王美瑩，許靜波，郭青松

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

0 引言

Thom提出的通用開折是突變理論的重要內(nèi)容，也是奇點理論對數(shù)學(xué)最重要的貢獻之一.通用開折在奇點理論中是一個重要課題，至今已經(jīng)取得了一些研究成果.文獻[1]中討論了映射芽的通用開折.如果一個函數(shù)芽f存在通用開折，那么對f做擾動產(chǎn)生的每一個開折都可由f的通用開折導(dǎo)出，這說明研究通用開折是很有意義的.常用的等價群有左右等價群，接觸等價群和右等價群-，在不同等價群作用下可以得到不同通用開折定理.文獻[1]對映射芽在各種等價下的通用開折進行了探究，并給出函數(shù)芽的有限決定性的概念及結(jié)論；在文獻[2]中，介紹了在等價和等價子群作用下映射芽的通用開折定理及有限決定性定理.文中定義了右等價群的一個子群，給出了在子群作用下映射芽的等價及開折的概念，討論了在子群下平凡開折的性質(zhì)，并給出了光滑映射芽Θ-平凡的必要條件的證明.

1 預(yù)備知識與主要結(jié)果

記εn為光滑函數(shù)在0∈n處的芽組成之集，則εn是一個有單位元的交換環(huán).記n={f∈εn|f(0)=0}為εn的唯一最大理想.設(shè)x1,…,xn是n中的坐標函數(shù)，則n由x1,…,xn生成[4-7].

定義1.1設(shè)U為n中的一個開子集，f:U→p是一個映射，其分量可以用f:(f1,…,fp)來表示.如果每個fi:U→(i=1,…p)都是U上的光滑函數(shù)，則稱f是U上的光滑映射或C映射.

定義1.2C映射p的一個等價類(其中U為點0的開鄰域)是C映射在點0∈n處的芽.等價關(guān)系規(guī)定如下：p與p是等價的，當(dāng)且僅當(dāng)存在點0的一個開鄰域W?U∩V,使得以為代表的C映射芽記為f:(n,0)→p.

定義1.3設(shè)映射芽F:(n×r,0)→(p×r,0)為映射芽f:(n,0)→(p,0)的r-參數(shù)開折，由給定，其中u=(u1,…,ur)是開折參數(shù).

定義1.4設(shè)映射芽F:(n×r,0)→(p×r,0)是映射芽f:(n,0)→(p,0)的平凡開折，它由F(u,x)=(f(x),u)給定.

定義1.5設(shè)F:(p,0)→(q,0)和G:(p,0)→(q,0)是光滑映射芽.如果存在微分同胚?:(p,0)→(p,0)，使得F=G°φ,則稱F和G是-等價的.

定義1.7設(shè)Θ是(p,0)上有限生成的向量場εp-模，且F:(p×,0×0)→(q,0)是光滑映射芽的1-參數(shù)族，對充分小t，F(xiàn)(0,t)=0.如果存在向量場δ，將其積分得到微分同胚的1-參數(shù)族?:(p×,0×0)→(p,0)，滿足對所有x，有?(x,0)=x，對充分小t，有?(0,t)=0，且F(?(x,t),t)=F(x,0).則稱F是Θ-平凡的.

定義1.8設(shè)Θ是(p,0)上有限生成的向量場εp-模，且F:(p×,0×0)→(q,0)是光滑映射芽的1-參數(shù)族，對充分小t，有F(0,t)=0.如果存在向量場δ∈Θ，將其積分得到微分同胚的1-參數(shù)族?:(p×,0×0)→(p,0)，滿足對所有x，有?(x,0)=x，對充分小t，有?(0,t)=0，且F(?(x,t),t)=F(x,0)+ψ(x,t)，其中ψ∈θ(F)，則稱F是k-Θ-平凡的.

定理1.1[3]設(shè)Θ是(p,0)上有限生成的向量場εp-模，將Θ上的每個向量場進行積分均可得到微分同胚的1-參數(shù)族.設(shè)F:(p×,0×0)→(q,0)是光滑映射芽，F(xiàn)(0,t)=0.如果pθp)〉.則稱族F是Θ-平凡的.

定理1.2設(shè)(V,0)?(p,0)，且Θ是(p,0)上保持V的所有光滑向量場的模，設(shè)F:(p×,0×0)→(q,0)是光滑映射芽，對充分小t，有F(0,t)=0.若族F是Θ-平凡的，則

對t微分，有

那么得到

也就是說有一個向量場δ:(p×,0×0)→(p,0)定義為δ(0)=0，使得

通過對δ積分，我們得到一個保持V的微分同胚，即δ∈Θ,

定理1.4[3]設(shè)Θ是(p,0)上有限生成的向量場εp-模，將Θ上的每個向量場進行積分均可得到微分同胚的1-參數(shù)族.設(shè)F:(p×,0×0)→(q,0)是光滑映射芽，對充分小t，F(xiàn)(0,t)=0.如果

定理1.5設(shè)(V,0)?(p,0)，且Θ是(p,0)上保持V的所有光滑向量場的模.設(shè)F:(p×,0×0)→(q,0)是光滑映射芽，對充分小t，F(xiàn)(0,t)=0.若族F是k-Θ-平凡的，則

對t微分，有

那么得到