法的可行性。可見，改進(jìn)AK-MCS 法的計(jì)算結(jié)果與MC 法結(jié)果一致，且顯著減少了調(diào)用功能函數(shù)的次數(shù)和計(jì)算時(shí)間，在保證求解精度的同時(shí)提高了計(jì)算效率。

2）改進(jìn)AK-MCS 法在船舶板架極限強(qiáng)度可靠性研究中具有良好的適用性和高效性，與MC法計(jì)算結(jié)果相比，計(jì)算誤差只有5%，與文中其他方法相比最接近于MC 法的計(jì)算結(jié)果，且調(diào)用有限元模型次數(shù)比原方法減少了32%，有效降低了計(jì)算成本。

本文所提改進(jìn)AK-MCS 方法具有較好的繼承性，適用于其他行業(yè)的高可靠度工程結(jié)構(gòu)問題，也可以與智能優(yōu)化算法結(jié)合進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。