趙轉(zhuǎn)萍

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教學(xué)研究部,山西 太原 030031)

算子方程作為泛函分析的一個(gè)重要組成部分，它在最優(yōu)化理論，控制論以及統(tǒng)計(jì)學(xué)等方面都有廣泛應(yīng)用.一直以來(lái)，許多國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家在有限維空間中，利用矩陣?yán)碚搶?duì)算子方程的解進(jìn)行研究，得出了一系列深刻的結(jié)論[1-5]，并將這些結(jié)論推廣到了無(wú)限維Hilbert空間中[6-7].本文主要利用算子理論的基本知識(shí)，在無(wú)限維Hilbert空間中,給出一類算子方程：

X-s+A*XtA=B(A,B∈B(H),B>0)

(1)

正算子解的一些性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Hilbert空間H是復(fù)可分的，其上有界線性算子的全體記為B(H).A是B(H)上任意給定的一個(gè)算子，σ(A)、A*、r(A)表示算子A的譜、伴隨算子、譜半徑. (·,·)與‖·‖分別表示Hilbert空間中的內(nèi)積和范數(shù).

定義1設(shè)A∈B(H)，對(duì)于?x∈H，如果滿足(Ax,x)≥0，則稱A為正算子，記為A≥0；顯然，正算子A滿足A≤‖A‖I；若A>0，稱A為可逆的正算子，顯然，當(dāng)A≥B>0時(shí)，A-1≤B-1.

定義2設(shè)A∈B(H)，如果滿足A*=A，稱A是自伴算子.

定義3設(shè)A∈B(H)，稱σ(A)=sup{λ∈C,A-λI不可逆}為算子A的譜.

引理1[1]設(shè)A∈B(H)，且A是一個(gè)正規(guī)算子，則有ω(A)=r(A)=‖A‖.

引理2[1]設(shè)P、Q是正算子，且P>Q，如果PQ=QP，則對(duì)?t>1有Pt>Qt成立.

引理3[2]設(shè)A、B為B(H)上的兩個(gè)自伴算子，且A≤B，則對(duì)?T∈B(H)滿足T*AT≤T*BT；對(duì)于任意給定的正算子A、P，下列結(jié)論顯然成立：

(H1)A可逆，則對(duì)于?t>0,t∈R，滿足‖At‖=‖A‖t.

(H2)P可逆，記λmax(P)=max{λ:λ∈σ(P)}，λmin(P)=min{λ:λ∈σ(P)}，有λmin(P)I≤P≤λmax(P)I.

2 主要結(jié)論及證明

證明 由方程知X-s=B-A*XtA≤B≤‖B‖I，故

若X是方程的正算子解，則由方程知X-s=B-A*XtA≤B=α0B,設(shè)X-s≤αkB，下證X-s≤αk+1B.因?yàn)椋?/p>

所以，對(duì)于一切n∈N有X-s≤αk+1B成立.

定理4如果算子方程(1)有正算子解，則下列兩個(gè)結(jié)論成立：

證明 (1)因?yàn)?

0<λmin(X-s)I≤X-s≤λmax(X-s)I,

0<λmin(B)I≤B≤λmax(B)I,

且

λmax(X-s)≤λmax(B),

故